Eine Potenz (von lateinisch potentia ‚Vermögen, Macht‘) ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation), das wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation ist. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert. Dabei heißt die Zahl, die zu multiplizieren ist, Basis. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben. Man schreibt
Definition
Man spricht als a hoch n, n-te Potenz von a, a zur n-ten Potenz oder kurz a zur n-ten aus. Im Fall ist auch a (zum) Quadrat üblich.
heißt Basis (oder Grundzahl), heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz . Das Ergebnis heißt Potenz oder Wert der Potenz.
Die Definitionsmengen sowohl auf seiten der Exponenten wie auf seiten der Basen werden im Folgenden Schritt für Schritt erweitert.
Natürliche Exponenten
Die Potenz wird für reelle oder komplexe Zahlen (allgemeiner Elemente eines beliebigen multiplikativen Monoids) und natürliche Zahlen durch
definiert. Diese Definition gilt nur für Damit die aus ihr (ebenfalls nur für ) folgende Identität auch noch für gilt, wird festgelegt. (Anmerkungen zum Fall siehe unten.)
Die folgende Modifikation erleichtert die Behandlung des Sonderfalles :
Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie der Exponent angibt“, also
Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, sodass man das Ergebnis 1 erhält.
Bei negativer Basis und geradzahligem Exponenten ist die Potenz positiv:
Bei negativer Basis und ungeradzahligem Exponenten ist die Potenz negativ:
Ganze negative Exponenten
Negative Exponenten bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation (Division) durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Grundzahl so oft, wie der Betrag des Exponenten angibt“.
Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl definiert man also:
Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.
Rationale Exponenten
Sei eine rationale Zahl mit der Bruchdarstellung mit . Für beliebige positive reelle definiert man:
Zum Beispiel gilt:
Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung man gewählt hat.
Dieselbe Definition gilt auch für . Daraus folgt, dass für gilt und dass für nicht existiert.
Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich sind.
Für den Fall kann man bei Berechnungen von alle Bruchdarstellungen mit ungeraden benutzen. Aber bei Benutzung von Bruchdarstellungen mit geraden können Fehler entstehen. Zum Beispiel gilt:
Reelle Exponenten
Ist , eine beliebige reelle Zahl und eine Folge rationaler Zahlen, die gegen konvergiert, so definiert man:
Diese Definition ist korrekt, d. h., der Grenzwert existiert immer und hängt nicht von der Auswahl der Folge ab.
Zum Beispiel ist gleich dem Grenzwert der Folge
Die Definition lässt sich nicht auf den Fall erweitern, da in diesem Fall der Grenzwert nicht zu existieren braucht bzw. für verschiedene Wahlen der Folge sich verschiedene Grenzwerte ergeben.
Eine andere Definition ist über die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus möglich:
Dazu kann die Exponentialfunktion über ihre Reihenentwicklung definiert werden:
Insgesamt sind somit die Potenzen mit nichtnegativen Basen für alle reellen Exponenten definiert. Im Unterschied dazu sind die Potenzen mit negativen Basen nur für solche rationalen Exponenten definiert, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten gehören dazu. Potenzen negativer Zahlen mit anderen reellen Exponenten lassen sich im Bereich der komplexen Zahlen definieren, sind allerdings nicht reellwertig.
Potenzgesetze
Um die nachfolgende Tabelle nicht zu überladen, betrachten wir nur Potenzen mit reellen Basen, die ungleich sind. Betrachtet man aber eines der unten aufgeführten Gesetze mit nur positiven Exponenten, dann ist es auch für Potenzen zur Basis gültig. Wenn von rationalen Zahlen mit geraden oder ungeraden Nennern gesprochen wird, dann sind stets die Nenner ihrer gekürzten Bruchdarstellungen gemeint.
