Ein Mengenring auch einfach kurz Ring genannt ist in der Masstheorie ein spezielles Mengensystem und somit eine Menge von Mengen Ringe und ihre Erweiterungen zu komplexeren Mengensystemen wie s Algebren spielen eine wichtige Rolle im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Integrationstheorie Felix Hausdorff nannte aufgrund einer ungefahren Analogie zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband Ring 1 Unter einem Ring versteht man heute in der Masstheorie ublicherweise ein wie hier definiertes Mengensystem 2 Der hier verwendete Begriff des Ringes unterscheidet sich ausserdem von dem eines Rings im Sinne der Algebra beide stehen aber in einem Zusammenhang Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 Potenzmengen 2 2 System aller endlichen Teilmengen 2 3 Mengenring der d dimensionalen Figuren 3 Eigenschaften 3 1 Stabilitat bezuglich Mengenoperationen 3 2 Mengenring mit Eins 3 3 Beziehung zum Ring im Sinne der Algebra 4 Aquivalente Definitionen 5 Operationen mit Ringen 5 1 Schnitt von Ringen 5 2 Vereinigung von Ringen 5 3 Produkt von Ringen 5 4 Spur eines Rings 6 Erzeugung von Ringen 7 Verwandte Mengensysteme 7 1 Verallgemeinerungen 7 2 Spezielle Mengenringe 8 Siehe auch 9 Literatur 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei W displaystyle Omega nbsp eine beliebige Menge Ein Mengensystem R displaystyle mathcal R nbsp uber W displaystyle Omega nbsp also eine Menge von Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp heisst ein Mengenring oder Ring uber W displaystyle Omega nbsp wenn folgende Eigenschaften erfullt sind R displaystyle mathcal R neq emptyset quad nbsp R displaystyle mathcal R nbsp ist nicht leer A B R A B R displaystyle A B in mathcal R implies A cup B in mathcal R quad nbsp Stabilitat Abgeschlossenheit bezuglich Vereinigung A B R A B R displaystyle A B in mathcal R implies A setminus B in mathcal R quad nbsp Stabilitat Abgeschlossenheit bezuglich Differenz Jeder Mengenring R displaystyle mathcal R nbsp enthalt mit der leeren Menge displaystyle emptyset nbsp ein Nullelement bzw eine Null denn R displaystyle mathcal R nbsp enthalt mindestens ein Element A displaystyle A nbsp und damit ist A A R displaystyle emptyset A setminus A in mathcal R nbsp Aquivalente Definitionen befinden sich im entsprechenden unten stehenden Abschnitt Beispiele BearbeitenPotenzmengen Bearbeiten Uber einer beliebigen Menge W displaystyle Omega nbsp ist jede Potenzmenge R P T displaystyle mathcal R mathcal P T nbsp von einer Menge T W displaystyle T subseteq Omega nbsp ein Mengenring Denn P T displaystyle mathcal P T nbsp ist nicht leer und stabil bezuglich allen Mengenoperationen da P T displaystyle mathcal P T nbsp per Definition alle Teilmengen von T displaystyle T nbsp enthalt die ebenso Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp sind Insbesondere ist die Potenzmenge P W displaystyle mathcal P Omega nbsp der grosste Mengenring uber W displaystyle Omega nbsp enthalt sie doch alle Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp Die Potenzmenge der leeren Menge P displaystyle mathcal P emptyset emptyset nbsp ist wiederum der kleinste Mengenring uber W displaystyle Omega nbsp weil immer W displaystyle emptyset subseteq Omega nbsp ist System