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Potenz Geometrie Der Begriff Potenz bezeichnet in der Geometrie ein spezielles von Jakob Steiner 1826 eingeführtes Maß d

Potenz (Geometrie)

Der Begriff Potenz bezeichnet in der Geometrie ein spezielles, von Jakob Steiner 1826 eingeführtes Maß dafür, wie weit außerhalb oder innerhalb eines Kreises sich ein Punkt befindet. Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius ist die reelle Zahl

Geometrische Bedeutung der Potenz

Falls außerhalb des Kreises liegt, ist und gleich dem Quadrat der tangentialen Distanz von zum Kreis (siehe Bild). Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras.
Falls auf dem Kreis liegt, ist .
Falls innerhalb des Kreises liegt, ist .

Steiner benutzte die Potenz eines Kreises, um zahlreiche Aussagen über Kreise und Kugeln zu beweisen. Z.B.:

  • Bestimmung eines Kreises, der vier vorgegebene Kreise unter dem gleichen Winkel schneidet.
  • Lösung des Apollonischen Problems
  • Konstruktion der Malfatti-Kreise: Bestimme zu einem Dreieck drei Kreise, die sich gegenseitig berühren und jeweils zwei Seiten berühren.
  • Sphärische Version des Malfatti Problems: Bestimme zu einem sphärischen Dreieck drei Kreise, die sich gegenseitig berühren und jeweils zwei Seiten des Dreiecks berühren.
  • Auf einer Quadrik: Bestimme zu drei ebenen Kurven auf einer Quadrik drei weitere ebene Kurven, die sich gegenseitig berühren und jeweils zwei der gegebenen Kurven berühren.

Als wesentliches Hilfsmittel verwendet Steiner Ähnlichkeitspunkte und die gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise.

Der Begriff Potenz bezüglich eines Kreises lässt sich auf den Raum als Potenz einer Kugel übertragen.

Geometrische Bedeutung Bearbeiten

Außer den im ersten Bild mit Hilfe des Satzes von Pythagoras erkennbaren geometrischen Bedeutungen der Potenz, gibt es weitere Eigenschaften:

Orthogonalkreis Bearbeiten

Orthogonalkreis (grün)

Zu einem Punkt außerhalb des Kreises gibt es zwei Berührpunkte auf dem Kreis (siehe Bild), die gleich weit von entfernt sind. Der Kreis mit als Mittelpunkt durch geht also auch durch und schneidet den Kreis senkrecht. Dies liefert eine weitere geometrische Bedeutung der Potenz:

  • Der Kreis mit Mittelpunkt und Radius schneidet den Kreis senkrecht.
Schnittwinkel zweier Kreise

Falls der Radius des Kreises um ungleich ist, erhält man den Schnittwinkel der beiden Kreise mit Hilfe des Kosinussatzes (siehe Bild):

( und sind Normalen zu den Kreistangenten.)

Liegt in dem blauen Kreis, ist und damit immer ungleich .

Falls der Winkel vorgegeben wird, erhält man den Radius aus der quadratischen Gleichung

Sekantensatz, Sehnensatz

Sekantensatz, Sehnensatz Bearbeiten

Im Sekantensatz und Sehnensatz spielt die Potenz eines Punktes die Rolle einer Invarianten:

  • Sekantensatz: Liegt der Punkt außerhalb des Kreises und sind und die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden durch mit dem Kreis, so ist , also unabhängig von der Gerade . Diese Aussage ist auch dann noch richtig, wenn und zusammenfallen (Sekanten-Tangenten-Satz).
  • Sehnensatz: Sind und die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden durch mit dem Kreis, so ist .

Potenzgerade Bearbeiten

Betrachtet man zu zwei vorgegebenen Kreisen (Mittelpunkte und Radien ), einen Punkt , so hat dieser die Potenz bezgl. des ersten Kreises und die Potenz bezgl. des zweiten Kreises. Bestimmt man die Gesamtheit aller Punkte, die bezgl. beider Kreise dieselbe Potenz besitzen, es ist also , so erhält man eine Gerade, die Potenzgerade der beiden Kreise.

Sekantensatz, Sehnensatz: einheitlicher Beweis Bearbeiten

Bei den Sätzen Sekantensatz, Sekanten-Tangenten-Satz und Sehnensatz spielt die Potenz eines Punktes als Invariante eine wesentliche Rolle. Diese Sätze lassen sich mit Hilfe von ähnlichen Dreiecken und dem Kreiswinkelsatz koordinatenfrei beweisen.