| für alle (Anmerkungen zu „null hoch null“ siehe unten) | |
| für beliebige reelle , falls ist; für beliebige rationale mit ungeraden Nennern, falls ist. | |
| für beliebige natürliche und ganze , falls ist; für beliebige natürliche und ganze ungerade , falls ist. | |
| für beliebige reelle , falls ist; für beliebige rationale mit ungeraden Nennern, falls ist. | |
| für beliebige reelle , falls ist; für beliebige rationale mit ungeraden Nennern, falls ist. | |
| für beliebige natürliche , und für ganze , wenn ; für beliebige reelle , falls sind; | |
| für beliebige und ganze und, wenn , auch ; für beliebige reelle , falls sind; | |
| für beliebige ganze , falls ist; für beliebige reelle , falls ist; für beliebige rationale , mit ungeraden Nennern, falls ist. |
Ist mindestens einer der Exponenten irrational oder sind beide rational, aber hat mindestens eine der Zahlen oder einen geraden Nenner, dann ist einer der Ausdrücke oder für undefiniert. Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur um ihr Vorzeichen. Für beliebige , falls ist, und für ganze , falls ist, stimmen sie immer überein. Für und nicht ganzzahlige, aber rationale sind diese beiden Fälle möglich. Welcher Fall eintritt, hängt von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung des Zählers von und des Nenners von ab. Um das richtige Vorzeichen auf der rechten Seite der Formel zu erkennen, ist es hinreichend, in diese Formel einzusetzen. Das Vorzeichen, mit dem sie dann bei gültig ist, bleibt richtig für alle und gegebenem . Gilt für , dann gilt für alle (und auch für , falls alle Exponenten positiv sind).
Zum Beispiel gilt und . Darum ist für alle und somit für alle reellen gültig.
Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt , noch assoziativ, denn beispielsweise gilt .
Die Schreibweise ohne Klammern bedeutet , das Potenzieren ist demnach rechtsassoziativ, vgl. Operatorrangfolge.
Vertauschung von Basis und Exponent
Wie schon erwähnt, ist das Potenzieren nicht kommutativ, was die nachfolgende Ungleichung bestätigt.
Es seien und sei die Eulersche Zahl. Dann gilt:
Aus der abgebildeten Figur ergibt sich folgende Implikationskette:
Analog lässt sich zeigen:
Potenzen komplexer Zahlen
Für ganzzahlige Exponenten kann man Potenzen mit komplexen Basen wie im reellen Fall definieren. Für beliebige reelle oder komplexe Exponenten muss man jedoch anders vorgehen.
Der erste Schritt zur Definition von Potenzen mit komplexen Basen und Exponenten besteht in der stetigen Fortsetzung der Funktion auf die Menge der komplexen Zahlen. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Zum Beispiel kann man die Reihe
benutzen, die für alle konvergiert und für alle die Funktion angibt. Mithilfe von Operationen mit Reihen beweist man danach, dass
für beliebige und die eulersche Formel
für beliebige gelten. Daraus folgt die Formel
die man auch für die Definition von benutzen kann. Diese Formel zeigt, dass die Wertemenge von gleich ist und dass diese Funktion periodisch ist mit Perioden , .
Darum ist ihre Umkehrfunktion mehrdeutig und für alle definiert. Sie kann mithilfe der Formel angegeben werden, wobei der Betrag, die Wertemenge des Arguments von und der übliche reelle Logarithmus ist. Der Hauptwert dieser Funktion ergibt sich, wenn man den Hauptwert anstatt benutzt. Für reelle ist nach der üblichen Definition , deshalb stimmt diese Funktion auf der Menge mit dem üblichen reellen Logarithmus überein.
Für beliebige mit definiert man dann:
Das ist auch eine mehrdeutige Funktion, deren Hauptwert sich beim Einsatz von anstatt ergibt.
Aber für verschwindet diese Mehrdeutigkeit und es entstehen übliche Potenzen mit ganzen Exponenten, die im ersten Abschnitt definiert wurden. Seien und , dann zieht die exponentielle Darstellung
nach sich, dass
gilt.
Für einen rationalen Exponenten mit der gekürzten Bruchdarstellung , mit , hat die Potenz genau unterschiedliche Werte. Dies gilt insbesondere für . Ist ungerade und , dann gibt es unter ihnen genau eine reelle Zahl, und das ist gerade die Zahl aus dem Abschnitt 1.3. Ist gerade und , dann nimmt keine reellen Werte an. Wenn aber gerade und ist, dann nimmt die Potenz genau zwei reelle Werte an, die unterschiedliche Vorzeichen haben. Der positive davon ist in diesem Fall gerade gleich der Zahl aus dem Abschnitt 1.3.
Als ein Beispiel betrachten wir die Potenz hoch .
