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Quadratische Form Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion die sich in einigen Aspekten wie die quadra

Quadratische Form

Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in einigen Aspekten wie die quadratische Funktion verhält. Ein Polynom, welches ausschließlich Terme zweiten Grades enthält, ist eine quadratische Form. Ein bekanntes Beispiel ist das Quadrat des Betrages eines Vektors :

Quadratische Formen tauchen in vielen Bereichen der Mathematik auf. In der Geometrie dienen sie dazu, Metriken einzuführen, in der Elementargeometrie zur Beschreibung von Kegelschnitten. Sie sind aber, falls zum Beispiel über den rationalen oder ganzen Zahlen betrachtet, auch ein klassischer Gegenstand der Zahlentheorie, in der man etwa nach den Zahlen fragt, die sich durch eine quadratische Form darstellen lassen. Hier werden im Folgenden vor allem zahlentheoretische Aspekte betrachtet.

Motivation Bearbeiten

Ein (reeller) Vektorraum mit Skalarprodukt lässt sich zu einem normierten Raum machen, indem man die Norm eines Vektors als induzierte Norm definiert. Die hierbei verwendete Quadratwurzel stört insofern, als man, wenn man stattdessen die Abbildung betrachtet, auch auf allgemeinere Bilinearformen und andere Grundkörper verallgemeinern kann. Da ein Vektorraum dadurch bestimmt ist, dass Vektoren addiert und mit Elementen des Grundkörpers skaliert werden können, ist zu untersuchen, wie die Abbildung sich hierbei verhält. Man findet die folgenden Beziehungen:

Abbildungen , die die obigen Bedingungen erfüllen, kann man auch betrachten, ohne dass sie von einer Bilinearform herstammen. Obendrein kann man von Vektorräumen über einem Körper zu Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement verallgemeinern. Häufig untersucht man hierbei den Ring der ganzen Zahlen sowie den Modul , insbesondere .

Definitionen Bearbeiten

Quadratische Form in n Unbestimmten Bearbeiten

Eine quadratische Form (in Unbestimmten) über einem kommutativen Ring mit Einselement ist ein homogenes Polynom vom Grad 2 in Unbestimmten mit Koeffizienten in .

Der Begriff Form wurde von Legendre geprägt.

Spezialfälle Bearbeiten

  • Für spricht man von ternären quadratischen Formen. Eine ternäre quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt mit .

Quadratische Form auf Moduln Bearbeiten

Allgemeiner definiert man den Begriff quadratische Form für beliebige A-Moduln wie folgt: Eine quadratische Form auf ist eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

  • Für alle und gilt .
  • Die Abbildung definiert durch ist linear in beiden Argumenten, also eine Bilinearform auf . Sie ist automatisch symmetrisch, es gilt also . Man nennt sie die zu gehörige symmetrische Bilinearform.

Eine quadratische Form im obigen Sinne ist somit eine quadratische Form auf dem Modul .

Quadratischer Modul Bearbeiten

Ein quadratischer Modul ist ein Paar , bestehend aus einem A-Modul und einer quadratischen Form auf .

Es bezeichne die zu gehörige symmetrische Bilinearform. Dann heißen zwei Elemente -orthogonal beziehungsweise -orthogonal, falls gilt.

Quadratischer Raum Bearbeiten

Ein quadratischer Raum ist ein quadratischer Modul , wobei ein Vektorraum ist. Der Ring, über dem definiert ist, ist also ein Körper.

Algebraische Voraussetzungen Bearbeiten

Im Folgenden sei angenommen, dass in dem Ring invertierbar ist. Dies gilt insbesondere für Körper der Charakteristik ungleich 2 wie die reellen oder komplexen Zahlen.

Ordnet man einer quadratischen Form die Dreiecksmatrix mit , sonst 0) zu, so kann man auch als beziehungsweise als auffassen. Hieraus ergibt sich zunächst:

Umgekehrt ist
Formal gesehen liefert diese Konstruktion zunächst nur eine Polynomfunktion; man erhält aber tatsächlich ein Polynom, indem man die Bilinearform durch eine Matrix darstellt oder sie auf beliebige -Algebren ausdehnt.

