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σ Ring Ein oder auch σ Mengenring ist ein spezielles Mengensystem das eine wichtige Rolle in der Maßtheorie spielt Ein i

σ-Ring

Ein σ-Ring oder auch σ-Mengenring ist ein spezielles Mengensystem, das eine wichtige Rolle in der Maßtheorie spielt. Ein σ-Ring ist ein σ-vereinigungsstabiles Mengensystem, das zusätzlich abgeschlossen bezüglich Differenzbildung ist.

Definition Bearbeiten

Sei eine beliebige Menge. Ein Mengensystem auf , also eine Menge von Teilmengen von , heißt σ-Ring (über ), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. : Der σ-Ring enthält die leere Menge.
  2. (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich abzählbaren Vereinigungen).
  3. (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

Beispiele Bearbeiten

  • Einfaches Beispiel für einen σ-Ring ist , sie ist der kleinst mögliche σ-Ring.
  • Ein weiteres Beispiel ist die Potenzmenge , sie ist der größt mögliche σ-Ring über einer gegebenen Menge .
  • Ist nun ein beliebiges Mengensystem über der Menge , so ist
der von erzeugte σ-Ring. Er ist der kleinste σ-Ring über , der enthält.
  • Das System aller abzählbaren Teilmengen einer Grundmenge , also das Mengensystem
ist ein σ-Ring über . Bei überabzählbarer Grundmenge ist dieses System keine σ-Algebra.

Eigenschaften Bearbeiten

In einem σ-Ring sind abzählbare Durchschnitte wieder im σ-Ring enthalten, denn es gilt

für jede Folge im σ-Ring.

Damit sind auch endliche Schnitte und Vereinigungen im σ-Ring enthalten. Ebenso ist für jede Mengenfolge im σ-Ring auch wieder Limes superior und Limes inferior der Mengenfolge wieder in :

Des Weiteren lässt sich jede abzählbare Vereinigung von beliebigen Mengen aus als abzählbare Vereinigung von disjunkten Mengen aus schreiben. Dies ist insbesondere für die Untersuchung von Mengenfunktionen auf σ-Additivität wichtig.

Operationen Bearbeiten

Durchschnitte von σ-Ringen Bearbeiten

Der Durchschnitt zweier σ-Ringe und über ist stets wieder ein σ-Ring. Denn sind , so ist

  • , da , sowie
  • , da .

Somit ist auch , der Durchschnitt der σ-Ringe ist also differenzstabil. Die Stabilität bezüglich der abzählbaren Vereinigungen folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von σ-Ringen über , da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser σ-Ringe ausweiten lässt. Somit gilt: Ist eine beliebige Indexmenge und sind für alle σ-Ringe über derselben Grundmenge , so ist der Schnitt aller dieser σ-Ringe wieder ein σ-Ring über :

Vereinigungen von σ-Ringen Bearbeiten

Die Vereinigung zweier σ-Ringe und über ist im Allgemeinen kein σ-Ring mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden σ-Ringe

sowie

über , so ist

Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil, da es nicht enthält, und somit auch kein σ-Ring.

Produkte von σ-Ringen Bearbeiten

Sind und σ-Ringe über bzw. , so ist das Produkt von und im Allgemeinen kein σ-Ring (über ) mehr. Denn betrachtet man den σ-Ring

über , so enthält das Mengensystem sowohl die Mengen

Die Menge

ist jedoch nicht in enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus darstellen lässt. Das Produkt ist somit nicht differenzstabil und damit auch kein σ-Ring.

Spur eines σ-Ringes Bearbeiten

Die Spur eines σ-Ringes bezüglich einer Menge , also das Mengensystem

ist immer ein σ-Ring, unabhängig von der Wahl von .

Beziehung zu verwandten Strukturen Bearbeiten

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

σ-Algebren Bearbeiten

Ein σ-Ring, der die Grundmenge enthält, ist eine σ-Algebra (und damit auch eine Algebra). Somit ist jede σ-Algebra ein σ-Ring, die Umkehrung ist aber im Allgemeinen falsch. Beispiel für einen σ-Ring, der keine σ-Algebra ist, ist der im obigen Abschnitt Beispiele zuletzt genannte σ-Ring.