Aus und
folgt
Daraus ergibt sich
Der Hauptwert entspricht und ist gleich
Spezielle Potenzen
Ganzzahlige Potenzen von 10 (Zehnerpotenzen) bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems. Als Potenz geschrieben, z. B. 10−9 für 0,000000001 oder 1011 für 100 Milliarden, werden sie in den Naturwissenschaften zur Darstellung sehr großer oder sehr kleiner positiver Zahlen verwendet.
In der Mathematik und Technik besonders wichtig sind weiterhin Potenzen mit der Basis , der Eulerschen Zahl.
Zweierpotenzen ergeben sich durch wiederholte Verdoppelung. Das überraschend schnelle Anwachsen der Zahlen macht Zweierpotenzen für Praxisbeispiele beliebt:
- Ein Blatt Papier üblicher Größe lässt sich nur etwa siebenmal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen und nur noch ein 128-tel seiner Fläche. Wenn man es 42-mal falten könnte, was nur theoretisch geht, entspräche seine Dicke von ca. 400.000 km etwa der Entfernung von der Erde zum Mond.
- Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern und die meisten haben vier Großeltern und acht Urgroßeltern. Ohne Ahnenverlust wären das vor 70 Generationen, zur Zeit Christi Geburt, Ahnen, obwohl damals weniger als 109 Menschen gelebt haben.
- Die Weizenkornlegende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte, verdeutlicht ebenfalls das rasante Wachstum der Zweierpotenzen.
Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16, …). Ein Kibibyte (abgekürzt KiB) entspricht Bytes.
Bei Schneeballsystemen, zum Beispiel sogenannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern zum Beispiel eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren. Eine oft von den Initiatoren suggerierte Stabilität der Schneeballsysteme kann nicht bestehen. Sie sind daher aus gutem Grunde in vielen Ländern verboten.
Null hoch Null
Analysis
Die Frage, ob und auf welche Weise dem Ausdruck ein eindeutiger Wert zugeordnet werden kann, hat die Mathematiker spätestens seit der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts beschäftigt.
Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht in ihrer 3D-Darstellung des Graphen der Funktion , dass beliebige Werte durch geeignete Wahl von Näherungspunkten an den Ursprung erreicht werden können. So ist z. B.
- ,
- ,
mit , und ,- und
- .
Die Beispiele zeigen, dass die Funktion an der Stelle divergiert, denn ein Grenzwert von der Art existiert offensichtlich nicht.
Ein Ausdruck, der unter dem Zeichen des Grenzwertes steht und der sich nicht auf Grund von Grenzwertsätzen und Stetigkeitseigenschaften berechnen lässt, heißt unbestimmter Ausdruck. Beispiele sind sowie . Letzterer Ausdruck entsteht bei Berechnungen von Potenzen, deren Basis und Exponent gleichzeitig gegen geht, und kann nicht bestimmt werden, wenn es keine Beziehung zwischen den beiden gibt.
Als einen unter naheliegenden Umständen geeigneten Wert kann man (das ist in der Abbildung die Gerade , weil für beliebige gilt) oder (der Strahl , weil für gilt) ansehen. Es gibt aber auch moderne Analysislehrbücher, die die Potenz (in dieser Form) ausdrücklich undefiniert lassen.
Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Augustin-Louis Cauchy listete allerdings gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken. 1833 veröffentlichte Guillaume Libri eine Arbeit, in der er wenig überzeugende Argumente für präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte August Ferdinand Möbius einen Beweis seines Lehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass gilt, und einen angeblichen Beweis für , falls gelten, lieferte. Die Korrektheit dieses Beweises wurde durch das Gegenbeispiel und rasch widerlegt.
Donald E. Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass undefiniert gelassen wird. Wenn man den Wert 1 für die Potenz nicht voraussetzt, verlangen viele mathematische Aussagen wie zum Beispiel der binomische Satz
eine Sonderbehandlung für die Fälle (am Index ) oder (am Index ) oder (bei ).
Ebenso kommt die Potenz in Potenzreihen wie beispielsweise für die Exponentialfunktion
für am Index oder in der Summenformel für die geometrische Reihe
für am Index vor. Auch hier hilft die Konvention .
