Algebraische Gruppe Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebr

Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition Bearbeiten

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper , d. h. eine algebraische Varietät über zusammen mit

einem Morphismus (Multiplikation)
einem Morphismus (inverses Element)
und einem ausgezeichneten Punkt (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Assoziativgesetz: ;
neutrales Element: ;
inverses Element: ; dabei ist die Inklusion der Diagonale () und der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass für jedes -Schema auf der Menge der -wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele Bearbeiten

Die additive Gruppe : mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für ist die affine Gerade mit der Addition.
Die multiplikative Gruppe : mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für ist die offene Teilmenge mit der Multiplikation.
Die allgemeine lineare Gruppe : ; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren -Matrizen mit Einträgen im Ring . kann mit identifiziert werden.
Der Kern eines Morphismus algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist eine algebraische Gruppe.
Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
Unipotente algebraische Gruppen.

Satz von Chevalley Bearbeiten

Jede algebraische Gruppe über einem perfekten Körper ist auf eindeutige Weise eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe. Das heißt, zu jeder algebraischen Gruppe gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe , diese ist normal und der Quotient ist eine abelsche Varietät:

Die Abbildung ist die Albanese-Abbildung.

Einzelnachweise Bearbeiten

Conrad: Satz von Chevalley (PDF-Datei; 233 kB)

Literatur Bearbeiten

James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 3-540-90108-6.
Armand Borel: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97370-2.
Tonny A. Springer: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Birkhäuser, Boston 1998, ISBN 3-7643-4021-5.
Ina Kersten: Lineare algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, (PDF; 1,4 MB).

Weblinks Bearbeiten

Algebraic Groups von James S. Milne

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Veröffentlichungsdatum: November 27, 2023, 14:48 pm

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n n Matrizen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Satz von Chevalley 4 Einzelnachweise 5 Literatur 6 WeblinksDefinition BearbeitenEine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietaten uber einem festen Korper k displaystyle k nbsp d h eine algebraische Varietat G displaystyle G nbsp uber k displaystyle k nbsp zusammen mit einem Morphismus m G G G displaystyle m colon G times G to G nbsp Multiplikation einem Morphismus i G G displaystyle i colon G to G nbsp inverses Element und einem ausgezeichneten Punkt e G k displaystyle e in G k nbsp neutrales Element so dass die folgenden Bedingungen erfullt sind Assoziativgesetz m m i d G m i d G m displaystyle m circ m times mathrm id G m circ mathrm id G times m nbsp neutrales Element m i d G e i d G m e i d G displaystyle m circ mathrm id G times e mathrm id G m circ e times mathrm id G nbsp inverses Element m i i d G D G e 3 m i d G i D G displaystyle m circ i times mathrm id G circ Delta G e circ xi m circ mathrm id G times i circ Delta G nbsp dabei ist D G G G G displaystyle Delta G colon G to G times G nbsp die Inklusion der Diagonale g g g displaystyle g mapsto g g nbsp und 3 G S p e c k displaystyle xi colon G to mathrm Spec k nbsp der Strukturmorphismus Diese Bedingungen sind aquivalent zu der Forderung dass m i e displaystyle m i e nbsp fur jedes k displaystyle k nbsp Schema T displaystyle T nbsp auf der Menge G T displaystyle G T nbsp der T displaystyle T nbsp wertigen Punkte die Struktur einer gewohnlichen Gruppe definieren Beispiele BearbeitenDie additive Gruppe G a displaystyle mathbb G mathrm a nbsp G a T G T O T displaystyle mathbb G mathrm a T Gamma T mathcal O T nbsp mit der Addition als Gruppenstruktur Insbesondere fur T k displaystyle T k nbsp ist G a k k displaystyle mathbb G mathrm a k k nbsp die affine Gerade A 1 k displaystyle mathbb A 1 k nbsp mit der Addition Die multiplikative Gruppe G m displaystyle mathbb G mathrm m nbsp G m T G T O T displaystyle mathbb G mathrm m T Gamma T mathcal O T times nbsp mit der Multiplikation als Gruppenstruktur Insbesondere fur T k displaystyle T k nbsp ist G m k k displaystyle mathbb G mathrm m k k times cdot nbsp die offene Teilmenge A 1 k 0 displaystyle mathbb A 1 k setminus left 0 right nbsp mit der Multiplikation Die allgemeine lineare Gruppe G L n displaystyle mathrm GL n nbsp G L n T G L n G T O T displaystyle mathrm GL n T mathrm GL n Gamma T mathcal O T nbsp dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Eintragen im Ring G T O T displaystyle Gamma T mathcal O T nbsp G L 1 displaystyle mathrm GL 1 nbsp kann mit G m displaystyle mathbb G mathrm m nbsp identifiziert werden Der Kern eines Morphismus f G H displaystyle f G rightarrow H nbsp algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe Zum Beispiel ist S L n T k e r d e t G L n G m displaystyle mathrm SL n T mathrm ker mathrm det mathrm GL n to mathbb G mathrm m nbsp eine algebraische Gruppe Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietaten Zariski abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen Zariski abgeschlossene Untergruppen von G L n displaystyle mathrm GL n nbsp werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietat ist dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe Unipotente algebraische Gruppen Satz von Chevalley BearbeitenJede algebraische Gruppe uber einem perfekten Korper ist auf eindeutige Weise eine Erweiterung einer abelschen Varietat durch eine lineare algebraische Gruppe 1 Das heisst zu jeder algebraischen Gruppe G displaystyle G nbsp gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe G a f f displaystyle G mathrm aff nbsp diese ist normal und der Quotient A G G G a f f displaystyle A G G G mathrm aff nbsp ist eine abelsche Varietat 0 G a f f G A G 0 displaystyle 0 rightarrow G mathrm aff rightarrow G rightarrow A G rightarrow 0 nbsp Die Abbildung G A G displaystyle G rightarrow A G nbsp ist die Albanese Abbildung Einzelnachweise Bearbeiten Conrad Satz von Chevalley PDF Datei 233 kB Literatur BearbeitenJames E Humphreys Linear Algebraic Groups Springer New York 1975 ISBN 3 540 90108 6 Armand Borel Linear Algebraic Groups 2 Auflage Springer New York 1991 ISBN 3 540 97370 2 Tonny A Springer Linear Algebraic Groups 2 Auflage Birkhauser Boston 1998 ISBN 3 7643 4021 5 Ina Kersten Lineare algebraische Gruppen Universitatsverlag Gottingen 2007 PDF 1 4 MB Weblinks BearbeitenAlgebraic Groups von James S Milne Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebraische Gruppe amp oldid 208273107