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Auswahlaxiom Das ist ein Axiom der Zermelo Fraenkel Mengenlehre Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert Das

Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, also eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“. Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant.

Das Auswahlaxiom Bearbeiten

Sei eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt eine Auswahlfunktion für , falls jedem Element von ein Element von zuordnet, das heißt, hat den Definitionsbereich und es gilt

wählt also aus jeder Menge in genau ein Element aus.

Das Auswahlaxiom lautet dann: Für jede Menge nichtleerer Mengen gibt es eine Auswahlfunktion.

Beispiel: Sei . Die auf durch

definierte Funktion ist eine Auswahlfunktion für .

Alternative Formulierungen Bearbeiten

  • Die Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion (Zermelo 1904).
  • Sei eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen. Dann gibt es eine Menge , die mit jedem genau ein gemeinsames Element hat (Zermelo 1907, ZF).
  • Sei eine beliebige Indexmenge und eine Familie von nichtleeren Mengen , dann existiert eine Funktion mit Definitionsbereich , die jedem ein Element von zuordnet: .

Bemerkungen Bearbeiten

Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion. Man hat aber trotzdem kein Verfahren, wie man eine solche konstruieren könnte. Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage.

Für folgende Fälle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne das Auswahlaxiom:

  • Für eine endliche Menge von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht das Auswahlaxiom hierfür nicht. Ein formaler Beweis würde Induktion über die Größe der endlichen Menge verwenden.
  • Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Ähnlich kann man für eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion (ohne Verwendung des Auswahlaxioms) angeben, indem man etwa aus jeder Menge das (wenn möglich positive) Element mit kleinstem Absolutbetrag wählt.
  • Selbst für Mengen von beschränkten Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus.

Für welche Fälle das Auswahlaxiom relevant ist, sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht:

  • Man kann schon für eine allgemeine abzählbare Menge von zweielementigen Mengen in ZF (nicht ZFC, d. h. ohne das Auswahlaxiom) nicht die Existenz einer Auswahlfunktion beweisen.
  • Dasselbe gilt etwa für die Existenz einer Auswahlfunktion für die Menge aller nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen.

Es existieren allerdings Abschwächungen des Auswahlaxioms, die dieses nicht implizieren, aber für Fälle wie die beiden Beispiele die Existenz zeigen, beispielsweise für den ersten Fall das abzählbare Auswahlaxiom (CC, für countable Choice, auch bezeichnet mit ACω oder ACN), welches besagt, dass eine Auswahlfunktion existiert, wenn die Mengenfamilie abzählbar ist, oder auch das Axiom der abhängigen Auswahl (DC, für dependent choice).

Kurt Gödel zeigte 1938, dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt, wenn man die Widerspruchsfreiheit aller übrigen Axiome annimmt. 1963 aber zeigte Paul Cohen, dass auch die Negation des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch führt. Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus akzeptabel. Das Auswahlaxiom folgt, wie Wacław Sierpiński 1947 bewies, aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese.

Das Auswahlaxiom ist von der Mehrheit der Mathematiker akzeptiert. In vielen Zweigen der Mathematik, darunter auch neueren wie der Nichtstandardanalysis, führt es zu besonders ästhetischen Ergebnissen. Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig, der auf das Auswahlaxiom bewusst verzichtet. Darüber hinaus gibt es weitere Mathematiker, darunter viele der theoretischen Physik nahestehend, die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden, insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie des Banach-Tarski-Paradoxons. Dies führt zur Fragestellung, ob sich Sätze, für deren Beweis üblicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird, wie der Satz von Hahn-Banach, so abschwächen lassen, dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden können, aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken.

Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze Bearbeiten

Setzt man die ZF-Axiome voraus, dann gibt es eine Vielzahl an wichtigen Sätzen, die zum Auswahlaxiom äquivalent sind. Die wichtigsten darunter sind das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz. Zermelo führte das Auswahlaxiom ein, um den Beweis des Wohlordnungssatzes zu formalisieren. Die Namen Lemma und Satz rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig erscheinen wie das Auswahlaxiom selbst.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kurt Gödel: The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis. In: Proceedings of the U.S. National Academy of Sciences. Band 24, 1938, S. 556–557 (online [PDF]).
  2. Paul Cohen: Set Theory and the Continuum Hypothesis. Benjamin, New York 1963.
  3. siehe Leonard Gillman: Two classical surprises concerning the axiom of choice and the continuum hypothesis. American Mathematical Monthly, Band 109, 2002, S. 544, pdf
  4. Siehe Gillman, loc. cit.
  5. Andreas Blass, Axiomatic set theory. In: Contemporary Mathematics. Band 31, 1984 Kapitel: Existence of bases implies the axiom of choice. S. 31–33, online (englisch) pdf
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Veröffentlichungsdatum:
Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo Fraenkel Mengenlehre Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert Das Auswahlaxiom besagt dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert also eine Funktion die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit auswahlt Fur endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern daher ist das Auswahlaxiom nur fur unendliche Mengen interessant Inhaltsverzeichnis 1 Das Auswahlaxiom 2 Alternative Formulierungen 3 Bemerkungen 4 Zum Auswahlaxiom aquivalente Satze 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseDas Auswahlaxiom BearbeitenSei A displaystyle A nbsp eine Menge von nichtleeren Mengen Dann heisst F displaystyle F nbsp eine Auswahlfunktion fur A displaystyle A nbsp falls F displaystyle F nbsp jedem Element X displaystyle X nbsp von A displaystyle A nbsp ein Element von X displaystyle X nbsp zuordnet das heisst F displaystyle F nbsp hat den Definitionsbereich A displaystyle A nbsp und es gilt X A F X X displaystyle forall X in A colon F X in X text nbsp F displaystyle F nbsp wahlt also aus jeder Menge X displaystyle X nbsp in A displaystyle A nbsp genau ein Element aus Das Auswahlaxiom lautet dann Fur jede Menge nichtleerer Mengen gibt es eine Auswahlfunktion Beispiel Sei A 0 2 1 2 5 7 4 displaystyle A 0 2 1 2 5 7 4 nbsp Die auf A displaystyle A nbsp durch F 0 2 2 F 1 2 5 7 2 F 4 4 displaystyle F 0 2 2 quad F 1 2 5 7 2 quad F 4 4 nbsp definierte Funktion F displaystyle F nbsp ist eine Auswahlfunktion fur A displaystyle A nbsp Alternative Formulierungen BearbeitenDie Potenzmenge einer beliebigen Menge ohne die leere Menge hat eine Auswahlfunktion Zermelo 1904 Sei A displaystyle A nbsp eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen Dann gibt es eine Menge C displaystyle C nbsp die mit jedem X A displaystyle X in A nbsp genau ein gemeinsames Element hat Zermelo 1907 ZF Sei I displaystyle I nbsp eine beliebige Indexmenge und A i i I displaystyle left A i right i in I nbsp eine Familie von nichtleeren Mengen A i displaystyle A i nbsp dann existiert eine Funktion F displaystyle F nbsp mit Definitionsbereich I displaystyle I nbsp die jedem i I displaystyle i in I nbsp ein Element von A i displaystyle A i nbsp zuordnet F i A i displaystyle F i in A i nbsp Bemerkungen BearbeitenDas Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion Man hat aber trotzdem kein Verfahren wie man eine solche konstruieren