www.wikidata.de-de.nina.az

Neutrales Element Ein neutrales Element auch Einheitselement ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur Es

Neutrales Element

Ein neutrales Element (auch Einheitselement) ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur. Es ist dadurch gekennzeichnet, dass jedes Element durch die Verknüpfung mit dem neutralen Element auf sich selbst abgebildet wird.

Definition Bearbeiten

Sei ein Magma (eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung). Dann heißt ein Element

  • linksneutral, falls für alle ist,
  • rechtsneutral, falls für alle ist,
  • neutral, falls linksneutral und rechtsneutral ist.

Ist die Verknüpfung kommutativ, dann stimmen die drei Begriffe überein. Falls sie aber nicht kommutativ ist, dann kann es ein rechtsneutrales Element geben, das nicht linksneutral ist, oder ein linksneutrales Element, das nicht rechtsneutral ist.

Eine Halbgruppe mit neutralem Element heißt Monoid. Hat zusätzlich jedes Element in ein inverses Element in , so ist eine Gruppe.

Häufig wird für die Verknüpfung das Symbol benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Halbgruppe. Ein neutrales Element heißt dann Einselement und wird durch symbolisiert. Wie auch bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden.

Eine Halbgruppe lässt sich auch additiv notieren, indem für die Verknüpfung das Symbol benutzt wird. Ein neutrales Element heißt dann Nullelement und wird durch symbolisiert.

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Wenn eine Halbgruppe sowohl rechtsneutrale als auch linksneutrale Elemente hat, dann stimmen alle diese Elemente überein und hat genau ein neutrales Element. Denn ist und für alle , dann ist .
  • Das neutrale Element eines Monoids ist also eindeutig bestimmt.
  • Hat eine Halbgruppe aber kein rechtsneutrales Element, dann kann sie mehrere linksneutrale haben. Einfachstes Beispiel ist eine beliebige mindestens zweielementige Menge mit der Verknüpfung . Darin ist jedes Element linksneutral, aber keins rechtsneutral. Analog gibt es auch Halbgruppen mit rechtsneutralen, aber ohne linksneutrale Elemente.
  • Dies kann auch bei der Multiplikation in Ringen auftreten. Ein Beispiel ist der Teilring
der 2-mal-2-Matrizen über einem beliebigen Körper . Man rechnet leicht nach, dass ein nichtkommutativer Ring ist. Linksneutral bzgl. der Multiplikation sind genau die Elemente
mit . Nach dem oben gesagten kann die Multiplikation in dann keine rechtsneutralen Elemente haben.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, S. 2.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Ein neutrales Element auch Einheitselement ist ein spezielles Element einer algebraischen Struktur Es ist dadurch gekennzeichnet dass jedes Element durch die Verknupfung mit dem neutralen Element auf sich selbst abgebildet wird Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei S displaystyle S nbsp ein Magma eine Menge mit einer zweistelligen Verknupfung Dann heisst ein Element e S displaystyle e in S nbsp linksneutral falls e a a displaystyle e a a nbsp fur alle a S displaystyle a in S nbsp ist rechtsneutral falls a e a displaystyle a e a nbsp fur alle a S displaystyle a in S nbsp ist neutral falls e displaystyle e nbsp linksneutral und rechtsneutral ist Ist die Verknupfung kommutativ dann stimmen die drei Begriffe uberein Falls sie aber nicht kommutativ ist dann kann es ein rechtsneutrales Element geben das nicht linksneutral ist oder ein linksneutrales Element das nicht rechtsneutral ist 1 Eine Halbgruppe S displaystyle S nbsp mit neutralem Element heisst Monoid Hat zusatzlich jedes Element in S displaystyle S nbsp ein inverses Element in S displaystyle S nbsp so ist S displaystyle S nbsp eine Gruppe Haufig wird fur die Verknupfung displaystyle nbsp das Symbol displaystyle cdot nbsp benutzt man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Halbgruppe Ein neutrales Element heisst dann Einselement und wird durch 1 displaystyle 1 nbsp symbolisiert Wie auch bei der gewohnlichen Multiplikation ublich kann in vielen Situationen der Malpunkt displaystyle cdot nbsp weggelassen werden Eine Halbgruppe lasst sich auch additiv notieren indem fur die Verknupfung displaystyle nbsp das Symbol displaystyle nbsp benutzt wird Ein neutrales Element heisst dann Nullelement und wird durch 0 displaystyle 0 nbsp symbolisiert Beispiele BearbeitenIn den reellen Zahlen ist 0 displaystyle 0 nbsp Null das neutrale Element der Addition und 1 displaystyle 1 nbsp Eins das neutrale Element der Multiplikation denn 0 x x 0 x displaystyle 0 x x 0 x nbsp und 1 x x 1 x displaystyle 1 cdot x x cdot 1 x nbsp fur jede reelle Zahl x displaystyle x nbsp Im Ring der n n displaystyle n times n nbsp Matrizen uber einem Korper ist die Nullmatrix das neutrale Element der Matrizenaddition und die Einheitsmatrix das neutrale Element der Matrizenmultiplikation In einem Funktionenraum ist die Nullfunktion das neutrale Element der Addition und die Einsfunktion das neutrale Element der Multiplikation Bei Vektoren ist der Nullvektor das neutrale Element der Vektoraddition Bei Abbildungen ist die Identitat das neutrale Element der Komposition Hintereinanderausfuhrung In einer formalen Sprache ist das leere Wort das neutrale Element der Konkatenation von Wortern Eigenschaften BearbeitenWenn eine Halbgruppe S displaystyle S nbsp sowohl rechtsneutrale als auch linksneutrale Elemente hat dann stimmen alle diese Elemente uberein und S displaystyle S nbsp hat genau ein neutrales Element Denn ist a e a displaystyle a e a nbsp und f a a displaystyle f a a nbsp fur alle a S displaystyle a in S nbsp dann ist f f e e displaystyle f f e e nbsp Das neutrale Element eines Monoids ist also eindeutig bestimmt Hat eine Halbgruppe aber kein rechtsneutrales Element dann kann sie mehrere linksneutrale haben Einfachstes Beispiel ist eine beliebige mindestens zweielementige Menge mit der Verknupfung a b b displaystyle a b b nbsp Darin ist jedes Element linksneutral aber keins rechtsneutral Analog gibt es auch Halbgruppen mit rechtsneutralen aber ohne linksneutrale Elemente Dies kann auch bei der Multiplikation in Ringen auftreten Ein Beispiel ist der TeilringR a b 0 0 a b K displaystyle R left left begin pmatrix a amp b 0 amp 0 end pmatrix right a b in K right nbsp dd der 2 mal 2 Matrizen uber einem beliebigen Korper K displaystyle K nbsp Man rechnet leicht nach dass R displaystyle R nbsp ein nichtkommutativer Ring ist Linksneutral bzgl der Multiplikation sind genau die Elemente 1 x 0 0 displaystyle begin pmatrix 1 amp x 0 amp 0 end pmatrix nbsp dd mit x K displaystyle x in K nbsp Nach dem oben gesagten kann die Multiplikation in R displaystyle R nbsp dann keine rechtsneutralen Elemente haben Siehe auch BearbeitenAbsorbierendes Element Einheit Mathematik Identische Abbildung Inverses ElementEinzelnachweise Bearbeiten Siegfried Bosch Algebra 7 uberarbeitete Auflage Springer Berlin u a 2009 ISBN 978 3 540 92811 9 S 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Neutrales Element amp oldid 237473303