aller endlichen Teilmengen Bearbeiten Ist W displaystyle Omega nbsp eine beliebige Menge und bezeichnet A displaystyle A nbsp die Machtigkeit der Menge A 0 displaystyle A emptyset 0 nbsp so ist das System R A W A N 0 displaystyle mathcal R A subseteq Omega mid A in mathbb N 0 nbsp aller endlichen Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp ein Mengenring weil Vereinigungen und Differenzen von jeweils zwei endlichen Mengen wieder endlich sind Mengenring der d dimensionalen Figuren Bearbeiten Ein in der Anwendung wichtiger Mengenring uber R d d N displaystyle mathbb R d d in mathbb N nbsp ist der Ring der d displaystyle d nbsp dimensionalen Figuren 3 R a 1 b 1 a n b n R d a i b i R d mit a i b i fur i 1 n displaystyle mathcal R a 1 b 1 cup cdots cup a n b n subset mathbb R d mid a i b i in mathbb R d text mit a i leq b i text fur i 1 ldots n nbsp Er besteht aus allen Mengen die sich als endliche Vereinigungen von rechtsoffenen d displaystyle d nbsp dimensionalen Intervallen darstellen lassen und ist der von dem Mengenhalbring H a b R d a b R d mit a b displaystyle mathcal H a b subset mathbb R d mid a b in mathbb R d text mit a leq b nbsp erzeugte Ring s u Eigenschaften BearbeitenStabilitat bezuglich Mengenoperationen Bearbeiten Fur zwei beliebige Mengen A B displaystyle A B nbsp gilt stets A B A A B displaystyle A cap B A setminus A setminus B nbsp und A B A B B A displaystyle A bigtriangleup B A setminus B cup B setminus A nbsp Daher ist auch jeder Mengenring R displaystyle mathcal R nbsp stabil abgeschlossen bezuglich Durchschnitt und symmetrischer Differenz A B R A B R displaystyle A B in mathcal R implies A cap B in mathcal R nbsp A B R A B R displaystyle A B in mathcal R implies A bigtriangleup B in mathcal R nbsp Aus der Stabilitat bezuglich Vereinigung Durchschnitt und symmetrischer Differenz folgt jeweils induktiv dass auch alle endlichen Vereinigungen sowie alle nicht leeren endlichen Durchschnitte und symmetrischen Differenzen von Elementen des Mengenringes R displaystyle mathcal R nbsp in ihm enthalten sind d h fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt A 1 A n R A 1 A n R displaystyle A 1 ldots A n in mathcal R implies A 1 cup cdots cup A n in mathcal R quad nbsp und R displaystyle quad bigcup emptyset emptyset in mathcal R nbsp A 1 A n R A 1 A n R displaystyle A 1 ldots A n in mathcal R implies A 1 cap cdots cap A n in mathcal R nbsp A 1 A n R A 1 A n R displaystyle A 1 ldots A n in mathcal R implies A 1 bigtriangleup cdots bigtriangleup A n in mathcal R nbsp Mengenring mit Eins Bearbeiten Da jeder Mengenring R displaystyle mathcal R nbsp vereinigungs und durchschnittsstabil ist ist er auch ein Mengenverband Wenn R displaystyle mathcal R nbsp als solcher auch I R displaystyle mathrm I bigcup mathcal R nbsp als Einselement bzw Eins enthalt dann ist R displaystyle mathcal R nbsp ein Mengenring mit Eins oder kurz ein Ring mit Eins Jede Potenzmenge R P T displaystyle mathcal R mathcal P T nbsp einer Menge T W displaystyle T subseteq Omega nbsp ist ein Mengenring uber W displaystyle Omega nbsp mit Einselement I T displaystyle mathrm I T nbsp Dagegen ist das Mengensystem R n 1 n m n 1 n m N m N displaystyle mathcal R emptyset cup n 1 ldots n m mid n 1 ldots n m in