konnte Man spricht in diesem Fall von einer schwachen Existenzaussage Fur folgende Falle existiert eine Auswahlfunktion auch ohne das Auswahlaxiom Fur eine endliche Menge A A 1 A n displaystyle A A 1 ldots A n nbsp von nichtleeren Mengen ist es trivial eine Auswahlfunktion anzugeben Man wahlt von jeder Menge irgendein bestimmtes Element aus was problemlos moglich ist Man braucht das Auswahlaxiom hierfur nicht Ein formaler Beweis wurde Induktion uber die Grosse der endlichen Menge verwenden Fur Mengen von nichtleeren Teilmengen der naturlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos moglich Man wahlt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus Ahnlich kann man fur eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen der reellen Zahlen eine explizite Auswahlfunktion ohne Verwendung des Auswahlaxioms angeben indem man etwa aus jeder Menge das wenn moglich positive Element mit kleinstem Absolutbetrag wahlt Selbst fur Mengen von beschrankten Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar Man wahlt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus Fur welche Falle das Auswahlaxiom relevant ist sei an den folgenden Beispielen verdeutlicht Man kann schon fur eine allgemeine abzahlbare Menge von zweielementigen Mengen in ZF nicht ZFC d h ohne das Auswahlaxiom nicht die Existenz einer Auswahlfunktion beweisen Dasselbe gilt etwa fur die Existenz einer Auswahlfunktion fur die Menge aller nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen Es existieren allerdings Abschwachungen des Auswahlaxioms die dieses nicht implizieren aber fur Falle wie die beiden Beispiele die Existenz zeigen beispielsweise fur den ersten Fall das abzahlbare Auswahlaxiom CC fur countable Choice auch bezeichnet mit ACw oder ACN welches besagt dass eine Auswahlfunktion existiert wenn die Mengenfamilie abzahlbar ist oder auch das Axiom der abhangigen Auswahl DC fur dependent choice Kurt Godel zeigte 1938 dass das Auswahlaxiom im Rahmen der Zermelo Fraenkel Mengenlehre keinen Widerspruch ergibt wenn man die Widerspruchsfreiheit aller ubrigen Axiome annimmt 1 1963 aber zeigte Paul Cohen dass auch die Negation des Auswahlaxioms nicht zu einem Widerspruch fuhrt 2 Beide Annahmen sind also vom formalistischen Standpunkt aus akzeptabel Das Auswahlaxiom folgt wie Waclaw Sierpinski 1947 bewies aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese 3 Das Auswahlaxiom ist von der Mehrheit der Mathematiker akzeptiert In vielen Zweigen der Mathematik darunter auch neueren wie der Nichtstandardanalysis fuhrt es zu besonders asthetischen Ergebnissen Die Konstruktivistische Mathematik ist jedoch ein Mathematikzweig der auf das Auswahlaxiom bewusst verzichtet Daruber hinaus gibt es weitere Mathematiker darunter viele der theoretischen Physik nahestehend die das Auswahlaxiom ebenfalls nicht verwenden insbesondere wegen kontraintuitiver Konsequenzen wie des Banach Tarski Paradoxons Dies fuhrt zur Fragestellung ob sich Satze fur deren Beweis ublicherweise das Auswahlaxiom verwendet wird wie der Satz von Hahn Banach so abschwachen lassen dass sie ohne Auswahlaxiom bewiesen werden konnen aber dennoch alle wichtigen Anwendungen abdecken Zum Auswahlaxiom aquivalente Satze BearbeitenSetzt man die ZF Axiome voraus dann gibt es eine Vielzahl an wichtigen Satzen die zum Auswahlaxiom aquivalent sind Die wichtigsten darunter sind das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz Zermelo fuhrte das Auswahlaxiom ein um den Beweis des Wohlordnungssatzes zu formalisieren Die Namen Lemma und Satz ruhren daher dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig erscheinen wie das Auswahlaxiom selbst Mengenlehre Wohlordnungssatz Jede Menge kann