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Lokal Global Prinzip Zahlentheorie Als Lokal Global Prinzip Hasse Prinzip bezeichnet man in der Zahlentheorie verschiede

Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)

Als Lokal-Global-Prinzip (Hasse-Prinzip) bezeichnet man in der Zahlentheorie verschiedene Prinzipien, mit denen in manchen Fällen aus der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen modulo aller Primzahlen auf die Lösbarkeit der ursprünglichen Gleichung geschlossen werden kann.

Der Name stammt von modernen Formulierungen, nach der die Lösbarkeit in globalen Körpern aus der Lösbarkeit in deren Vervollständigungen (den lokalen Körpern) gefolgert wird.

Reduktion diophantischer Gleichungen und chinesischer Restsatz Bearbeiten

Eine diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form

wobei eine gegebene Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten ist und nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.

Wenn eine ganzzahlige Lösung ist, dann sind offensichtlich auch für jede ganze Zahl die Restklassen modulo

Lösungen der modulo "reduzierten" Gleichung

Es ist sogar genau dann eine ganzzahlige Lösung, wenn für alle Primzahlen die reduzierte Gleichung modulo gilt. Mithilfe des chinesischen Restsatzes erhält man außerdem, dass genau dann für jede natürliche Zahl lösbar ist, falls für jede Primzahl und jede natürliche Zahl eine Lösung besitzt.

Es trifft aber im Allgemeinen nicht zu, dass aus der Lösbarkeit der Gleichungen modulo jeder Primzahl oder sogar Primpotenz auch die Lösbarkeit in ganzen Zahlen folgt. Zum Beispiel hat die Gleichung

keine ganzzahlige Lösung, sie ist aber modulo jeder Primzahl lösbar, weil stets mindestens eine der Zahlen ein quadratischer Rest ist.

Lokal-Global-Prinzipien werden heute in der Regel mittels der Vervollständigungen der rationalen Zahlen formuliert, also der p-adischen Zahlen (für alle Primzahlen ) und der reellen Zahlen . Man sagt dann, dass eine Gleichung , wobei eine Polynomfunktion mit rationalen Koeffizienten ist, dem Lokal-Global-Prinzip genügt, wenn aus der Lösbarkeit in und in für alle Primzahlen die Lösbarkeit der ursprünglichen Gleichung in folgt. Bjorn Poonen und Felipe Voloch haben bewiesen, dass die Brauer-Manin-Obstruktion die einzige Obstruktion für das Lokal-Global-Prinzip ist.

Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen (Satz von Hasse-Minkowski) Bearbeiten

Der Satz von Hasse-Minkowski besagt, dass das Lokal-Global-Prinzip für das Problem der Darstellung der Null durch eine gegebene quadratische Form über dem Körper der rationalen Zahlen (das ist der ursprüngliche Satz von Minkowski) oder allgemeiner über einem Zahlkörper (das bewies Hasse 1921 in seiner Dissertation) gilt.

Wenn also

eine quadratische Form mit Koeffizienten in einem Zahlkörper (zum Beispiel dem Körper der rationalen Zahlen ) ist, dann folgt aus der Existenz von nichttrivialen Nullstellen in und in allen p-adischen Vervollständigungen bereits die Existenz einer nichttrivialen Nullstelle im Zahlkörper.

Dieses Prinzip lässt sich nicht auf kubische Polynome verallgemeinern. Die Gleichung hat nichttriviale Lösungen in und in allen , aber nicht in (Ernst Sejersted Selmer). Auch die Fermat-Gleichung hat Lösungen in allen und , aber nicht in den rationalen Zahlen.

Eng mit dem Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen hängt das Hasse-Prinzip für algebraische Gruppen zusammen. Dieses besagt, dass man für eine einfach zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Zahlkörper einen Isomorphismus der Galois-Kohomologie

hat, wobei alle Vervollständigungen von durchläuft. Dieses Prinzip wurde beim Beweis der Weil-Vermutung für Tamagawa-Zahlen und des starken Approximationssatzes in algebraischen Gruppen verwandt.