Ringe Bearbeiten

Jeder σ-Ring ist ein Ring und damit auch ein Halbring und ein Mengenverband. Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht. Beispiel eines Ringes, der kein σ-Ring ist, wäre das Mengensystem aller endlichen Teilmengen bei einer abzählbar unendlichen Grundmenge.

δ-Ringe Bearbeiten

Jeder σ-Ring ist auch immer ein δ-Ring, denn wie im Abschnitt Eigenschaften gezeigt wurde, sind σ-Ringe immer auch stabil bezüglich abzählbaren Schnitten. Umgekehrt sind δ-Ringe jedoch im Allgemeinen keine σ-Ringe. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen

so handelt es sich um einen δ-Ring, da abzählbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind. Es ist aber kein σ-Ring, denn abzählbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich.

Monotone Klassen Bearbeiten

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring. Denn sind die Mengen im Ring enthalten, so ist auch

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten. Das Mengensystem ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität bezüglich abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer auch eine monotone Klasse.

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Ein s Ring oder auch s Mengenring ist ein spezielles Mengensystem das eine wichtige Rolle in der Masstheorie spielt Ein s Ring ist ein s vereinigungsstabiles Mengensystem das zusatzlich abgeschlossen bezuglich Differenzbildung ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Operationen 4 1 Durchschnitte von s Ringen 4 2 Vereinigungen von s Ringen 4 3 Produkte von s Ringen 4 4 Spur eines s Ringes 5 Beziehung zu verwandten Strukturen 5 1 s Algebren 5 2 Ringe 5 3 d Ringe 5 4 Monotone Klassen 6 LiteraturDefinition BearbeitenSei W displaystyle Omega nbsp eine beliebige Menge Ein Mengensystem R displaystyle mathcal R nbsp auf W displaystyle Omega nbsp also eine Menge von Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp heisst s Ring uber W displaystyle Omega nbsp wenn folgende Eigenschaften erfullt sind R displaystyle emptyset in mathcal R nbsp Der s Ring enthalt die leere Menge A 1 A 2 A 3 R i N A i R displaystyle A 1 A 2 A 3 in mathcal R Rightarrow bigcup i in mathbb N A i in mathcal R nbsp Stabilitat Abgeschlossenheit bezuglich abzahlbaren Vereinigungen A B R A B R displaystyle A B in mathcal R Rightarrow A setminus B in mathcal R nbsp Stabilitat Abgeschlossenheit bezuglich Differenz Beispiele BearbeitenEinfaches Beispiel fur einen s Ring ist displaystyle emptyset nbsp sie ist der kleinst mogliche s Ring Ein weiteres Beispiel ist die Potenzmenge P W displaystyle mathcal P Omega nbsp sie ist der grosst mogliche s Ring uber einer gegebenen Menge W displaystyle Omega nbsp Ist nun S displaystyle mathcal S nbsp ein beliebiges Mengensystem uber der Menge W displaystyle Omega nbsp so istR S S R R ist s Ring uber W R displaystyle mathcal R mathcal S bigcap scriptstyle mathcal S subseteq mathcal R atop scriptstyle mathcal R text ist s Ring atop scriptstyle text uber Omega mathcal R nbsp dd der von S displaystyle mathcal S nbsp erzeugte s Ring Er ist der kleinste s Ring uber W displaystyle Omega nbsp der S displaystyle mathcal S nbsp enthalt Das System aller abzahlbaren Teilmengen einer Grundmenge W displaystyle Omega nbsp also das Mengensystem A W A ist endlich oder abzahlbar unendlich displaystyle A subseteq Omega mid A text ist endlich oder abzahlbar unendlich nbsp dd ist ein s Ring uber W displaystyle Omega nbsp Bei uberabzahlbarer Grundmenge ist dieses System keine s Algebra Eigenschaften