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Aussonderungsaxiom Das stammt aus der Zermelo Mengenlehre von 1907 1 und ist daher auch Bestandteil der erweiterten heut

Aussonderungsaxiom

Das Aussonderungsaxiom stammt aus der Zermelo-Mengenlehre von 1907 und ist daher auch Bestandteil der erweiterten, heute maßgeblichen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF. Es besagt informell, dass alle Teilklassen von Mengen ebenfalls Mengen sind. In der prädikatenlogischen Sprache wird das Aussonderungsaxiom präzisiert als Axiomenschema, das unendlich viele Axiome umfasst; daher wird es heute auch oft als Aussonderungsschema bezeichnet.

Präzisierung Bearbeiten

Aussonderungsaxiom für jedes Prädikat , in dem die Variable nicht vorkommt:

Verbalisierung und Schreibweise:

Bedeutung Bearbeiten

Zermelo führte in der Mengenlehre das Aussonderungsaxiom ein, weil das in der naiven Mengenlehre des ausgehenden 19. Jahrhunderts übliche Axiom, dass jede Klasse eine Menge ist, die Russellsche Antinomie erzeugt. Russell übernahm jedoch dieses naive Komprehensionsaxiom in seine Logik und war daher gezwungen, in seiner Typentheorie zur Vermeidung des Widerspruchs die Syntax der zulässigen Prädikate stark einzuschränken. Im Gegensatz zu Russell nahm Zermelo keine Einschränkungen der Syntax vor, sondern zeigte mit seinem Aussonderungsaxiom, das die Komprehension stark abschwächte, dass die in der Russellschen Antinomie widersprüchliche Klasse keine Menge mehr ist. Er erreichte auf diesem Weg eine wesentlich einfachere und leistungsfähigere Mengenlehre.

Abraham Fraenkel zeigte jedoch 1921, dass die Zermelo-Mengenlehre mit Aussonderungsaxiom zu schwach war, um die Mengenlehre Georg Cantors abzuleiten, und ergänzte aus diesem Grund ein stärkeres Ersetzungsaxiom, das die Lücke füllte. Dieses Axiom integrierte Zermelo 1930 in sein ZF-System und bemerkte dazu, dass aus ihm das Aussonderungsaxiom ableitbar ist, so dass es im ZF-System entbehrlich ist. Man erhält nämlich die Aussonderungsmenge offenbar als per Ersetzungsaxiom.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281, dort Axiom III S. 263f.
  2. Bertrand Russell: Mathematical logic as based on the theory of types, in: American Journal of Mathematics 30 (1908), S. 250.
  3. Abraham Fraenkel: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, 1921, in: Mathematische Annalen 86 (1922), 230–237.
  4. Ernst Zermelo: Grenzzahlen und Mengenbereiche, Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 31 Bemerkung zur Redundanz.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Aussonderungsaxiom stammt aus der Zermelo Mengenlehre von 1907 1 und ist daher auch Bestandteil der erweiterten heute massgeblichen Zermelo Fraenkel Mengenlehre ZF Es besagt informell dass alle Teilklassen von Mengen ebenfalls Mengen sind In der pradikatenlogischen Sprache wird das Aussonderungsaxiom prazisiert als Axiomenschema das unendlich viele Axiome umfasst daher wird es heute auch oft als Aussonderungsschema bezeichnet Prazisierung BearbeitenAussonderungsaxiom fur jedes Pradikat P x displaystyle P x nbsp in dem die Variable M displaystyle M nbsp nicht vorkommt A M x x M x A P x displaystyle forall A colon exists M colon forall x colon x in M iff x in A land P x nbsp Verbalisierung und Schreibweise Zu jeder Menge A displaystyle A nbsp existiert eine Menge die genau die Elemente x displaystyle x nbsp aus A displaystyle A nbsp enthalt fur die P x displaystyle P x nbsp gilt Aufgrund des Extensionalitatsaxioms ist diese Menge eindeutig bestimmt und wird als x A P x displaystyle x in A mid P x nbsp notiert Bedeutung BearbeitenZermelo fuhrte in der Mengenlehre das Aussonderungsaxiom ein weil das in der naiven Mengenlehre des ausgehenden 19 Jahrhunderts ubliche Axiom dass jede Klasse x P x displaystyle x mid P x nbsp eine Menge ist die Russellsche Antinomie erzeugt Russell ubernahm jedoch dieses naive Komprehensionsaxiom in seine Logik 2 und war daher gezwungen in seiner Typentheorie zur Vermeidung des Widerspruchs die Syntax der zulassigen Pradikate stark einzuschranken Im Gegensatz zu Russell nahm Zermelo keine Einschrankungen der Syntax vor sondern zeigte mit seinem Aussonderungsaxiom das die Komprehension stark abschwachte dass die in der Russellschen Antinomie widerspruchliche Klasse keine Menge mehr ist 1 Er erreichte auf diesem Weg eine wesentlich einfachere und leistungsfahigere Mengenlehre Abraham Fraenkel zeigte jedoch 1921 dass die Zermelo Mengenlehre mit Aussonderungsaxiom zu schwach war um die Mengenlehre Georg Cantors abzuleiten und erganzte aus diesem Grund ein starkeres Ersetzungsaxiom das die Lucke fullte 3 Dieses Axiom integrierte Zermelo 1930 in sein ZF System und bemerkte dazu dass aus ihm das Aussonderungsaxiom ableitbar ist so dass es im ZF System entbehrlich ist 4 Man erhalt namlich die Aussonderungsmenge x A P x displaystyle x in A mid P x nbsp offenbar als y x A P x x y displaystyle y mid exists x in A colon P x land x y nbsp per Ersetzungsaxiom Einzelnachweise Bearbeiten a b Ernst Zermelo Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre 1907 in Mathematische Annalen 65 1908 261 281 dort Axiom III S 263f Bertrand Russell Mathematical logic as based on the theory of types in American Journal of Mathematics 30 1908 S 250 Abraham Fraenkel Zu den Grundlagen der Cantor Zermeloschen Mengenlehre 1921 in Mathematische Annalen 86 1922 230 237 Ernst Zermelo Grenzzahlen und Mengenbereiche Fundamenta Mathematicae 16 1930 S 31 Bemerkung zur Redundanz Axiome und Axiomenschemata der Zermelo Fraenkel Mengenlehre Axiome Extensionalitatsaxiom Fundierungsaxiom Leermengenaxiom Paarmengenaxiom Vereinigungsaxiom Potenzmengenaxiom Unendlichkeitsaxiom AuswahlaxiomAxiomenschemata Aussonderungsaxiom Ersetzungsaxiom Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Aussonderungsaxiom amp oldid 229017918