mathbb N m in mathbb N nbsp aller endlichen Teilmengen von W N displaystyle Omega mathbb N nbsp ein Beispiel fur einen Mengenring ohne Eins denn R N R displaystyle bigcup mathcal R mathbb N notin mathcal R nbsp Beziehung zum Ring im Sinne der Algebra Bearbeiten Das Tripel R displaystyle mathcal R bigtriangleup cap nbsp mit dem Mengenring R displaystyle mathcal R nbsp ist ein Ring im Sinne der Algebra und die leere Menge displaystyle emptyset nbsp ist dessen Nullelement Falls R displaystyle mathcal R nbsp ein Mengenring mit Eins ist ist I R displaystyle mathrm I bigcup mathcal R nbsp zudem das Einselement von R displaystyle mathcal R bigtriangleup cap nbsp Ist umgekehrt R displaystyle mathcal R nbsp ein Mengensystem so dass R displaystyle mathcal R bigtriangleup cap nbsp ein Ring im Sinne der Algebra ist dann ist R displaystyle mathcal R nbsp wegen A B A B A B R displaystyle A cup B A bigtriangleup B bigtriangleup A cap B in mathcal R nbsp und A B A A B R displaystyle A setminus B A bigtriangleup A cap B in mathcal R nbsp fur alle A B R displaystyle A B in mathcal R nbsp auch immer ein Mengenring Damit sich jeder Mengenring R displaystyle mathcal R nbsp als Ring im Sinne der Algebra darstellen lasst darf R displaystyle mathcal R nbsp nicht leer sein denn die leere Menge displaystyle emptyset nbsp kann kein Nullelement enthalten und daher keine Tragermenge eines Ringes im Sinne der Algebra sein Aquivalente Definitionen BearbeitenWenn R displaystyle mathcal R nbsp ein System von Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp ist und wenn A B displaystyle A B nbsp Mengen sind dann sind wegen A B A A B displaystyle A cap B A setminus A setminus B nbsp und A B A A B displaystyle A setminus B A setminus A cap B nbsp folgende zwei Aussagen aquivalent A B R A B R displaystyle A B in mathcal R implies A setminus B in mathcal R nbsp A B R A B R displaystyle A B in mathcal R implies A cap B in mathcal R nbsp und falls B A displaystyle B subseteq A nbsp auch A B R displaystyle A setminus B in mathcal R nbsp Ist ausserdem R displaystyle mathcal R neq emptyset nbsp so sind wegen A B A B B displaystyle A setminus B A cup B bigtriangleup B nbsp und A B A B B displaystyle A cup B A setminus B cup B nbsp sowie A B C C A C B displaystyle A cup B C setminus C setminus A cap C setminus B nbsp fur jede Menge C displaystyle C nbsp mit A B C displaystyle A cup B subseteq C nbsp ebenso aquivalent R displaystyle mathcal R nbsp ist ein Mengenring R displaystyle mathcal R nbsp ist ein differenzstabiler Mengenverband R displaystyle mathcal R nbsp ist ein vereinigungsstabiler Mengenhalbring R displaystyle mathcal R nbsp ist stabil bezuglich symmetrischer Differenz displaystyle bigtriangleup nbsp und Durchschnitt displaystyle cap nbsp R displaystyle mathcal R bigtriangleup nbsp ist eine abelsche Gruppe und R displaystyle mathcal R cap nbsp ist eine Halbgruppe R displaystyle mathcal R bigtriangleup cap nbsp ist ein Ring im Sinne der Algebra mit Addition displaystyle bigtriangleup nbsp und Multiplikation displaystyle cap nbsp R displaystyle mathcal R bigtriangleup cap nbsp ist ein idempotenter kommutativer Ring im Sinne der Algebra R displaystyle mathcal R nbsp ist stabil bezuglich symmetrischer Differenz displaystyle