Beispiele/Klassifikation Bearbeiten

Quadratische Formen über den reellen Zahlen Bearbeiten

Es sei ein -Vektorraum. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester ist jede quadratische Form diagonalisierbar, d. h., es existiert eine Basis von , so dass

für gewisse mit gilt. Die Isomorphieklasse einer quadratischen Form wird also bestimmt durch ihren Rang und ihre Signatur .

Quadratische Formen über Zahlkörpern Bearbeiten

Quadratische Formen über wurden von Minkowski klassifiziert. Hasse verallgemeinerte dies später auf eine Klassifikation von quadratischen Formen über Zahlkörpern. Insbesondere sind zwei quadratische Formen genau dann isomorph, wenn alle ihre Vervollständigungen (reell, komplex und p-adisch) jeweils isomorph sind, siehe Satz von Hasse-Minkowski.

Quadratische Formen über den ganzen Zahlen Bearbeiten

Man sagt, dass zwei positiv-definite quadratische Formen über dasselbe Geschlecht haben, wenn man für alle durch Erweiterung mit Skalaren zu (d. h. Tensorprodukt mit ) isomorphe quadratische Formen über bekommt. Die Anzahl der Isomorphieklassen desselben Geschlechts kann mit der Massenformel von Smith-Minkowski-Siegel bestimmt werden.

Elementare Zahlentheorie Bearbeiten

Zur Frage, ob eine vorgegebene ganzzahlige quadratische Form mit irgendwelchen ganzzahligen Argumenten einen vorgegebenen Wert annehmen kann („einen Wert darstellt bzw. repräsentiert“), gibt es eine Vielzahl von Ergebnissen. Für sich betrachtet haben diese Ergebnisse naturgemäß oft anekdotischen Charakter. Beachtet man jedoch, dass

  • , die Gruppe der -reihigen, ganzzahligen Matrizen der Determinante 1, und
  • , die Gruppe der -reihigen, ganzzahligen Matrizen der Determinante ±1,

jeweils sowohl das Gitter als auch die Menge der teilerfremden Zahlen in bijektiv auf sich abbildet, so stehen die folgenden Ergebnisse jeweils für ganze Familien äquivalenter Formen.

Prominent sind beispielsweise die folgenden Themen

Wenn zwei quadratische Formen durch Anwendung einer Matrix auseinander hervorgehen, dann lässt sich eine ganze Zahl genau dann als Wert der einen quadratischen Form darstellen, wenn sie sich als Wert der anderen quadratischen Form darstellen lässt: dies folgt unmittelbar aus der Definition . Aus Sicht der Zahlentheorie sind die Formen und also äquivalent und es stellt sich die Frage, ein möglichst einfaches Repräsentantensystem für die Menge der quadratischen Formen in Variablen modulo der Wirkung von zu finden. Für quadratische Formen in 2 Variablen wurde dieses Problem von Gauß in Kapitel 5 von „Disquisitiones Arithmeticae“ (mit fast 260 Seiten der Hauptteil des Buches) diskutiert.

Im Fall positiv definiter quadratischer Formen handelt es sich dabei in heutiger Sprache um das Problem, einen Fundamentalbereich für die Wirkung von auf dem symmetrischen Raum (dem Raum der positiv definiten quadratischen Formen in Variablen) zu finden.

Fundamentalbereich für die Wirkung von SL(2,ℤ) auf der hyperbolischen Ebene.

Für lässt sich der Raum der positiv definiten binären quadratischen Formen mit der hyperbolischen Ebene identifizieren. Nebenstehendes Bild zeigt eine Zerlegung der hyperbolischen Ebene in Fundamentalbereiche für die Wirkung von . Ein solcher Fundamentalbereich (z. B. der im Bild grau schraffierte) liefert also ein Repräsentantensystem von binären quadratischen Formen, so dass jede andere positiv definite binäre quadratische Form äquivalent zu einer Form aus dem Repräsentantensystem ist und insbesondere dieselben ganzen Zahlen darstellt.