Literatur Bearbeiten

  • Gerhard Frey: Elementare Zahlentheorie. Vieweg Studium: Grundkurs Mathematik, 56. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1984. ISBN 3-528-07256-3

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Unveränderter Nachdruck der ersten Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 3-540-37547-3, S. 108–109.
  2. Martin Kneser: Hasse principle for H1 of simply connected groups. 1966 Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) pp. 159–163 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.
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Als Lokal Global Prinzip Hasse Prinzip bezeichnet man in der Zahlentheorie verschiedene Prinzipien mit denen in manchen Fallen aus der Losbarkeit diophantischer Gleichungen modulo aller Primzahlen auf die Losbarkeit der ursprunglichen Gleichung geschlossen werden kann Der Name stammt von modernen Formulierungen nach der die Losbarkeit in globalen Korpern aus der Losbarkeit in deren Vervollstandigungen den lokalen Korpern gefolgert wird Inhaltsverzeichnis 1 Reduktion diophantischer Gleichungen und chinesischer Restsatz 2 Lokal Global Prinzip fur quadratische Formen Satz von Hasse Minkowski 3 Literatur 4 EinzelnachweiseReduktion diophantischer Gleichungen und chinesischer Restsatz BearbeitenEine diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form f x 1 x 2 x 3 x n 0 displaystyle f x 1 x 2 x 3 dotsc x n 0 nbsp wobei f displaystyle f nbsp eine gegebene Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten ist und nur ganzzahlige Losungen gesucht werden Wenn x 1 x 2 x 3 x n displaystyle x 1 x 2 x 3 ldots x n nbsp eine ganzzahlige Losung ist dann sind offensichtlich auch fur jede ganze Zahl p displaystyle p nbsp die Restklassen modulo p displaystyle p nbsp x 1 x 2 x 3 x n Z p Z displaystyle left x 1 right left x 2 right left x 3 right ldots left x n right in mathbb Z p mathbb Z nbsp Losungen der modulo p displaystyle p nbsp reduzierten Gleichung f x 1 x 2 x 3 x n 0 Z p Z displaystyle f left x 1 right left x 2 right left x 3 right dotsc left x n right left 0 right in mathbb Z p mathbb Z nbsp Es ist x 1 x 2 x 3 x n displaystyle x 1 x 2 x 3 ldots x n nbsp sogar genau dann eine ganzzahlige Losung wenn fur alle Primzahlen p displaystyle p nbsp die reduzierte Gleichung modulo p displaystyle p nbsp gilt Mithilfe des chinesischen Restsatzes erhalt man ausserdem dass f 0 mod m textstyle f equiv 0 mod m nbsp genau dann fur jede naturliche Zahl m N displaystyle m in mathbb N nbsp losbar ist falls f 0 mod p k textstyle f equiv 0 mod p k nbsp fur jede Primzahl p displaystyle p nbsp und jede naturliche Zahl k N displaystyle k in mathbb N nbsp eine Losung besitzt 1 Es trifft aber im Allgemeinen nicht zu dass aus der Losbarkeit der Gleichungen modulo jeder Primzahl oder sogar Primpotenz auch die Losbarkeit in ganzen Zahlen folgt Zum Beispiel hat die Gleichung x 2 2 x 2 3 x 2 6 0 displaystyle x 2 2 x 2 3 x 2 6 0 nbsp keine ganzzahlige Losung sie ist aber modulo jeder Primzahl p displaystyle p nbsp losbar weil stets mindestens eine der Zahlen 2 3 6 displaystyle 2 3 6 nbsp ein quadratischer Rest ist Lokal Global Prinzipien werden heute in der Regel mittels der Vervollstandigungen der rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp formuliert also der p adischen Zahlen Q p displaystyle mathbb Q p nbsp fur alle Primzahlen