wohlgeordnet werden Wenn A displaystyle A nbsp eine unendliche Menge ist dann haben A displaystyle A nbsp und A A displaystyle A times A nbsp die gleiche Kardinalitat Trichotomie Zwei Mengen haben entweder gleiche Kardinalitat oder eine der beiden Mengen hat eine kleinere Kardinalitat als die andere Die Aquivalenz wurde von Friedrich Hartogs 1915 bewiesen 4 Das kartesische Produkt einer Familie von nichtleeren Mengen ist nichtleer Satz von Konig Vereinfacht formuliert ist die Summe einer Folge von Kardinalzahlen echt kleiner als das Produkt einer Folge von grosseren Kardinalzahlen Jede surjektive Funktion hat ein Rechtsinverses Lemma von Teichmuller Tukey Eine nichtleere Menge von endlichem Charakter hat bezuglich der Mengeninklusion ein maximales Element Ordnungstheorie Lemma von Zorn Jede nichtleere halbgeordnete Menge in der jede Kette d h jede total geordnete Teilmenge eine obere Schranke hat enthalt mindestens ein maximales Element Hausdorffs Maximalkettensatz In einer geordneten Menge kann jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden Hausdorffs Maximalkettensatz abgeschwacht In einer geordneten Menge existiert mindestens eine maximale Kette Algebra Jedes Erzeugendensystem eines Vektorraums V displaystyle V nbsp enthalt eine Basis von V displaystyle V nbsp Jeder Vektorraum hat eine Basis 5 Jeder Ring mit Einselement der nicht der Nullring ist hat ein maximales Ideal Graphentheorie Jeder unendliche ungerichtete zusammenhangende Graph hat einen Spannbaum Topologie Satz von Tychonoff Das Produkt kompakter Raume ist selbst kompakt Allerdings ist diese Aussage nur dann aquivalent zum Auswahlaxiom wenn man fur Kompaktheit nicht die Hausdorffeigenschaft fordert In der Produkttopologie Der Abschluss eines Produktes von Teilmengen ist gleich dem Produkt der Abschlusse der Teilmengen Das Produkt von vollstandigen uniformen Raumen ist vollstandig Literatur BearbeitenThomas Jech The Axiom of Choice North Holland 1973 ISBN 0 7204 2275 2 Ernst Zermelo Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden kann In Mathematische Annalen 59 1904 S 514 516 Ernst Zermelo Neuer Beweis fur die Moglichkeit einer Wohlordnung In Mathematische Annalen 65 1908 S 107 128 Horst Herrlich Axiom of Choice Springer Lecture Notes in Mathematics 1876 Springer Verlag Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 30989 6 Paul Howard Jean E Rubin Consequences of the Axiom of Choice American Mathematical Society 1998 ISBN 0 8218 0977 6 Per Martin Lof 100 years of Zermelo s axiom of choice what was the problem with it PDF Datei 257 kB Weblinks BearbeitenAuf dem Werk von Howard und Rubin basierende Ubersicht uber Folgerungen des Auswahlaxioms und ihre Beziehungen zuletzt 2002 aktualisiert interaktive Online Version Einzelnachweise Bearbeiten Kurt Godel The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis In Proceedings of the U S National Academy of Sciences Band 24 1938 S 556 557 online PDF Paul Cohen Set Theory and the Continuum Hypothesis Benjamin New York 1963 siehe Leonard Gillman Two classical surprises concerning the axiom of choice and the continuum hypothesis American Mathematical Monthly Band 109 2002 S 544 pdf Siehe Gillman loc cit Andreas Blass Axiomatic set theory In Contemporary Mathematics Band 31 1984 Kapitel Existence of bases implies the axiom of choice S 31 33 online englisch pdfAxiome und Axiomenschemata der Zermelo Fraenkel Mengenlehre Axiome Extensionalitatsaxiom Fundierungsaxiom Leermengenaxiom Paarmengenaxiom Vereinigungsaxiom Potenzmengenaxiom Unendlichkeitsaxiom AuswahlaxiomAxiomenschemata Aussonderungsaxiom Ersetzungsaxiom Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Auswahlaxiom amp oldid 236841977