Verwandte Fragestellungen, allerdings außerhalb des Bereichs der quadratischen Formen, sind Themen wie der Satz von Fermat und das Waring-Problem.

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Die (projektive) Nullstellenmenge einer quadratischen Form wird als Quadrik bezeichnet.

Literatur Bearbeiten

  • Martin Kneser, Rudolf Scharlau: Quadratische Formen. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-64650-7 (Vorlesungen von Kneser in den 1970er und 1980er Jahren in Göttingen, neu herausgegeben von Scharlau)
  • Winfried Scharlau: Quadratic and Hermitian Forms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 270. Springer Verlag, 1985
  • John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer Verlag, 1973

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ David Cox: Primes of the form . Wiley & Sons, 1997, Seite 40.
  2. Roger C. Alperin: The modular tree of Pythagorus. (PDF; 106 kB)
  3. Dan Romik: The dynamics of Pythagorean triples. (PDF; 236 kB) mit einer ganzen Reihe weiterer Literaturhinweise.
  4. Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag, 1982, Abschnitt 17.7.
  5. Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag, 1982, Abschnitt 17.3.1.
  6. Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Proofs from the Book. Springer-Verlag, 2000
  7. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1: Theorem 366, S. 299; Theorem 254, S. 221
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Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion die sich in einigen Aspekten wie die quadratische Funktion x x 2 displaystyle x mapsto x 2 verhalt Ein Polynom welches ausschliesslich Terme zweiten Grades enthalt ist eine quadratische Form Ein bekanntes Beispiel ist das Quadrat des Betrages eines Vektors v x y z displaystyle vec v x y z dots v 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle vec v 2 x 2 y 2 z 2 dots Quadratische Formen tauchen in vielen Bereichen der Mathematik auf In der Geometrie dienen sie dazu Metriken einzufuhren in der Elementargeometrie zur Beschreibung von Kegelschnitten Sie sind aber falls zum Beispiel uber den rationalen oder ganzen Zahlen betrachtet auch ein klassischer Gegenstand der Zahlentheorie in der man etwa nach den Zahlen fragt die sich durch eine quadratische Form darstellen lassen Hier werden im Folgenden vor allem zahlentheoretische Aspekte betrachtet Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Definitionen 2 1 Quadratische Form in n Unbestimmten 2 1 1 Spezialfalle 2 2 Quadratische Form auf Moduln 2 3 Quadratischer Modul 2 4 Quadratischer Raum 3 Algebraische Voraussetzungen 4 Beispiele Klassifikation 4 1 Quadratische Formen uber den reellen Zahlen 4 2 Quadratische Formen uber Zahlkorpern 4 3 Quadratische Formen uber den ganzen Zahlen 5 Elementare Zahlentheorie 6 Verwandte Begriffe 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseMotivation BearbeitenEin reeller Vektorraum V displaystyle V nbsp mit Skalarprodukt displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp lasst sich zu einem normierten Raum machen indem man die Norm eines Vektors x displaystyle x nbsp als induzierte Norm x x x displaystyle x sqrt langle x x rangle nbsp definiert Die hierbei verwendete Quadratwurzel stort insofern als man wenn man stattdessen die Abbildung q x x x displaystyle q colon x mapsto langle x x rangle nbsp betrachtet auch auf allgemeinere Bilinearformen und andere Grundkorper K displaystyle K nbsp verallgemeinern kann Da ein Vektorraum dadurch bestimmt ist dass Vektoren addiert und mit Elementen des Grundkorpers skaliert