Die angeführten Anwendungsfälle der Potenz sind (wie außerordentlich viele ähnliche andere) Aussagen über Polynome, Multinome oder Potenzreihen, bei denen der Exponent des Terms konstant 0 ist und die Basis – eher ausnahmsweise – den Wert 0 annehmen kann. In allen diesen Fällen sind die vorkommenden Terme stetige Summanden oder Faktoren, die für invertierbares den Wert 1 haben, deren Wert dann auch für die Lücke mühelos (und ganz im Sinn von ) als 1 stetig ergänzt werden kann.
Knuth differenziert jedoch und schreibt: “Cauchy had good reason to consider as an undefined limiting form” (deutsch etwa: Cauchy hatte guten Grund, als unbestimmten Limes-Ausdruck zu betrachten), wobei er unter der limiting form Grenzprozesse der Form versteht, bei denen sich sowohl die Basis wie der Exponent für ein gewisses der 0 beliebig nähern.
Mit dieser Maßgabe von D. E. Knuth sind die einfachen Fälle der Absolutglieder in Polynomen und Potenzreihen unmittelbar und pauschal gelöst, ohne dass es zu einem Konflikt mit einer detaillierten Betrachtung komplizierterer Grenzprozesse käme.
Mengenlehre
In der Mengenlehre wird eine Potenz zweier Mengen als Menge aller Funktionen von nach definiert, das heißt als Menge von Mengen geordneter Paare , sodass es zu jedem genau ein gibt mit . Bezeichnet man mit die Mächtigkeit von , so gilt (für endliche Mengen, aber auch darüber hinaus), was die Potenzschreibweise für Mengen rechtfertigt. Nun gibt es genau eine auf der leeren Menge definierte Funktion, das heißt Menge von Paaren mit obiger Eigenschaft, nämlich . Daher gilt , was auch für richtig bleibt.
Die natürlichen Zahlen werden in der Mengenlehre rekursiv wie folgt definiert (siehe von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen):
Demnach gilt in der Mengenlehre:
Umkehrfunktionen
Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt, gibt es zwei Umkehrrechenarten:
- das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart nach aufzulösen, also um die Basis zu ermitteln, wenn der Exponent bekannt ist,
- das Logarithmieren für Gleichungen des Typs , also die Bestimmung des Exponenten, wenn die Basis gegeben ist.
Verallgemeinerungen
Allgemeinere Basen
Allgemein gibt es Potenzen mit positiven, ganzzahligen Exponenten in jeder Halbgruppe. Hat diese ein neutrales Element und wird dadurch zum Monoid , so ist auch Exponent 0 sinnvoll, ist dann immer das neutrale Element. Es gelten für alle die Potenzgesetze
- , falls und vertauschen, d. h. wenn gilt.
Ist ein invertierbares Element, so kann man mittels
Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten definieren. Die Rechenregeln gelten analog. Im Fall abelscher Gruppen besagen sie, dass durch die Potenzierung die Struktur eines -Moduls induziert wird.
Allgemeinere Exponenten
Allgemeinere Exponenten wie Matrizen werden meist nur im Zusammenhang mit der Basis , also als Werte der verallgemeinerten Exponentialfunktion betrachtet.
Darüber hinaus wird die Potenzschreibweise gelegentlich auch für andere natürliche Fortsetzungen verwendet. So werden beispielsweise in der algebraischen Zahlentheorie gelegentlich Potenzen von Elementen von (topologischen) Galoisgruppen mit Exponenten in Vervollständigungen von betrachtet; es handelt sich dann um die jeweils eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung der Abbildung
Für beliebige Kardinalzahlen und lässt sich die Potenz durch definieren, wobei die Menge aller Funktionen mit Urmenge und Bildmenge bezeichnet, diese Verallgemeinerung setzt das Potenzmengenaxiom voraus, wobei zur Handhabung der Kardinalzahlen in der Regel auch das Auswahlaxiom angenommen wird.
Mehrdeutigkeit der Exponentenschreibweise
Die Exponentenschreibweise kann insbesondere bei Funktionen verschiedene Bedeutungen haben, je nachdem, ob die Schreibweise die Iteration der Verkettung oder der punktweisen Multiplikation wiedergeben soll. Darüber hinaus könnte auch ein oberer Index gemeint sein. In der Regel geht aus dem Kontext hervor, was gerade gemeint ist.
Verkettung
Die Potenzschreibweise wird oft als abkürzende Schreibweise für die Verkettung von Funktionen, deren Werte wieder im Definitionsbereich liegen, verwendet, zum Beispiel für Iterationen in dynamischen Systemen.