bigtriangleup nbsp und Vereinigung displaystyle cup nbsp A B R A B R displaystyle A B in mathcal R implies A setminus B in mathcal R nbsp und falls A B displaystyle A cap B emptyset nbsp existiert ein C R displaystyle C in mathcal R nbsp mit A B C displaystyle A cup B subseteq C nbsp A B R A B R displaystyle A B in mathcal R implies A setminus B in mathcal R nbsp und es existiert ein C R displaystyle C in mathcal R nbsp mit A B C displaystyle A cup B subseteq C nbsp Operationen mit Ringen BearbeitenSchnitt von Ringen Bearbeiten Der Schnitt R 1 R 2 displaystyle mathcal R 1 cap mathcal R 2 nbsp von zwei Mengenringen R 1 displaystyle mathcal R 1 nbsp und R 2 displaystyle mathcal R 2 nbsp ist stets wieder ein Ring Denn sind A B R 1 R 2 displaystyle A B in mathcal R 1 cap mathcal R 2 nbsp so sind auch A B R 1 displaystyle A B in mathcal R 1 nbsp und A B R 2 displaystyle A B in mathcal R 2 nbsp also A B R 1 displaystyle A cup B in mathcal R 1 nbsp sowie A B R 2 displaystyle A cup B in mathcal R 2 nbsp Somit ist A B displaystyle A cup B nbsp auch in R 1 R 2 displaystyle mathcal R 1 cap mathcal R 2 nbsp der Schnitt ist folglich stabil bezuglich Vereinigung Die Stabilitat bezuglich der Differenz folgt analog Die Aussage gilt ebenso fur den Schnitt einer beliebigen Anzahl von Mengenringen da sich die obige Argumentation dann auf alle diese Ringe ausweiten lasst Somit gilt Ist I displaystyle I nbsp eine beliebige Indexmenge und sind alle R i displaystyle mathcal R i nbsp fur i I displaystyle i in I nbsp Mengenringe uber derselben Grundmenge W displaystyle Omega nbsp so ist der Schnitt aller dieser Ringe wieder ein Mengenring uber W displaystyle Omega nbsp R I i I R i displaystyle mathcal R I bigcap i in I mathcal R i nbsp Vereinigung von Ringen Bearbeiten Die Vereinigung R 1 R 2 displaystyle mathcal R 1 cup mathcal R 2 nbsp zweier Mengenringe R 1 displaystyle mathcal R 1 nbsp und R 2 displaystyle mathcal R 2 nbsp ist jedoch im Allgemeinen kein Mengenring mehr Betrachtet man beispielsweise die beiden Ringe R 1 1 2 3 1 2 3 displaystyle mathcal R 1 emptyset 1 2 3 1 2 3 nbsp sowie R 2 2 1 3 1 2 3 displaystyle mathcal R 2 emptyset 2 1 3 1 2 3 nbsp so ist R 1 R 2 1 2 1 3 2 3 1 2 3 displaystyle mathcal R 1 cup mathcal R 2 emptyset 1 2 1 3 2 3 1 2 3 nbsp Dieses Mengensystem ist aber weder vereinigungsstabil da es 1 2 1 2 displaystyle 1 cup 2 1 2 nbsp nicht enthalt noch ist es differenzstabil da es 1 3 1 3 displaystyle 1 3 setminus 1 3 nbsp nicht enthalt und somit auch kein Mengenring Produkt von Ringen Bearbeiten Es seien S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp ein Mengensystem uber W 1 displaystyle Omega 1 nbsp und S 2 displaystyle mathcal S 2 nbsp ein Mengensystem uber W 2 displaystyle Omega 2 nbsp Das direkte Produkt von S 1 displaystyle mathcal S 1 nbsp und S 2 displaystyle mathcal S 2 nbsp ist definiert als das Mengensystem S 1 S 2 A B A S 1 B S 2 displaystyle mathcal S 1 boxdot mathcal S 2 A times B mid A in mathcal S 1 B in mathcal S 2 nbsp uber W 1 W 2 displaystyle Omega 1 times Omega 2 nbsp Das direkte Produkt von zwei Mengenringen ist jedoch im Allgemeinen kein Mengenring mehr sondern lediglich ein Mengenhalbring Betrachtet man als Gegenbeispiel den Potenzmengenring R P 1 2 1 2 1 2 displaystyle