werden konnen ist zu untersuchen wie die Abbildung q displaystyle q nbsp sich hierbei verhalt Man findet die folgenden Beziehungen q a x a 2 q x f u r a l l e a K und x V q x y q x y 2 q x 2 q y f u r a l l e x y V displaystyle begin array ll q ax a 2 q x amp mathrm f ddot u r alle quad a in K text und x in V q x y q x y 2q x 2q y amp mathrm f ddot u r alle quad x y in V end array nbsp Abbildungen q V K displaystyle q colon V to K nbsp die die obigen Bedingungen erfullen kann man auch betrachten ohne dass sie von einer Bilinearform herstammen Obendrein kann man von Vektorraumen uber einem Korper zu Moduln uber einem kommutativen Ring mit Einselement verallgemeinern Haufig untersucht man hierbei den Ring Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen sowie den Modul Z n displaystyle mathbb Z n nbsp insbesondere Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Definitionen BearbeitenQuadratische Form in n Unbestimmten Bearbeiten Eine quadratische Form in n displaystyle n nbsp Unbestimmten uber einem kommutativen Ring mit Einselement A displaystyle A nbsp ist ein homogenes Polynom vom Grad 2 in n displaystyle n nbsp Unbestimmten mit Koeffizienten in A displaystyle A nbsp Der Begriff Form wurde von Legendre gepragt 1 Spezialfalle Bearbeiten Fur n 2 displaystyle n 2 nbsp spricht man von binaren quadratischen Formen Eine binare quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt a X 2 b X Y c Y 2 displaystyle aX 2 bXY cY 2 nbsp mit a b c A displaystyle a b c in A nbsp Fur n 3 displaystyle n 3 nbsp spricht man von ternaren quadratischen Formen Eine ternare quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt a X 2 b X Y c X Z d Y 2 e Y Z f Z 2 displaystyle aX 2 bXY cXZ dY 2 eYZ fZ 2 nbsp mit a f A displaystyle a dotsc f in A nbsp Quadratische Form auf Moduln Bearbeiten Allgemeiner definiert man den Begriff quadratische Form fur beliebige A Moduln M displaystyle M nbsp wie folgt Eine quadratische Form auf M displaystyle M nbsp ist eine Abbildung q M A displaystyle q colon M to A nbsp mit den folgenden Eigenschaften Fur alle a A displaystyle a in A nbsp und x M displaystyle x in M nbsp gilt q a x a 2 q x displaystyle q ax a 2 q x nbsp Die Abbildung b M M A displaystyle b colon M times M to A nbsp definiert durch b x y q x y q x q y displaystyle b x y q x y q x q y nbsp ist linear in beiden Argumenten also eine Bilinearform auf M displaystyle M nbsp Sie ist automatisch symmetrisch es gilt also b x y b y x displaystyle b x y b y x nbsp Man nennt sie die zu q displaystyle q nbsp gehorige symmetrische Bilinearform Eine quadratische Form im obigen Sinne ist somit eine quadratische Form auf dem Modul A n displaystyle A n nbsp Quadratischer Modul Bearbeiten Ein quadratischer Modul ist ein Paar M q displaystyle M q nbsp bestehend aus einem A Modul M displaystyle M nbsp und einer quadratischen Form q displaystyle q nbsp auf M displaystyle M nbsp Es bezeichne b displaystyle b nbsp die zu q displaystyle q nbsp gehorige symmetrische Bilinearform Dann heissen zwei Elemente x y M displaystyle x y in M nbsp q displaystyle q nbsp orthogonal beziehungsweise b displaystyle b nbsp orthogonal falls b x y 0 displaystyle b x y 0 nbsp gilt Quadratischer Raum Bearbeiten Ein quadratischer Raum ist ein quadratischer Modul V q displaystyle V q nbsp wobei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum ist Der Ring uber dem V displaystyle V nbsp definiert ist ist also ein Korper Algebraische Voraussetzungen BearbeitenIm Folgenden sei angenommen dass 2 displaystyle 2 nbsp in dem Ring A displaystyle A nbsp invertierbar ist