Die Addition (lateinisch additio, von addere „hinzufügen“), umgangssprachlich auch Plus-Rechnen oder Und-Rechnen genannt, ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Addition basiert auf dem Vorgang des Zählens. Deshalb verwendet man für den Vorgang, eine Addition auszuführen, neben Addieren auch den Ausdruck Zusammenzählen. Das Rechenzeichen für die Addition ist das Pluszeichen „+“. Die Addition bildet zusammen mit der Subtraktion die Rechenart 1. Stufe, wegen der Rechenzeichen + und - auch Strichrechnung genannt.
Beispiel: 2 + 3 = 5 wird gelesen als „zwei plus drei (ist) gleich fünf“ oder umgangssprachlich „zwei und drei ergibt fünf“.
Sprachregelungen Bearbeiten
Die Elemente einer Addition werden Summanden und das Ergebnis Summe genannt:
Bis hinein ins 20. Jahrhundert konnten sich außerdem die Bezeichnungen Augend für den ersten und Addend für den zweiten Summanden halten, welche inzwischen sehr selten sind:
Grundregeln und Eigenschaften Bearbeiten
Die Addition kann in allen Zahlenbereichen ausgeführt werden.
Kommutativgesetz Bearbeiten
Der Wert einer Summe ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden. Sowohl als auch ergeben als Resultat . Man nennt diese Eigenschaft das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz der Addition. Für alle Zahlen und gilt damit formal:
Assoziativgesetz Bearbeiten
Bei der Addition dürfen Klammern umgesetzt oder weggelassen werden, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. Man nennt diese Eigenschaft das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz der Addition. Für alle Zahlen , und gilt:
Da es bei der Addition mehrerer Zahlen daher auf die Klammern nicht ankommt, lässt man sie oft weg und schreibt etwas kürzer
Neutralität der Null Bearbeiten
Die Zahl Null mit dem Symbol ist das neutrale Element der Addition. Für alle Zahlen gilt:
Die Null ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft.
Gegenzahl Bearbeiten
Die Gegenzahl (bzw. das additive Inverse) zu einer Zahl ist diejenige Zahl für die gilt. Zum Beispiel ist die Gegenzahl zu . Man schreibt für die Gegenzahl von und es gilt dann:
Distributivgesetze Bearbeiten
Im Zusammenspiel der Addition mit der Multiplikation gelten die Distributivgesetze. Für alle Zahlen , und gilt:
Demnach kann durch Ausmultiplizieren ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden und umgekehrt durch Ausklammern eine Summe in ein Produkt.
Kürzungsregeln Bearbeiten
Durch Addition einer Zahl zu beiden Seiten einer Gleichung oder Ungleichung ändert sich der Wahrheitsgehalt einer Gleichung nicht. Für alle Zahlen , und gilt:
Dieses Addieren ist ein Spezialfall einer Äquivalenzumformung.
Lösung von Gleichungen Bearbeiten
Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion. Zur Subtraktion gelangt man über die Frage nach der Lösung elementarer Gleichungen der Form
wobei und gegebene Zahlen sind und die Zahl gesucht ist. Wegen der Kürzungsregel ist die Lösung eindeutig, sofern sie existiert. Somit kann als Definition für die Subtraktion dienen. Es gilt dann
In den natürlichen Zahlen ist die Gleichung genau dann lösbar, wenn ist. Für ist jedoch die umgekehrte Gleichung
lösbar. In den ganzen Zahlen ist erstere Gleichung immer lösbar und es gilt
was durch Einsetzen und Anwendung der Rechenregeln als Lösung verifiziert werden kann.
Definition der Addition aus den Peano-Axiomen Bearbeiten
Ausgehend von den Peano-Axiomen lässt sich die Addition auf den natürlichen Zahlen folgendermaßen definieren:
bezeichnet den Nachfolger von , der aufgrund der Peano-Axiome eindeutig bestimmt ist. Da 1 der Nachfolger von 0 ist, gilt
Der Nachfolger von stimmt also mit überein.
Schriftliche Addition Bearbeiten
Die schriftliche Addition ist eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren der Grundschule erlernt wird. Die Beherrschung der schriftlichen Addition ist auch Voraussetzung für das Erlernen der schriftlichen Multiplikation.
Bei dem Verfahren, das u. a. im deutschsprachigen Raum an den Grundschulen gelehrt wird, werden die zu addierenden Zahlen in der Darstellung des Dezimalsystems so übereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen (Einer über Einern, Zehner über Zehnern usw.). Die Ziffern werden dann – von rechts nach links – Stelle für Stelle addiert; das Zwischenergebnis wird unten notiert, jedoch nur die Einerstelle. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so entstehen Überträge, die beim Abarbeiten der jeweils nächsten Spalte berücksichtigt werden müssen. Für die Durchführung des Verfahrens ist es erforderlich, Zahlen zwischen 0 und 9 miteinander addieren zu können.
Beispiel:
Schriftliches Addieren von Dezimalzahlen Bearbeiten
Hierbei schreibt man die Zahlen so untereinander, dass das Dezimalkomma genau untereinander steht. Man kann sich das Komma wegdenken und später beim Ergebnis an derselben Stelle wieder dazuschreiben. Falls die Summanden unterschiedlich viele Nachkommastellen besitzen, werden an die Nachkommastellen so viele Nullen angefügt, bis alle Summanden die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben.
Weitere Notationsmöglichkeit Bearbeiten
Summen können auch mittels des Summensymbols (nach dem großen griechischen Buchstaben Sigma) notiert werden:
Unter das Sigma wird die Zählvariable (in diesem Fall ) geschrieben. Ihr kann ein Startwert (hier: ) durch die Verbindung mit einem Gleichheitszeichen zugewiesen werden. Erfolgt diese Zuweisung nicht, so bedeutet das eine Summierung über alle möglichen . Über dem Sigma steht der Endwert (hier: ). Zwischen dem Startwert und dem Endwert wird die Zählvariable jeweils um Eins erhöht. Um die Summe berechnen zu können, müssen und ganze Zahlen sein. Im Fall besteht die Summe aus einem Summanden, im Fall wird sie als 0 definiert.
Bildet man eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken, so wird diese unendliche Reihe genannt. Ein Beispiel ist die Leibniz-Reihe:
Das Symbol steht dabei für unendlich. Der Umgang mit dem Summensymbol sowie einige häufig vorkommende Summen werden im Artikel Summe beschrieben.
Siehe auch Bearbeiten
Weblinks Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- H. Athen, J. Bruhn: Lexikon der Schulmathematik Band 1, Aulis Verlag, Köln 1976, S. 25