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Umkehroperation Als vereinfachend vor allem im didaktischen Kontext auch Umkehraufgabe oder Umkehrrechnung bezeichnet ma

Umkehroperation

Als Umkehroperation (vereinfachend, vor allem im didaktischen Kontext auch Umkehraufgabe oder Umkehrrechnung) bezeichnet man in der Mathematik die Vorschrift, mit der man zu einer bestimmten zweistelligen Rechenoperation aus deren Ergebnis und einem der beiden Operanden den jeweils anderen Operanden zurückerhält.

Bei den Grundrechenarten ist die Umkehroperation der Addition die Subtraktion und die Umkehroperation der Multiplikation die Division.

Für manche Operationen, so auch die Multiplikation, ist dabei allerdings ihre Umkehrung nicht mit jeder Kombination von Operanden möglich (s. u.).

Umkehroperationen können auch als spezielle Umkehrfunktionen betrachtet werden.

Beispiele Bearbeiten

Addition

Wenn bei der Addition die Summe und der Summand bekannt sind, erhält man den anderen Summanden durch die Subtraktion . Also ist die Subtraktion eine Umkehroperation der Addition. Da die Addition kommutativ ist, erhält man bei bekannter Summe und Summanden den anderen Summanden ebenfalls durch eine Subtraktion, nämlich .

Multiplikation

Wenn bei der Multiplikation das Produkt und der Faktor bekannt sind, erhält man den anderen Faktor durch die Division . Also ist die Division eine Umkehroperation der Multiplikation. Da die Multiplikation ebenfalls kommutativ ist, erhält man bei bekanntem Produkt und Faktor den anderen Faktor ebenfalls durch eine Division, nämlich .

Nicht mehr anwendbar allerdings wird dieses Verfahren, sobald einer der beiden Faktoren und damit auch deren Produkt Null wird, da eine Division durch Null grundsätzlich verboten ist.

Potenzieren

Wenn bei der Potenz das Ergebnis und der Exponent bekannt sind, erhält man die Basis durch die Wurzel . Also ist das Wurzelziehen eine Umkehroperation des Potenzierens, mit der die Frage nach der verwendeten Basis beantwortet wird.

Sind aber das Ergebnis und die Basis bekannt, erhält man den Exponenten durch den Logarithmus . Also ist das Logarithmieren eine weitere Umkehroperation des Potenzierens, mit der die Frage nach dem verwendeten Exponenten beantwortet wird.

In Gegensatz zur Addition und Multiplikation hat das Potenzieren zwei Umkehroperationen, weil die Operation nicht kommutativ ist.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • E. Cramer, J. Neslehova: Vorkurs Mathematik. 2. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-26186-9, S. 14, 19, 87.
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Als Umkehroperation vereinfachend vor allem im didaktischen Kontext auch Umkehraufgabe oder Umkehrrechnung bezeichnet man in der Mathematik die Vorschrift mit der man zu einer bestimmten zweistelligen Rechenoperation aus deren Ergebnis und einem der beiden Operanden den jeweils anderen Operanden zuruckerhalt Bei den Grundrechenarten ist die Umkehroperation der Addition die Subtraktion und die Umkehroperation der Multiplikation die Division Fur manche Operationen so auch die Multiplikation ist dabei allerdings ihre Umkehrung nicht mit jeder Kombination von Operanden moglich s u Umkehroperationen konnen auch als spezielle Umkehrfunktionen betrachtet werden Beispiele BearbeitenAdditionWenn bei der Addition c a b displaystyle c a b nbsp die Summe c displaystyle c nbsp und der Summand a displaystyle a nbsp bekannt sind erhalt man den anderen Summanden b displaystyle b nbsp durch die Subtraktion b c a displaystyle b c a nbsp Also ist die Subtraktion eine Umkehroperation der Addition Da die Addition kommutativ ist erhalt man bei bekannter Summe c displaystyle c nbsp und Summanden b displaystyle b nbsp den anderen Summanden a displaystyle a nbsp ebenfalls durch eine Subtraktion namlich a c b displaystyle a c b nbsp MultiplikationWenn bei der Multiplikation c a b displaystyle c a cdot b nbsp das Produkt c displaystyle c nbsp und der Faktor a displaystyle a nbsp bekannt sind erhalt man den anderen Faktor b displaystyle b nbsp durch die Division b c a displaystyle b c a nbsp Also ist die Division eine Umkehroperation der Multiplikation Da die Multiplikation ebenfalls kommutativ ist erhalt man bei bekanntem Produkt c displaystyle c nbsp und Faktor b displaystyle b nbsp den anderen Faktor a displaystyle a nbsp ebenfalls durch eine Division namlich a c b displaystyle a c b nbsp Nicht mehr anwendbar allerdings wird dieses Verfahren sobald einer der beiden Faktoren und damit auch deren Produkt Null wird da eine Division durch Null grundsatzlich verboten ist PotenzierenWenn bei der Potenz c b a displaystyle c b a nbsp das Ergebnis c displaystyle c nbsp und der Exponent a displaystyle a nbsp bekannt sind erhalt man die Basis b displaystyle b nbsp durch die Wurzel b c a displaystyle b sqrt a c nbsp Also ist das Wurzelziehen eine Umkehroperation des Potenzierens mit der die Frage nach der verwendeten Basis beantwortet wird Sind aber das Ergebnis c displaystyle c nbsp und die Basis b displaystyle b nbsp bekannt erhalt man den Exponenten a displaystyle a nbsp durch den Logarithmus a log b c displaystyle a log b c nbsp Also ist das Logarithmieren eine weitere Umkehroperation des Potenzierens mit der die Frage nach dem verwendeten Exponenten beantwortet wird In Gegensatz zur Addition und Multiplikation hat das Potenzieren zwei Umkehroperationen weil die Operation nicht kommutativ ist Siehe auch BearbeitenInverses ElementLiteratur BearbeitenE Cramer J Neslehova Vorkurs Mathematik 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 3 540 26186 9 S 14 19 87 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Umkehroperation amp oldid 205596232