Dies gilt insbesondere fur Korper der Charakteristik ungleich 2 wie die reellen oder komplexen Zahlen Ordnet man einer quadratischen Form q x 1 i j n q i j x i x j displaystyle textstyle q x sum 1 leqslant i leqslant j leqslant n q ij x i x j nbsp die Dreiecksmatrix Q q i j displaystyle Q q ij nbsp mit i j displaystyle i leqslant j nbsp sonst 0 zu so kann man q x displaystyle q x nbsp auch als x T Q x displaystyle x T Qx nbsp beziehungsweise als x T Q T x displaystyle x T Q T x nbsp auffassen Hieraus ergibt sich zunachst Bezug zu symmetrischen Bilinearformen Es gibt eine eindeutige Entsprechung zwischen quadratischen Formen in n displaystyle n nbsp Unbestimmten und symmetrischen Bilinearformen auf A n displaystyle A n nbsp Zu einer quadratischen Form q displaystyle q nbsp erhalt man eine symmetrische Bilinearform B displaystyle B nbsp durch PolarisierungB x y 1 2 q x y q x q y displaystyle B x y frac 1 2 left q x y q x q y right nbsp dd Umgekehrt istq x B x x displaystyle q x B x x nbsp dd Formal gesehen liefert diese Konstruktion zunachst nur eine Polynomfunktion man erhalt aber tatsachlich ein Polynom indem man die Bilinearform durch eine Matrix darstellt oder sie auf beliebige A displaystyle A nbsp Algebren ausdehnt Aquivalenz von Formen Wenn S displaystyle S nbsp eine n displaystyle n nbsp reihige Matrix ist dann erhalt man durch die Substitution y S x displaystyle y Sx nbsp eine neue quadratische Form y T S T Q S y displaystyle y T S T QS y nbsp Wenn S displaystyle S nbsp invertierbar ist kann man aus der neuen Form auch wieder die alte Form ruckgewinnen Insgesamt ermoglicht so eine Matrixgruppe G displaystyle Gamma nbsp die Einfuhrung einer Aquivalenzrelation auf der Menge aller quadratischen Formen Wir sprechen hier von G displaystyle Gamma nbsp aquivalenten Formen Beachte auch die Schlussbemerkung zu 4 Definitheit Fur reelle oder rationale Formen kann man uber die entsprechenden Matrixkriterien fur Q Q T displaystyle Q Q T nbsp Definitheit Aussagen daruber gewinnen ob der Wertebereich der Form uber R n displaystyle mathbb R n nbsp nur positive oder nur negative Werte annimmt oder ob eine derartige Beschrankung nicht zutrifft Entsprechend wird die Form positiv definit negativ definit oder indefinit genannt Nimmt der Wertebereich fur Definitionswerte ungleich Null nur positive bzw negative Werte sowie Null an so heisst die Form positiv bzw negativ semidefinit Beispiele Klassifikation BearbeitenQuadratische Formen uber den reellen Zahlen Bearbeiten Es sei V displaystyle V nbsp ein R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum Nach dem Tragheitssatz von Sylvester ist jede quadratische Form q V R displaystyle q colon V to mathbb R nbsp diagonalisierbar d h es existiert eine Basis e 1 e n displaystyle e 1 dotsc e n nbsp von V displaystyle V nbsp so dass q l 1 e 1 l n e n l 1 2 l a 2 l a 1 2 l a b 2 displaystyle q lambda 1 e 1 dotsb lambda n e n lambda 1 2 dotsb lambda a 2 lambda a 1 2 dotsb lambda a b 2 nbsp fur gewisse a b displaystyle a b nbsp mit a b n displaystyle a b leq n nbsp gilt Die Isomorphieklasse einer quadratischen Form wird also bestimmt durch ihren Rang a b displaystyle a b nbsp und ihre Signatur a b displaystyle a b nbsp Quadratische Formen uber Zahlkorpern Bearbeiten Quadratische Formen uber Q displaystyle mathbb Q nbsp wurden von Minkowski klassifiziert Hasse verallgemeinerte dies spater auf eine Klassifikation von quadratischen Formen uber Zahlkorpern Insbesondere sind zwei quadratische Formen genau dann isomorph wenn alle ihre Vervollstandigungen reell komplex und p adisch jeweils