mathcal R mathcal P 1 2 emptyset 1 2 1 2 nbsp so enthalt das Mengensystem R R displaystyle mathcal R boxdot mathcal R nbsp die Mengen A 1 1 1 1 displaystyle A 1 times 1 1 1 nbsp und B 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 displaystyle B 1 2 times 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 nbsp Die Menge B A 1 2 2 1 2 2 displaystyle B setminus A 1 2 2 1 2 2 nbsp ist jedoch nicht in R R displaystyle mathcal R boxdot mathcal R nbsp enthalten da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus R displaystyle mathcal R nbsp darstellen lasst Somit ist das direkte Produkt R R displaystyle mathcal R boxdot mathcal R nbsp nicht differenzstabil und damit auch kein Mengenring Das Ringprodukt von zwei Mengenringen R 1 displaystyle mathcal R 1 nbsp uber W 1 displaystyle Omega 1 nbsp und R 2 displaystyle mathcal R 2 nbsp uber W 2 displaystyle Omega 2 nbsp definiert man daher als deren Tensorprodukt R 1 R 2 A 1 B 1 A n B n A 1 A n R 1 B 1 B n R 2 n N displaystyle mathcal R 1 boxtimes mathcal R 2 A 1 times B 1 cup cdots cup A n times B n mid A 1 ldots A n in mathcal R 1 B 1 ldots B n in mathcal R 2 n in mathbb N nbsp sodass dieses wieder ein Mengenring uber W 1 W 2 displaystyle Omega 1 times Omega 2 nbsp ist namlich der von R 1 R 2 displaystyle mathcal R 1 boxdot mathcal R 2 nbsp erzeugte Ring s u Spur eines Rings Bearbeiten Die Spur eines Rings R displaystyle mathcal R nbsp uber W displaystyle Omega nbsp in einer Menge T W displaystyle T subseteq Omega nbsp also das Mengensystem R T A T A R displaystyle mathcal R T A cap T mid A in mathcal R nbsp ist immer ein Mengenring uber W displaystyle Omega nbsp und uber T displaystyle T nbsp Erzeugung von Ringen BearbeitenDa beliebige Schnitte von Mengenringen wieder Ringe sind s o lasst sich fur jedes Mengensystem S displaystyle mathcal S nbsp uber W displaystyle Omega nbsp durch ϱ S R R ist ein Ring uber W mit S R displaystyle varrho mathcal S bigcap mathcal R mid mathcal R text ist ein Ring uber Omega text mit mathcal S subseteq mathcal R nbsp eine Hulle definieren Diese ist per Definition der kleinste Mengenring uber W displaystyle Omega nbsp der das Mengensystem S displaystyle mathcal S nbsp enthalt und wird der von S displaystyle mathcal S nbsp erzeugte Ring genannt Teilweise kann der erzeugte Ring direkt angegeben werden So ist der von einem Mengenhalbring H displaystyle mathcal H nbsp erzeugte Ring von der Form ϱ H A 1 A n A 1 A n H sind paarweise disjunkt n N displaystyle varrho mathcal H A 1 cup cdots cup A n mid A 1 ldots A n in mathcal H text sind paarweise disjunkt n in mathbb N nbsp Ein explizites Beispiel dieser Form ist das obige Beispiel des Mengenrings der d displaystyle d nbsp dimensionalen Figuren Ebenso gilt fur das oben besprochene Produkt zweier Mengenringe R 1 displaystyle mathcal R 1 nbsp und R 2 displaystyle mathcal R 2 nbsp R 1 R 2 ϱ R 1 R 2 displaystyle mathcal R 1 boxtimes mathcal R 2 varrho mathcal R 1 boxdot mathcal R 2 nbsp Verwandte Mengensysteme Bearbeiten nbsp Hierarchie der in der Masstheorie verwendeten MengensystemeVerallgemeinerungen Bearbeiten MengenhalbringJeder Mengenring ist ein vereinigungsstabiler Mengenhalbring aber nicht jeder Mengenhalbring ist auch ein Mengenring Denn der Mengenhalbring