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Algebraische Zahlentheorie Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie die wiederum ein Teilgebi

Algebraische Zahlentheorie

Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie, die wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist.

Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen bzw. rationalen Zahlen hinaus und betrachtet algebraische Zahlkörper, das sind endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen. Elemente von Zahlkörpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die Ganzheitsringe. Ganzheitsringe sind Dedekindringe und verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen, aber manche Eigenschaften nehmen eine etwas andere Form an. Beispielsweise gibt es im Allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Primzahlen mehr, sondern nur noch in Primideale.

Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium algebraischer Funktionenkörper über endlichen Körpern, deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen „globale Körper“ zusammengefasst.

Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen „lokal“, also für jede Primstelle einzeln zu betrachten (Lokal-Global-Prinzip). Dieser Vorgang führt im Fall der ganzen Zahlen zu den p-adischen Zahlen, allgemeiner zu lokalen Körpern.

Weiterführende Begriffe Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
  • Serge Lang: Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, 2000. ISBN 0-387-94225-4.
  • Władysław Narkiewicz: Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers. Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-21902-1.
  • J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: Cohomology of number fields. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1999, ISBN 3-540-66671-0.
  • Ian Stewart, David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem. 3rd Edition. Natick (MA, USA) 2002. A K Peters. ISBN 1-56881-119-5

Weblinks Bearbeiten

Wikiversity: Eine Einführung in die algebraische Zahlentheorie – Kursmaterialien
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Die algebraische Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Zahlentheorie die wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist Die algebraische Zahlentheorie geht uber die ganzen bzw rationalen Zahlen hinaus und betrachtet algebraische Zahlkorper das sind endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen Elemente von Zahlkorpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten Diese Zahlkorper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen die Ganzheitsringe Ganzheitsringe sind Dedekindringe und verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen aber manche Eigenschaften nehmen eine etwas andere Form an Beispielsweise gibt es im Allgemeinen keine eindeutige Zerlegung in Primzahlen mehr sondern nur noch in Primideale Die algebraische Zahlentheorie beschaftigt sich weiterhin mit dem Studium algebraischer Funktionenkorper uber endlichen Korpern deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkorper verlauft Algebraische Zahl und Funktionenkorper werden unter dem Namen globale Korper zusammengefasst Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus Fragen lokal also fur jede Primstelle einzeln zu betrachten Lokal Global Prinzip Dieser Vorgang fuhrt im Fall der ganzen Zahlen zu den p adischen Zahlen allgemeiner zu lokalen Korpern Weiterfuhrende Begriffe BearbeitenGlobaler Korper Lokaler Korper KlassenkorpertheorieLiteratur BearbeitenJurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 54273 6 Serge Lang Algebraic Number Theory Springer Verlag 2000 ISBN 0 387 94225 4 Wladyslaw Narkiewicz Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers Springer Verlag 2004 ISBN 3 540 21902 1 J Neukirch A Schmidt K Wingberg Cohomology of number fields Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1999 ISBN 3 540 66671 0 Ian Stewart David Tall Algebraic Number Theory and Fermat s Last Theorem 3rd Edition Natick MA USA 2002 A K Peters ISBN 1 56881 119 5Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Eine Einfuhrung in die algebraische Zahlentheorie Kursmaterialien Vorlesung algebraische Zahlentheorie 19 Sitzungen von Yorck Sommerhauser WiSe 2003 2004 an der LMU Munchen im Quicktime Format mit Simultananzeige der Prasentation Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebraische Zahlentheorie amp oldid 220600463