isomorph sind siehe Satz von Hasse Minkowski Quadratische Formen uber den ganzen Zahlen Bearbeiten Man sagt dass zwei positiv definite quadratische Formen V q V q displaystyle V q V prime q prime nbsp uber Z displaystyle mathbb Z nbsp dasselbe Geschlecht haben wenn man fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp durch Erweiterung mit Skalaren zu Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp d h Tensorprodukt mit Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp isomorphe quadratische Formen uber Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp bekommt Die Anzahl der Isomorphieklassen desselben Geschlechts kann mit der Massenformel von Smith Minkowski Siegel bestimmt werden Elementare Zahlentheorie BearbeitenZur Frage ob eine vorgegebene ganzzahlige quadratische Form mit irgendwelchen ganzzahligen Argumenten einen vorgegebenen Wert annehmen kann einen Wert darstellt bzw reprasentiert gibt es eine Vielzahl von Ergebnissen Fur sich betrachtet haben diese Ergebnisse naturgemass oft anekdotischen Charakter Beachtet man jedoch dass SL n Z displaystyle operatorname SL n mathbb Z nbsp die Gruppe der n displaystyle n nbsp reihigen ganzzahligen Matrizen der Determinante 1 und GL n Z displaystyle operatorname GL n mathbb Z nbsp die Gruppe der n displaystyle n nbsp reihigen ganzzahligen Matrizen der Determinante 1 jeweils sowohl das Gitter Z n displaystyle mathbb Z n nbsp als auch die Menge der teilerfremden Zahlen in Z n displaystyle mathbb Z n nbsp bijektiv auf sich abbildet so stehen die folgenden Ergebnisse jeweils fur ganze Familien aquivalenter Formen Prominent sind beispielsweise die folgenden Themen Quadratzahlen der Form x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 nbsp Die ganzzahligen Losungen der Gleichung x 2 y 2 z 2 displaystyle x 2 y 2 z 2 nbsp heissen Pythagoraische Zahlen Die bekannteste Losung dieser Aufgabe ist 3 2 4 2 5 2 displaystyle 3 2 4 2 5 2 nbsp Dies ist die kleinste einer unendlichen Anzahl von Losungen Mehr als die ubliche parametrische Beschreibung aller Losungen Pythagoreisches Tripel findet sich in der Literatur 2 3 Zahlen der Form w 2 x 2 y 2 z 2 displaystyle w 2 x 2 y 2 z 2 nbsp Der erste bekannte Fall einer quadratischen Form die alle naturlichen Zahlen darstellt Satz von Lagrange oder Vier Quadrate Satz Ein Beweis 4 und weiterfuhrende Informationen zum Thema quadratischer Formen die alle naturlichen Zahlen darstellen via 15 Satz ganzzahlige Losungen der Gleichung a x 2 b y 2 c z 2 0 displaystyle ax 2 by 2 cz 2 0 nbsp a b c displaystyle a b c nbsp ganzzahlig quadratfrei paarweise teilerfremd nicht alle vom gleichen Vorzeichen Es existiert genau dann eine nicht triviale Losung wenn a b mod c displaystyle ab pmod c nbsp b c mod a displaystyle bc pmod a nbsp und c a mod b displaystyle ca pmod b nbsp quadratische Reste im jeweiligen Modul sind Das ist ein Ergebnis von Legendre 5 fur die Notation siehe Kongruenz Zahlentheorie Primzahlen der Form x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 nbsp Dies sind genau 2 sowie die Primzahlen 1 mod 4 displaystyle equiv 1 pmod 4 nbsp Die Beobachtung ist historisch von besonderer Bedeutung sie geht auf Fermat zuruck Ein moderner Beweis geradezu die Mutter aller Beweise im Buch der Beweise 6 Kapitel 4 Primzahlen der Form x 2 x y y 2 displaystyle x 2 xy y 2 nbsp Dies sind genau die 3 sowie die Primzahlen die 1 mod 3 displaystyle equiv 1 pmod 3 nbsp sind 7 Primzahlen der Form x 2 n y 2 displaystyle x 2 ny 2 nbsp Mit dieser Fragestellung befasst sich das Buch von Cox 1 Wenn zwei quadratische Formen durch Anwendung