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Abelsche Varietät In der Mathematik werden en im Rahmen der algebraischen Geometrie komplexen Analysis und der Zahlenthe

Abelsche Varietät

In der Mathematik werden Abelsche Varietäten im Rahmen der algebraischen Geometrie, komplexen Analysis und der Zahlentheorie untersucht. Abelsche Varietäten besitzen gleichzeitig zwei mathematische Strukturen: die Struktur einer algebraischen Varietät (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät sind durch Polynome bestimmt) und die Struktur einer Gruppe (d. h., die Elemente einer Abelschen Varietät lassen sich so miteinander verknüpfen, dass die von der Addition ganzer Zahlen gewohnten Rechengesetze gelten). Daneben muss eine Abelsche Varietät noch gewisse topologische Bedingungen erfüllen (Vollständigkeit, Zusammenhang). Abelsche Varietäten sind also spezielle algebraische Gruppen.
Der Begriff der Abelschen Varietät entstand durch geeignete Verallgemeinerung der Eigenschaften elliptischer Kurven.

Definition Bearbeiten

Eine Abelsche Varietät ist eine vollständige, zusammenhängende Gruppenvarietät.

Erläuterung der Definition Bearbeiten

In dieser Definition zeigt der Begriff „Varietät“ die Eigenschaft Abelscher Varietäten an, aus den Lösungen polynomieller Gleichungssysteme zu bestehen. Diese Lösungen werden häufig als Punkte bezeichnet. Im Fall einer Abelschen Varietät, der eine elliptische Kurve zu Grunde liegt, kann dieses Gleichungssystem aus nur einer Gleichung bestehen, etwa . Die zugehörige Abelsche Varietät besteht dann aus allen projektiven Punkten mit sowie dem Punkt , der häufig durch symbolisiert wird.

Der Bestandteil „Gruppe“ in der Definition Abelscher Varietäten verweist darauf, dass man zwei Punkte einer Abelschen Varietät stets so auf einen dritten Punkt abbilden kann, dass Rechengesetze wie bei der Addition ganzer Zahlen gelten: Diese Verknüpfung ist assoziativ, es gibt ein neutrales Element und zu jedem Element ein inverses Element. In der Definition Abelscher Varietäten wird nicht verlangt, dass diese Gruppenoperation abelsch (kommutativ) ist. Allerdings lässt sich zeigen, dass die Gruppenoperation auf einer Abelschen Varietät stets – wie der Name andeutet – abelsch ist.

Die Begriffe „vollständig“ und „zusammenhängend“ verweisen auf topologische Eigenschaften der algebraischen Varietät, die einer Abelschen Varietät zu Grunde liegen. Die folgenden Abschnitte präzisieren die drei Bestandteile „Gruppenvarietät“, „vollständig“ und „zusammenhängend“ der Definition Abelscher Varietäten.

Zum Begriff „Gruppenvarietät“ Bearbeiten

Sei ein beliebiger, nicht notwendig algebraisch abgeschlossener Körper. Eine Gruppenvarietät über ist eine algebraische Varietät über zusammen mit zwei regulären Abbildungen und sowie einem über definierten Element , sodass und eine Gruppenstruktur mit neutralem Element auf der über dem algebraischen Abschluss von betrachteten algebraischen Varietät definieren. Die reguläre Abbildung definiert dabei die Gruppenoperation der Gruppenvarietät und die Invertierung. Eine Gruppenvarietät ist also ein Quadrupel mit den genannten Eigenschaften.

Zum Begriff „vollständig“ Bearbeiten

Eine algebraische Varietät heißt vollständig, wenn für alle algebraischen Varietäten die Projektionsabbildung abgeschlossen ist (bzgl. der Zariski-Topologie). Das bedeutet: bildet jede abgeschlossene Teilmenge von auf eine abgeschlossene Teilmenge von ab. Zum Beispiel sind projektive algebraische Varietäten stets vollständig; eine vollständige algebraische Varietät braucht aber nicht projektiv zu sein.

Zum Begriff „zusammenhängend“ Bearbeiten

Ein topologischer Raum wird zusammenhängend genannt, wenn er nicht als Vereinigung zweier disjunkter, nicht leerer, offener Teilmengen dargestellt werden kann.

Eigenschaften Bearbeiten

Aus der Definition Abelscher Varietäten lassen sich wichtige, recht überraschende Eigenschaften ableiten:

  • Die Gruppenoperation einer Abelschen Varietät ist stets kommutativ (abelsch).
  • Die einer Abelschen Varietät zu Grunde liegende algebraische Varietät ist projektiv, nicht-singulär und irreduzibel.

Beispiele Bearbeiten

Die folgenden mathematischen Strukturen sind Abelsche Varietäten:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. James S. Milne: Abelian Varieties. Course Notes, Version 2.00, 2008, Kapitel I, Abschnitt 1, Seite 8, Mitte (englisch).