BearbeitenIn einem s Ring sind abzahlbare Durchschnitte wieder im s Ring enthalten denn es gilt i 1 A i A 1 i 2 A 1 A i displaystyle bigcap i 1 infty A i A 1 setminus bigcup i 2 infty A 1 setminus A i nbsp fur jede Folge A i i N displaystyle A i i in mathbb N nbsp im s Ring Damit sind auch endliche Schnitte und Vereinigungen im s Ring enthalten Ebenso ist fur jede Mengenfolge A i i N displaystyle A i i in mathbb N nbsp im s Ring R displaystyle mathcal R nbsp auch wieder Limes superior und Limes inferior der Mengenfolge wieder in R displaystyle mathcal R nbsp lim inf n A n R displaystyle liminf n rightarrow infty A n in mathcal R nbsp und lim sup n A n R displaystyle limsup n rightarrow infty A n in mathcal R nbsp Des Weiteren lasst sich jede abzahlbare Vereinigung von beliebigen Mengen aus R displaystyle mathcal R nbsp als abzahlbare Vereinigung von disjunkten Mengen aus R displaystyle mathcal R nbsp schreiben Dies ist insbesondere fur die Untersuchung von Mengenfunktionen auf s Additivitat wichtig Operationen BearbeitenDurchschnitte von s Ringen Bearbeiten Der Durchschnitt R 1 R 2 displaystyle mathcal R 1 cap mathcal R 2 nbsp zweier s Ringe R 1 displaystyle mathcal R 1 nbsp und R 2 displaystyle mathcal R 2 nbsp uber W displaystyle Omega nbsp ist stets wieder ein s Ring Denn sind A B R 1 R 2 displaystyle A B in mathcal R 1 cap mathcal R 2 nbsp so ist A B R 1 displaystyle A setminus B in mathcal R 1 nbsp da A B R 1 displaystyle A B in mathcal R 1 nbsp sowie A B R 2 displaystyle A setminus B in mathcal R 2 nbsp da A B R 2 displaystyle A B in mathcal R 2 nbsp Somit ist auch A B R 1 R 2 displaystyle A setminus B in mathcal R 1 cap mathcal R 2 nbsp der Durchschnitt der s Ringe ist also differenzstabil Die Stabilitat bezuglich der abzahlbaren Vereinigungen folgt analog Die Aussage gilt ebenso fur den Schnitt einer beliebigen Anzahl von s Ringen uber W displaystyle Omega nbsp da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser s Ringe ausweiten lasst Somit gilt Ist I displaystyle I nbsp eine beliebige Indexmenge und sind R i displaystyle mathcal R i nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp s Ringe uber derselben Grundmenge W displaystyle Omega nbsp so ist der Schnitt aller dieser s Ringe wieder ein s Ring R I displaystyle mathcal R I nbsp uber W displaystyle Omega nbsp R I i I R i displaystyle mathcal R I bigcap i in I mathcal R i nbsp Vereinigungen von s Ringen Bearbeiten Die Vereinigung R 1 R 2 displaystyle mathcal R 1 cup mathcal R 2 nbsp zweier s Ringe R 1 displaystyle mathcal R 1 nbsp und R 2 displaystyle mathcal R 2 nbsp uber W displaystyle Omega nbsp ist im Allgemeinen kein s Ring mehr Betrachtet man beispielsweise die beiden s Ringe R 1 1 2 3 1 2 3 displaystyle mathcal R 1 emptyset 1 2 3 1 2 3 nbsp sowie R 2 2 1 3 1 2 3 displaystyle mathcal R 2 emptyset 2 1 3 1 2 3 nbsp uber W 1 2 3 displaystyle Omega 1 2 3 nbsp so ist R 1 R 2 1 2 1 3 2 3 1 2 3 displaystyle mathcal R 1 cup mathcal R 2 emptyset 1 2 1 3 2 3 1 2 3 nbsp Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil da es 1 2 1 2 displaystyle 1 cup 2 1 2 nbsp nicht enthalt und somit auch kein s Ring Produkte von s Ringen Bearbeiten Sind R 1 displaystyle mathcal R 1 nbsp und R 2 displaystyle mathcal R 2 nbsp s Ringe uber W 1 displaystyle Omega 1 nbsp bzw W 2 displaystyle Omega 2 nbsp so ist das Produkt R 1 R 2 displaystyle mathcal R 1 times mathcal R 2 nbsp von R 1 displaystyle mathcal R 1 nbsp und R 2 displaystyle mathcal R 2 nbsp im Allgemeinen kein s Ring uber W 1 W 2 displaystyle Omega 1 