einer Matrix A GL n Z displaystyle A in operatorname GL n mathbb Z nbsp auseinander hervorgehen dann lasst sich eine ganze Zahl genau dann als Wert der einen quadratischen Form darstellen wenn sie sich als Wert der anderen quadratischen Form darstellen lasst dies folgt unmittelbar aus der Definition A q x 1 x n q A 1 x 1 A 1 x n displaystyle Aq x 1 dotsc x n q A 1 x 1 dotsc A 1 x n nbsp Aus Sicht der Zahlentheorie sind die Formen q displaystyle q nbsp und A q displaystyle Aq nbsp also aquivalent und es stellt sich die Frage ein moglichst einfaches Reprasentantensystem fur die Menge der quadratischen Formen in n displaystyle n nbsp Variablen modulo der Wirkung von GL n Z displaystyle operatorname GL n mathbb Z nbsp zu finden Fur quadratische Formen in 2 Variablen wurde dieses Problem von Gauss in Kapitel 5 von Disquisitiones Arithmeticae mit fast 260 Seiten der Hauptteil des Buches diskutiert Im Fall positiv definiter quadratischer Formen handelt es sich dabei in heutiger Sprache um das Problem einen Fundamentalbereich fur die Wirkung von GL n Z displaystyle operatorname GL n mathbb Z nbsp auf dem symmetrischen Raum GL n R O n displaystyle operatorname GL n mathbb R O n nbsp dem Raum der positiv definiten quadratischen Formen in n displaystyle n nbsp Variablen zu finden nbsp Fundamentalbereich fur die Wirkung von SL 2 ℤ auf der hyperbolischen Ebene Fur n 2 displaystyle n 2 nbsp lasst sich der Raum GL 2 R O 2 displaystyle operatorname GL 2 mathbb R O 2 nbsp der positiv definiten binaren quadratischen Formen mit der hyperbolischen Ebene identifizieren Nebenstehendes Bild zeigt eine Zerlegung der hyperbolischen Ebene in Fundamentalbereiche fur die Wirkung von GL 2 Z displaystyle operatorname GL 2 mathbb Z nbsp Ein solcher Fundamentalbereich z B der im Bild grau schraffierte liefert also ein Reprasentantensystem von binaren quadratischen Formen so dass jede andere positiv definite binare quadratische Form aquivalent zu einer Form aus dem Reprasentantensystem ist und insbesondere dieselben ganzen Zahlen darstellt Verwandte Fragestellungen allerdings ausserhalb des Bereichs der quadratischen Formen sind Themen wie der Satz von Fermat und das Waring Problem Verwandte Begriffe BearbeitenDie projektive Nullstellenmenge einer quadratischen Form wird als Quadrik bezeichnet Literatur BearbeitenMartin Kneser Rudolf Scharlau Quadratische Formen Springer Verlag 2002 ISBN 3 540 64650 7 Vorlesungen von Kneser in den 1970er und 1980er Jahren in Gottingen neu herausgegeben von Scharlau Winfried Scharlau Quadratic and Hermitian Forms Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 270 Springer Verlag 1985 John Milnor Dale Husemoller Symmetric bilinear forms Springer Verlag 1973Weblinks BearbeitenSpringer Encyclopaedia of Mathematics Quadratic form binary quadratic formEinzelnachweise Bearbeiten a b David Cox Primes of the form x 2 n y 2 displaystyle x 2 ny 2 nbsp Wiley amp Sons 1997 Seite 40 Roger C Alperin The modular tree of Pythagorus PDF 106 kB Dan Romik The dynamics of Pythagorean triples PDF 236 kB mit einer ganzen Reihe weiterer Literaturhinweise Kenneth Ireland Michael Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory Springer Verlag 1982 Abschnitt 17 7 Kenneth Ireland Michael Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory Springer Verlag 1982 Abschnitt 17 3 1 Martin Aigner Gunter M Ziegler Proofs from the Book Springer Verlag 2000 G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 Theorem 366 S 299 Theorem 254 S 221 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quadratische Form amp oldid 228391043