Literatur Bearbeiten

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In der Mathematik werden Abelsche Varietaten im Rahmen der algebraischen Geometrie komplexen Analysis und der Zahlentheorie untersucht Abelsche Varietaten besitzen gleichzeitig zwei mathematische Strukturen die Struktur einer algebraischen Varietat d h die Elemente einer Abelschen Varietat sind durch Polynome bestimmt und die Struktur einer Gruppe d h die Elemente einer Abelschen Varietat lassen sich so miteinander verknupfen dass die von der Addition ganzer Zahlen gewohnten Rechengesetze gelten Daneben muss eine Abelsche Varietat noch gewisse topologische Bedingungen erfullen Vollstandigkeit Zusammenhang Abelsche Varietaten sind also spezielle algebraische Gruppen Der Begriff der Abelschen Varietat entstand durch geeignete Verallgemeinerung der Eigenschaften elliptischer Kurven Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Erlauterung der Definition 1 2 Zum Begriff Gruppenvarietat 1 3 Zum Begriff vollstandig 1 4 Zum Begriff zusammenhangend 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Einzelnachweise 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine Abelsche Varietat ist eine vollstandige zusammenhangende Gruppenvarietat 1 Erlauterung der Definition Bearbeiten In dieser Definition zeigt der Begriff Varietat die Eigenschaft Abelscher Varietaten an aus den Losungen polynomieller Gleichungssysteme zu bestehen Diese Losungen werden haufig als Punkte bezeichnet Im Fall einer Abelschen Varietat der eine elliptische Kurve zu Grunde liegt kann dieses Gleichungssystem aus nur einer Gleichung bestehen etwa y 2 z x 3 x z 2 displaystyle y 2 z x 3 xz 2 nbsp Die zugehorige Abelsche Varietat besteht dann aus allen projektiven Punkten x 0 y 0 1 displaystyle x 0 y 0 1 nbsp mit y 0 2 x 0 3 x 0 displaystyle y 0 2 x 0 3 x 0 nbsp sowie dem Punkt 0 1 0 displaystyle 0 1 0 nbsp der haufig durch displaystyle infty nbsp symbolisiert wird Der Bestandteil Gruppe in der Definition Abelscher Varietaten verweist darauf dass man zwei Punkte einer Abelschen Varietat stets so auf einen dritten Punkt abbilden kann dass Rechengesetze wie bei der Addition ganzer Zahlen gelten Diese Verknupfung ist assoziativ es gibt ein neutrales Element und zu jedem Element ein inverses Element In der Definition Abelscher Varietaten wird nicht verlangt dass diese Gruppenoperation abelsch kommutativ ist Allerdings lasst sich zeigen dass die Gruppenoperation auf einer Abelschen Varietat stets wie der Name andeutet abelsch ist Die Begriffe vollstandig und zusammenhangend verweisen auf topologische Eigenschaften der algebraischen Varietat die einer Abelschen Varietat zu Grunde liegen Die folgenden Abschnitte prazisieren die drei Bestandteile Gruppenvarietat vollstandig und zusammenhangend der Definition Abelscher Varietaten Zum Begriff Gruppenvarietat Bearbeiten Hauptartikel Gruppenvarietat Sei K displaystyle K nbsp ein beliebiger nicht notwendig algebraisch abgeschlossener Korper Eine Gruppenvarietat uber K displaystyle K nbsp ist eine algebraische Varietat A displaystyle A nbsp uber K displaystyle K nbsp zusammen mit zwei regularen Abbildungen g A A A displaystyle g colon A times A rightarrow A nbsp und i A A displaystyle i colon A rightarrow A nbsp sowie einem uber K displaystyle K nbsp definierten Element e displaystyle e nbsp sodass g displaystyle g nbsp und i displaystyle i nbsp eine Gruppenstruktur mit neutralem Element e displaystyle e nbsp auf der uber dem algebraischen Abschluss von K displaystyle K nbsp betrachteten algebraischen Varietat A displaystyle A nbsp definieren Die regulare Abbildung g displaystyle g nbsp definiert dabei die Gruppenoperation der Gruppenvarietat A displaystyle A nbsp und i displaystyle i nbsp die Invertierung Eine Gruppenvarietat ist also ein Quadrupel A g i e displaystyle A g i e nbsp mit den genannten Eigenschaften Zum Begriff vollstandig Bearbeiten Hauptartikel Vollstandige algebraische Varietat Eine algebraische Varietat A displaystyle A nbsp heisst vollstandig wenn fur alle algebraischen Varietaten B displaystyle B nbsp die Projektionsabbildung p A B a b b displaystyle p colon A times B a b mapsto b nbsp abgeschlossen ist bzgl der Zariski Topologie Das bedeutet p displaystyle p nbsp bildet jede abgeschlossene Teilmenge von A B displaystyle A times B nbsp auf eine abgeschlossene Teilmenge von B displaystyle B nbsp ab Zum Beispiel sind projektive algebraische Varietaten stets vollstandig eine vollstandige algebraische Varietat braucht aber nicht projektiv zu sein Zum Begriff zusammenhangend Bearbeiten Ein topologischer Raum wird zusammenhangend genannt wenn er nicht als Vereinigung zweier disjunkter nicht leerer offener Teilmengen dargestellt werden kann Eigenschaften BearbeitenAus der Definition Abelscher Varietaten lassen sich wichtige recht uberraschende Eigenschaften ableiten Die Gruppenoperation einer Abelschen Varietat ist stets kommutativ abelsch Die einer Abelschen Varietat zu Grunde liegende algebraische Varietat ist projektiv nicht singular und irreduzibel Beispiele BearbeitenDie folgenden mathematischen Strukturen sind Abelsche Varietaten Elliptische Kurven Jacobische Varietaten Albanese VarietatenEinzelnachweise Bearbeiten James S Milne Abelian Varieties Course Notes Version 2 00 2008 Kapitel I Abschnitt 1 Seite 8 Mitte englisch Literatur BearbeitenSerge Lang Abelian Varieties Springer Verlag New York 1983 ISBN 3 540 90875 7 englisch David Mumford Abelian Varieties Oxford University Press London 1974 ISBN 0 19 560528 4 englisch Kleine AG Abelsche Varietaten Bei Uni Bonn de PDF 82 kB Normdaten Sachbegriff GND 4140992 9 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abelsche Varietat amp oldid 204092361