p displaystyle p nbsp und der reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp Man sagt dann dass eine Gleichung f x 1 x 2 x 3 x n 0 displaystyle f x 1 x 2 x 3 dotsc x n 0 nbsp wobei f displaystyle f nbsp eine Polynomfunktion mit rationalen Koeffizienten ist dem Lokal Global Prinzip genugt wenn aus der Losbarkeit in R displaystyle mathbb R nbsp und in Q p displaystyle mathbb Q p nbsp fur alle Primzahlen p displaystyle p nbsp die Losbarkeit der ursprunglichen Gleichung in Q displaystyle mathbb Q nbsp folgt Bjorn Poonen und Felipe Voloch haben bewiesen dass die Brauer Manin Obstruktion die einzige Obstruktion fur das Lokal Global Prinzip ist Lokal Global Prinzip fur quadratische Formen Satz von Hasse Minkowski BearbeitenDer Satz von Hasse Minkowski besagt dass das Lokal Global Prinzip fur das Problem der Darstellung der Null durch eine gegebene quadratische Form uber dem Korper der rationalen Zahlen das ist der ursprungliche Satz von Minkowski oder allgemeiner uber einem Zahlkorper das bewies Hasse 1921 in seiner Dissertation gilt Wenn also f x 1 x 2 x 3 x n i 1 n j 1 n a i j x i x j displaystyle f x 1 x 2 x 3 dotsc x n sum i 1 n sum j 1 n a ij x i x j nbsp eine quadratische Form mit Koeffizienten a i j displaystyle a ij nbsp in einem Zahlkorper zum Beispiel dem Korper der rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp ist dann folgt aus der Existenz von nichttrivialen Nullstellen in R displaystyle mathbb R nbsp und in allen p adischen Vervollstandigungen bereits die Existenz einer nichttrivialen Nullstelle im Zahlkorper Dieses Prinzip lasst sich nicht auf kubische Polynome verallgemeinern Die Gleichung 3 x 3 4 y 3 5 z 3 0 displaystyle 3x 3 4y 3 5z 3 0 nbsp hat nichttriviale Losungen in R displaystyle mathbb R nbsp und in allen Q p displaystyle mathbb Q p nbsp aber nicht in Q displaystyle mathbb Q nbsp Ernst Sejersted Selmer Auch die Fermat Gleichung x n y n z n displaystyle x n y n z n nbsp hat Losungen in allen Q p displaystyle mathbb Q p nbsp und R displaystyle mathbb R nbsp aber nicht in den rationalen Zahlen Eng mit dem Lokal Global Prinzip fur quadratische Formen hangt das Hasse Prinzip fur algebraische Gruppen zusammen Dieses besagt dass man fur eine einfach zusammenhangende algebraische Gruppe uber einem Zahlkorper k displaystyle k nbsp einen Isomorphismus der Galois Kohomologie H 1 k G P k s H 1 k s G displaystyle H 1 k G to Pi k s H 1 k s G nbsp hat wobei k s displaystyle k s nbsp alle Vervollstandigungen von k displaystyle k nbsp durchlauft 2 Dieses Prinzip wurde beim Beweis der Weil Vermutung fur Tamagawa Zahlen und des starken Approximationssatzes in algebraischen Gruppen verwandt Literatur BearbeitenGerhard Frey Elementare Zahlentheorie Vieweg Studium Grundkurs Mathematik 56 Friedr Vieweg amp Sohn Braunschweig 1984 ISBN 3 528 07256 3Einzelnachweise Bearbeiten Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Unveranderter Nachdruck der ersten Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2007 ISBN 3 540 37547 3 S 108 109 Martin Kneser Hasse principle for H1 of simply connected groups 1966 Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups Proc Sympos Pure Math Boulder Colo 1965 pp 159 163 Amer Math Soc Providence R I Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lokal Global Prinzip Zahlentheorie 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