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Mengenfamilie Dieser Artikel beschäftigt sich mit Mengen die mit einer beliebigen Indexmenge indiziert sind Für Mengen v

Mengenfamilie

Eine Mengenfamilie ist ein Begriff aus der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik. Dabei wird für eine beliebige Indexmenge jedem Element dieser Indexmenge eine Menge zugeordnet. Somit ist eine Mengenfamilie ein Spezialfall einer Familie und enthält wiederum die Mengenfolgen als Spezialfall. Mengenfamilien gehören zu den Grundbegriffen der Mathematik und finden vielseitige Anwendungen, beispielsweise in der Maßtheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Definition Bearbeiten

Eine Mengenfamilie auf der Grundmenge ist eine Abbildung von einer beliebigen Indexmenge in die Potenzmenge der Grundmenge .

Jedem Element der Indexmenge wird also eine beliebige Teilmenge der Grundmenge zugeordnet.

Beispiele Bearbeiten

Ein Beispiel einer Mengenfamilie mit abzählbar unendlicher Indexmenge ist die Mengenfolge

Hier sind sowohl die Grundmenge als auch die Indexmenge .

Ein Beispiel mit überabzählbarer Indexmenge wäre das Intervall als Indexmenge und die Familie definiert als

Die Obermenge könnte dann beispielsweise das Intervall oder auch die gesamten reellen Zahlen sein.

Die Wahl der Indexmenge ist völlig frei. Man kann auch das Einheitsquadrat als Indexmenge wählen und die Familie beispielsweise durch definieren, wobei . Jedes Elemente dieser Mengenfamilie ist dann von der Form für . Als Obermenge kann man dementsprechend wieder das Intervall oder die gesamten reellen Zahlen wählen.

Eigenschaften und Bemerkungen Bearbeiten

  • Eine Mengenfamilie mit den natürlichen Zahlen als Indexmenge ist eine Mengenfolge.
  • Die Indexmenge kann völlig ohne Struktur sein. Dies ist auch der Hauptunterschied zur Mengenfolge: die Mengenfolge hat per Definition eine natürliche Ordnung in der Indexmenge. Dies wird bei der Indexmenge der Mengenfamilie nicht gefordert. Beispielsweise hat das dritte der obigen Beispiele keinerlei natürliche Ordnungsstruktur auf der Indexmenge.
  • Im Gegensatz zum Mengensystem kann in einer Mengenfamilie eine Teilmenge der Obermenge beliebig oft vorkommen, aber dann eben mit unterschiedlichem Index.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel beschaftigt sich mit Mengen die mit einer beliebigen Indexmenge indiziert sind Fur Mengen von Teilmengen einer Obermenge siehe Mengensystem Eine Mengenfamilie ist ein Begriff aus der Mengenlehre einem Teilgebiet der Mathematik Dabei wird fur eine beliebige Indexmenge jedem Element dieser Indexmenge eine Menge zugeordnet Somit ist eine Mengenfamilie ein Spezialfall einer Familie und enthalt wiederum die Mengenfolgen als Spezialfall Mengenfamilien gehoren zu den Grundbegriffen der Mathematik und finden vielseitige Anwendungen beispielsweise in der Masstheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften und Bemerkungen 4 LiteraturDefinition BearbeitenEine Mengenfamilie auf der Grundmenge W displaystyle Omega nbsp ist eine Abbildung A displaystyle A nbsp von einer beliebigen Indexmenge I displaystyle I nbsp in die Potenzmenge P W displaystyle mathcal P Omega nbsp der Grundmenge W displaystyle Omega nbsp A I P W i A i displaystyle begin matrix A colon amp I amp to amp mathcal P Omega amp i amp mapsto amp A i end matrix nbsp Jedem Element der Indexmenge I displaystyle I nbsp wird also eine beliebige Teilmenge der Grundmenge W displaystyle Omega nbsp zugeordnet Beispiele BearbeitenEin Beispiel einer Mengenfamilie mit abzahlbar unendlicher Indexmenge ist die Mengenfolge A i 1 i 2 displaystyle A i 1 dots i 2 nbsp Hier sind sowohl die Grundmenge als auch die Indexmenge W I N displaystyle Omega I mathbb N nbsp Ein Beispiel mit uberabzahlbarer Indexmenge ware das Intervall 0 1 I displaystyle 0 1 I nbsp als Indexmenge und die Familie definiert als A i 0 i displaystyle A i 0 i nbsp Die Obermenge W displaystyle Omega nbsp konnte dann beispielsweise das Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp oder auch die gesamten reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp sein Die Wahl der Indexmenge ist vollig frei Man kann auch das Einheitsquadrat I 0 1 0 1 R 2 displaystyle I 0 1 times 0 1 subset mathbb R 2 nbsp als Indexmenge wahlen und die Familie beispielsweise durch A i 0 x 1 x 2 displaystyle A i 0 x 1 x 2 nbsp definieren wobei i x 1 x 2 I displaystyle i x 1 x 2 in I nbsp Jedes Elemente dieser Mengenfamilie ist dann von der Form 0 p displaystyle 0 p nbsp fur p 0 2 displaystyle p in 0 2 nbsp Als Obermenge kann man dementsprechend wieder das Intervall 0 2 displaystyle 0 2 nbsp oder die gesamten reellen Zahlen wahlen Eigenschaften und Bemerkungen BearbeitenEine Mengenfamilie mit den naturlichen Zahlen als Indexmenge ist eine Mengenfolge Die Indexmenge kann vollig ohne Struktur sein Dies ist auch der Hauptunterschied zur Mengenfolge die Mengenfolge hat per Definition eine naturliche Ordnung in der Indexmenge Dies wird bei der Indexmenge der Mengenfamilie nicht gefordert Beispielsweise hat das dritte der obigen Beispiele keinerlei naturliche Ordnungsstruktur auf der Indexmenge Im Gegensatz zum Mengensystem kann in einer Mengenfamilie eine Teilmenge der Obermenge beliebig oft vorkommen aber dann eben mit unterschiedlichem Index Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mengenfamilie amp oldid 232112653