www.wikidata.de-de.nina.az

Mengensystem Dieser Artikel beschäftigt sich mit Mengen von Teilmengen einer Obermenge Zu Mengen die mit einer beliebige

Mengensystem

Ein Mengensystem ist in der Mathematik eine Menge, deren Elemente allesamt Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge sind.

Im Kontext der Graphentheorie wird ein Mengensystem als Hypergraph bezeichnet.

Formale Definition Bearbeiten

Ist eine Grundmenge gegeben, so heißt jede Teilmenge der Potenzmenge ein Mengensystem über . Anders ausgedrückt: ist eine Menge von Mengen und jedes Element von ist eine Teilmenge von .

Stabilität Bearbeiten

Ein Mengensystem heißt abgeschlossen oder stabil bezüglich einer Mengenoperation (Durchschnitt, Vereinigung, Komplement etc.), wenn die Anwendung der Operation auf Elemente von wieder ein Element von liefert. Mengensysteme werden oftmals bezüglich der stabilen Operationen benannt. So heißt ein Mengensystem zum Beispiel

  • -stabil (durchschnittsstabil) oder auch ein π-System, wenn gilt;
  • -stabil (vereinigungsstabil), wenn gilt;
  • σ--stabil oder auch ein δ-System, wenn für abzählbar unendlich viele Mengen auch wieder in ist;
  • σ--stabil oder auch kurz ein σ-System, wenn für abzählbar unendlich viele Mengen auch wieder in ist;
  • -stabil (differenzstabil), wenn gilt;
  • komplementstabil, wenn gilt.

Beispiele Bearbeiten

Die folgenden mathematischen Objekte sind Mengensysteme mit zusätzlichen Eigenschaften. Bei der Formulierung dieser Eigenschaften spielt oft die Stabilität bezüglich bestimmter Mengenoperationen eine Rolle.

Ein Hypergraph mit 7 Knoten und 4 Hyperkanten
Ein ungerichteter Graph mit 6 Knoten und 7 Kanten

Hypergraphen Bearbeiten

Im Kontext der Graphentheorie wird ein Mengensystem auch als Hypergraph bezeichnet. Die Elemente der Grundmenge heißen dann Knoten und die Elemente des Mengensystems heißen Hyperkanten. Man kann sich eine Hyperkante als Verallgemeinerung einer Kante in einem gewöhnlichen Graphen vorstellen, die eben nicht zwei, sondern mehrere Knoten gleichzeitig miteinander „verbindet“. Im nebenstehenden Beispiel gilt:

In vielen Anwendungsfällen von Hypergraphen wird die Knotenmenge als endlich festgelegt und die leere Hyperkante ausgeschlossen.

Verbindet jede Hyperkante genau 2 Knoten, liegt ein ungerichteter Graph vor (genauer: ein ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und ohne Schleifen). Das Mengensystem besteht dann also nur aus 2-elementigen Teilmengen der Grundmenge. Im nebenstehenden Beispiel gilt:

Axiomatische Mengenlehre Bearbeiten

In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gibt es nur einen Typ von Objekten, nämlich Mengen. Damit sind alle Elemente einer Menge selbst wieder Mengen, und die Begriffe Menge und Mengensystem stimmen überein.

Beispiel: Jede natürliche Zahl wird in diesem Zusammenhang mit der Menge ihrer Vorgänger identifiziert. Dies ergibt den folgenden Aufbau:

Literatur Bearbeiten

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel beschaftigt sich mit Mengen von Teilmengen einer Obermenge Zu Mengen die mit einer beliebigen Indexmenge indiziert sind siehe Mengenfamilie Ein Mengensystem ist in der Mathematik eine Menge deren Elemente allesamt Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge sind Im Kontext der Graphentheorie wird ein Mengensystem als Hypergraph bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 2 Stabilitat 3 Beispiele 4 Hypergraphen 5 Axiomatische Mengenlehre 6 LiteraturFormale Definition BearbeitenIst eine Grundmenge X displaystyle X nbsp gegeben so heisst jede Teilmenge S displaystyle mathcal S nbsp der Potenzmenge P X A A X displaystyle mathcal P X A mid A subseteq X nbsp ein Mengensystem uber X displaystyle X nbsp Anders ausgedruckt S displaystyle mathcal S nbsp ist eine Menge von Mengen und jedes Element von S displaystyle mathcal S nbsp ist eine Teilmenge von X displaystyle X nbsp Stabilitat BearbeitenEin Mengensystem S displaystyle S nbsp heisst abgeschlossen oder stabil bezuglich einer Mengenoperation Durchschnitt Vereinigung Komplement etc wenn die Anwendung der Operation auf Elemente von S displaystyle mathcal S nbsp wieder ein Element von S displaystyle mathcal S nbsp liefert Mengensysteme werden oftmals bezuglich der stabilen Operationen benannt So heisst ein Mengensystem zum Beispiel displaystyle cap nbsp stabil durchschnittsstabil oder auch ein p System wenn A B S A B S displaystyle A B in mathcal S Rightarrow A cap B in mathcal S nbsp gilt displaystyle cup nbsp stabil vereinigungsstabil wenn A B S A B S displaystyle A B in mathcal S Rightarrow A cup B in mathcal S nbsp gilt s displaystyle cap nbsp stabil oder auch ein d System wenn fur abzahlbar unendlich viele Mengen A i S i N displaystyle A i in mathcal S i in mathbb N nbsp auch i N A i displaystyle bigcap i in mathbb N A i nbsp wieder in S displaystyle mathcal S nbsp ist s displaystyle cup nbsp stabil oder auch kurz ein s System wenn fur abzahlbar unendlich viele Mengen A i S i N displaystyle A i in mathcal S i in mathbb N nbsp auch i N A i displaystyle bigcup i in mathbb N A i nbsp wieder in S displaystyle mathcal S nbsp ist displaystyle setminus nbsp stabil differenzstabil wenn A B S A B S displaystyle A B in mathcal S Rightarrow A setminus B in mathcal S nbsp gilt komplementstabil wenn A S A c S displaystyle A in mathcal S Rightarrow A c in mathcal S nbsp gilt Beispiele BearbeitenDie folgenden mathematischen Objekte sind Mengensysteme mit zusatzlichen Eigenschaften Bei der Formulierung dieser Eigenschaften spielt oft die Stabilitat bezuglich bestimmter Mengenoperationen eine Rolle d Ring Dynkin System Frechet Filter Hullensystem Kernsystem Matroid Mengenalgebra Mengenfilter Mengenhalbring Mengenring Mengenverband Monotone Klasse Partition Potenzmenge s Algebra s Ring Topologie System der offenen Mengen eines topologischen Raums Ungerichteter Graph Zermelosystem nbsp Ein Hypergraph mit 7 Knoten und 4 Hyperkanten nbsp Ein ungerichteter Graph mit 6 Knoten und 7 KantenHypergraphen BearbeitenIm Kontext der Graphentheorie wird ein Mengensystem auch als Hypergraph bezeichnet Die Elemente der Grundmenge heissen dann Knoten und die Elemente des Mengensystems heissen Hyperkanten Man kann sich eine Hyperkante als Verallgemeinerung einer Kante in einem gewohnlichen Graphen vorstellen die eben nicht zwei sondern mehrere Knoten gleichzeitig miteinander verbindet Im nebenstehenden Beispiel gilt Menge der Knoten v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 displaystyle v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 nbsp Menge der Hyperkanten e 1 e 2 e 3 e 4 displaystyle e 1 e 2 e 3 e 4 nbsp wobeiHyperkante e 1 v 1 v 2 v 3 displaystyle e 1 v 1 v 2 v 3 nbsp Hyperkante e 2 v 2 v 3 displaystyle e 2 v 2 v 3 nbsp Hyperkante e 3 v 3 v 5 v 6 displaystyle e 3 v 3 v 5 v 6 nbsp Hyperkante e 4 v 4 displaystyle e 4 v 4 nbsp dd In vielen Anwendungsfallen von Hypergraphen wird die Knotenmenge als endlich festgelegt und die leere Hyperkante ausgeschlossen Verbindet jede Hyperkante genau 2 Knoten liegt ein ungerichteter Graph vor genauer ein ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten und ohne Schleifen Das Mengensystem besteht dann also nur aus 2 elementigen Teilmengen der Grundmenge Im nebenstehenden Beispiel gilt Grundmenge 1 2 3 4 5 6 displaystyle 1 2 3 4 5 6 nbsp Mengensystem 1 2 1 5 2 3 2 5 3 4 4 5 4 6 displaystyle 1 2 1 5 2 3 2 5 3 4 4 5 4 6 nbsp Axiomatische Mengenlehre BearbeitenIn der Zermelo Fraenkel Mengenlehre gibt es nur einen Typ von Objekten namlich Mengen Damit sind alle Elemente einer Menge selbst wieder Mengen und die Begriffe Menge und Mengensystem stimmen uberein Beispiel Jede naturliche Zahl wird in diesem Zusammenhang mit der Menge ihrer Vorganger identifiziert Dies ergibt den folgenden Aufbau 0 displaystyle 0 emptyset nbsp die leere Menge 1 0 displaystyle 1 0 emptyset nbsp 2 0 1 displaystyle 2 0 1 emptyset emptyset nbsp 3 0 1 2 displaystyle 3 0 1 2 emptyset emptyset emptyset emptyset nbsp 4 0 1 2 3 displaystyle 4 0 1 2 3 dotsc nbsp displaystyle vdots nbsp Literatur BearbeitenOliver Deiser Einfuhrung in die Mengenlehre Springer 2004 ISBN 978 3 540 20401 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mengensystem amp oldid 224675311