times Omega 2 nbsp mehr Denn betrachtet man den s Ring R 1 2 1 2 displaystyle mathcal R emptyset 1 2 1 2 nbsp uber W 1 2 displaystyle Omega 1 2 nbsp so enthalt das Mengensystem R R displaystyle mathcal R times mathcal R nbsp sowohl die Mengen A 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 displaystyle A 1 2 times 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 nbsp als auch B 2 2 2 2 displaystyle B 2 times 2 2 2 nbsp Die Menge A B 1 1 1 2 2 1 displaystyle A setminus B 1 1 1 2 2 1 nbsp ist jedoch nicht in R R displaystyle mathcal R times mathcal R nbsp enthalten da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus R displaystyle mathcal R nbsp darstellen lasst Das Produkt ist somit nicht differenzstabil und damit auch kein s Ring Spur eines s Ringes Bearbeiten Die Spur eines s Ringes R displaystyle mathcal R nbsp bezuglich einer Menge U displaystyle U nbsp also das Mengensystem R U A U A R displaystyle mathcal R U A cap U mid A in mathcal R nbsp ist immer ein s Ring unabhangig von der Wahl von U displaystyle U nbsp Beziehung zu verwandten Strukturen Bearbeiten nbsp Hierarchie der in der Masstheorie verwendeten Mengensystemes Algebren Bearbeiten Ein s Ring der die Grundmenge W displaystyle Omega nbsp enthalt ist eine s Algebra und damit auch eine Algebra Somit ist jede s Algebra ein s Ring die Umkehrung ist aber im Allgemeinen falsch Beispiel fur einen s Ring der keine s Algebra ist ist der im obigen Abschnitt Beispiele zuletzt genannte s Ring Ringe Bearbeiten Jeder s Ring ist ein Ring und damit auch ein Halbring und ein Mengenverband Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht Beispiel eines Ringes der kein s Ring ist ware das Mengensystem aller endlichen Teilmengen bei einer abzahlbar unendlichen Grundmenge d Ringe Bearbeiten Jeder s Ring ist auch immer ein d Ring denn wie im Abschnitt Eigenschaften gezeigt wurde sind s Ringe immer auch stabil bezuglich abzahlbaren Schnitten Umgekehrt sind d Ringe jedoch im Allgemeinen keine s Ringe Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzahlbare Menge W displaystyle Omega nbsp und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen E E W E lt displaystyle mathcal E E subseteq Omega mid E lt infty nbsp so handelt es sich um einen d Ring da abzahlbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind Es ist aber kein s Ring denn abzahlbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich Monotone Klassen Bearbeiten Jeder Ring der eine monotone Klasse ist ist ein s Ring Denn sind die Mengen A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 A 2 A 3 nbsp im Ring enthalten so ist auch B n i 1 n A i displaystyle B n bigcup i 1 n A i nbsp aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten Die Mengen B n displaystyle B n nbsp bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge daher ist ihr Grenzwert lim n B n n 1 A n displaystyle lim n to infty B n bigcup n 1 infty A n nbsp aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten Das Mengensystem ist also abgeschlossen bezuglich abzahlbaren Vereinigungen Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein s Ring Umgekehrt ist jeder s Ring aufgrund seiner Stabilitat bezuglich abzahlbaren Vereinigungen und Schnitten immer auch eine monotone Klasse Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 4 korrigierte Auflage Springer Berlin u a 2005 ISBN 3 540 21390 2 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008 ISBN 978 3 540 76317 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title S Ring amp oldid 192100453