H 1 2 3 1 2 3 displaystyle mathcal H emptyset 1 2 3 1 2 3 nbsp ist kein Mengenring weil H displaystyle mathcal H nbsp weder vereinigungs noch differenzstabil ist MengenverbandEin Mengenring ist stets ein differenzstabiler Mengenverband jedoch ist nicht jeder Mengenverband ein Mengenring Der Mengenverband V 1 displaystyle mathcal V 1 nbsp ist kein Mengenring da V displaystyle mathcal V nbsp nicht differenzstabil ist Spezielle Mengenringe Bearbeiten MengenalgebraEin Mengenring A displaystyle mathcal A nbsp uber einer Menge W displaystyle Omega nbsp mit W A displaystyle Omega in mathcal A nbsp wird eine Mengenalgebra uber W displaystyle Omega nbsp genannt Somit ist jede Mengenalgebra A displaystyle mathcal A nbsp ein Mengenring mit der Eins W A displaystyle Omega bigcup mathcal A nbsp aber nicht jeder Mengenring ist eine Mengenalgebra So ist auch der Mengenring R P 1 1 displaystyle mathcal R mathcal P 1 emptyset 1 nbsp keine Mengenalgebra uber der Grundmenge W 1 2 displaystyle Omega 1 2 nbsp da W R displaystyle Omega notin mathcal R nbsp Nimmt man dagegen seine Eins I displaystyle mathrm I nbsp als Grundmenge so ist I 1 R displaystyle mathrm I 1 in mathcal R nbsp und damit ist R displaystyle mathcal R nbsp eine Mengenalgebra uber I displaystyle mathrm I nbsp Fur den Begriff der Mengenalgebra ist daher die vorausgesetzte Grundmenge wesentlich d RingEin Mengenring der abgeschlossen bezuglich abzahlbar vielen Schnitten ist wird ein d Ring genannt s RingEin Mengenring der abgeschlossen bezuglich abzahlbar vielen Vereinigungen ist wird ein s Ring genannt Monotone KlassenJeder Ring R displaystyle mathcal R nbsp der eine monotone Klasse ist ist ein s Ring und damit auch ein d Ring Denn sind alle A 1 A n R displaystyle A 1 ldots A n in mathcal R nbsp fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp so ist aufgrund der Eigenschaften des Ringes auch B n i 1 n A i R displaystyle B n bigcup i 1 n A i in mathcal R nbsp Die Mengen B n displaystyle B n nbsp bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge daher ist aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse ihr Grenzwert lim n B n i 1 A i R displaystyle lim n to infty B n bigcup i 1 infty A i in mathcal R nbsp R displaystyle mathcal R nbsp ist also abgeschlossen bezuglich abzahlbaren Vereinigungen Somit ist die von einem Ring R displaystyle mathcal R nbsp erzeugte monotone Klasse immer ein s Ring Siehe auch BearbeitenTopologischer RaumLiteratur BearbeitenHeinz Bauer Mass und Integrationstheorie 2 uberarb Auflage De Gruyter Berlin New York 1992 ISBN 3 11 013626 0 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Ernst Henze Einfuhrung in die Masstheorie 2 uberarb Auflage Bibliographisches Institut Mannheim Zurich 1985 ISBN 3 411 03102 6 Einzelnachweise Bearbeiten Felix Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre Veit amp Comp Leipzig 1914 S 14 Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als Summe Hausdorff nannte ein solches einen Korper Grundzuge der Mengenlehre S 15 Peter Eichelsbacher Wahrscheinlichkeitstheorie Ruhr Universitat Bochum S 5 f 1 PDF abgerufen am 30 Oktober 2018 Vorlesungsskript Wintersemester 2016 17 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ring Mengensystem amp oldid 197846041