Man definiert, wobei id die Identität auf dem Definitionsbereich bezeichnet, rekursiv:
für , also
und so weiter.
Für die Funktionswerte bedeutet dies
und allgemein
Als Erweiterung dieser Definition definiert man üblicherweise noch als die Umkehrfunktion von . Insbesondere findet sich diese Schreibweise auch auf vielen Taschenrechnern, beispielsweise wird dort und auch sonst die Arkusfunktion mit bezeichnet. Oft bezeichnet auch die Urbildfunktion.
Multiplikation
Als abkürzende Schreibweise für die Multiplikation mehrerer Funktionswerte trigonometrischer Funktionen mit gleichen Argumenten, wie sie beispielsweise bei den Additionstheoremen für Winkelfunktionen häufig auftreten, hat sich ebenfalls die Potenzschreibweise eingebürgert, das heißt, man schreibt
Dies ist nicht mit der oben vorgestellten Schreibweise für die Verkettung von Funktionen verträglich. Gleiches gilt für Polynome. Mit meint man immer das -fache Produkt der Unbestimmten mit sich selbst. Da die Unbestimmte als Polynomfunktion die identische Abbildung ist, wäre die Potenzschreibweise als Iteration von Funktionen hier nicht sinnvoll.
Oberer Index
Für indizierte Größen schreibt man den Index manchmal hochgestellt, sodass in den Formeln der Eindruck einer Potenzierung entstehen könnte. Das kommt besonders in der Tensorrechnung vor, etwa bei der Bezeichnung von Vektorfeldern in Koordinatenschreibweise, oder bei der Indizierung von Größen, die ihrerseits bereits indiziert sind, etwa Folgen von Folgen.
Ableitung
Wird der Exponent in Klammern geschrieben, so ist meist die entsprechende Ableitung gemeint, bezeichnet dann die -te Ableitung der Funktion .
Potenzwert mit Zirkel und Lineal
Der Wert einer Potenz kann auch – so wie die Quadratwurzel, die Multiplikation und die Division – als Konstruktion mit Zirkel und Lineal mithilfe des Strahlensatzes dargestellt werden. Die Bedingung dabei ist: Die Basis ist eine reelle Zahl und der Exponent eine positive ganze Zahl.
Es ist zu unterscheiden, ob die Basis größer oder kleiner als die Zahl ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten für einen Potenzwert gleich beschrieben. Dabei wird auch die Vorgehensweise für Potenzwerte , und erkennbar.
Konstruktion für a > 1
Beispiel
Zunächst zieht man durch den vorher bestimmten Punkt den ersten Strahl und bestimmt darauf die Länge gleich . Es folgt der Halbkreis mit dem Radius um den Punkt die Schnittpunkte sind und Nun wird eine Senkrechte zu in errichtet, bis sie den Halbkreis in schneidet. Das Einzeichnen des zweiten Strahls durch den Punkt schließt sich an.
Weiter geht es mit dem Errichten einer Senkrechten auf dem zweiten Strahl im Punkt , bis sie den ersten Strahl in schneidet. Die Strecke entspricht dem Potenzwert Jetzt wird eine Senkrechte auf dem ersten Strahl im Punkt errichtet, bis sie den zweiten Strahl in schneidet. Schließlich liefert eine letzte Senkrechte auf dem zweiten Strahl im Punkt den Potenzwert als Strecke .
- Die beiden gestrichelten Linien sowie die Punkte und werden für die Lösung des Potenzwertes nicht benötigt. Sie dienen lediglich der Verdeutlichung wie der Potenzwert bestimmt werden kann.
Konstruktion für a < 1
Beispiel
Zuerst werden z. B. auf einer Zahlengeraden die Längen und als Strecken bzw. aufgetragen. Anschließend wird der Halbkreis über eingezeichnet. Es folgen die Halbierung der Strecke in und das Ziehen des Kreisbogens mit Radius um , bis er den Halbkreis in schneidet. Nun wird das Lot ab auf die Zahlengerade mit Fußpunkt gefällt. Die Strecke entspricht dem Potenzwert Nach den Verbindungen der Punkte mit sowie mit ergibt sich am Scheitel ein rechter Winkel.
Weiter geht es mit dem Ziehen einer Parallelen zur Strecke ab , bis sie in schneidet. Der nun folgende Kreisbogen mit Radius