Sekanten-/Sehnen - Satz: Beweis

Der folgende einfache Beweis verwendet Vektorrechnung:

Es sei ein Punkt, ein Kreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt und ein beliebiger Einheitsvektor. Die Parameter möglicher Schnittpunkte der Gerade (durch ) und dem Kreis können durch Einsetzen der Parameterdarstellung von in die Kreisgleichung bestimmt werden:

Aus dem Satz von Vieta ergibt sich:

ist die Potenz von bezüglich des Kreises .

Wegen ergibt sich für die Punkte :

Falls ist, ist eine Tangente und das Quadrat der tangentialen Distanz des Punktes zu dem Kreis .

Ähnlichkeitspunkte, gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise Bearbeiten

Ähnlichkeitspunkte Bearbeiten

Ein wesentliches Werkzeug Steiners bei seinen Untersuchungen sind die Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise.

Es seien

Eine zentrische Streckung (Ähnlichkeitsabbildung) , die auf abbildet, muss den Radius auf strecken (stauchen) und hat ihr Zentrum auf der Gerade (). Liegt das Zentrum zwischen ist der Streckfaktor . Im anderen Fall ist . In jedem Fall ist:

setzt man ein und löst nach auf erhält man:

Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise: verschiedene Lagen

Den Punkt

nennt man äußeren Ähnlichkeitspunkt und

inneren Ähnlichkeitspunkt.

(Um Nachzuweisen, dass die Streckung an mit dem Faktor den Kreis auf den Kreis abbildet, darf man annehmen, dass der Ursprung ist. Analog für die Streckung an .)

Im Fall ist .
Im Fall ist der Fernpunkt der Gerade und der Mittelpunkt von .
Im Fall berühren sich die Kreise in innerlich (beide Kreise auf einer Seite der gemeinsamen Tangente).
Im Fall berühren sich die Kreise in äußerlich (beide Kreise auf verschiedenen Seiten der gemeinsamen Tangente).

Ferner gilt:

  • Liegen die zwei Kreise getrennt (die Kreisflächen haben keine Punkte gemeinsam), so gehen von den vier gemeinsamen Tangenten die äußeren durch und die inneren durch .
  • Liegt ein Kreis in dem anderen, so liegen innerhalb beider Kreise.
  • Die Punktepaare liegen harmonisch: Sie haben das Doppelverhältnis .

Der Satz von Monge zeigt, dass die äußeren Ähnlichkeitspunkte von drei getrennt liegenden Kreisen auf einer Gerade liegen.

Gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise Bearbeiten

Ähnlichkeitspunkte zweier Kreise

Sind zwei Kreise, ihr äußerlicher Ähnlichkeitspunkt und eine Gerade durch , die die beiden Kreise in Punkten schneiden, so folgt aus der Eigenschaft von

und aus dem Sekantensatz (siehe oben)

Aus den drei Gleichungen folgt:

Also gilt:

  • (unabhängig von  !).

Das analoge Resultat erhält man für eine Sekante durch den inneren Ähnlichkeitspunkt .

Die Invarianten nennt Steiner gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte.

Jedes der Punktepaare und nennt man antihomolog. Die Paare und heißen homolog; sie sind Urbild-Bildpaare bezüglich der Ähnlichkeitsabbildung (Homologie).

Anwendung: Bestimmung der Berührkreise zweier Kreise Bearbeiten

Gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise: Anwendung
Berührkreise zu zwei Kreise

Legt man durch eine zweite Sekante (siehe Bild) gilt:

Mit dem Sekantensatz erkennt man:

Analog ergibt sich:

Da sich die Potenzgeraden dreier Kreise in einem Punkt schneiden (siehe: Artikel Potenzgerade) gilt:

Lässt man nun die untere blaue Sekante (siehe Bild) gegen die obere laufen, geht der rote Kreis in einen Kreis über, der die beiden gegebenen Kreise berührt. Der Mittelpunkt des Berührkreises ist der Schnittpunkt der Geraden . Die Sekanten gehen in die Tangenten in den Berührpunkten über. Die Tangenten schneiden sich auf der Potenzgerade (im Bild gelb).

Entsprechende Überlegungen führen zu dem zweiten Berührkreis durch die Punkte (siehe Bild).

Durch Variation der Sekante erhält man alle Berührkreise zu den gegebenen Kreisen.

Berührkreise zweier Kreise

Ist der Mittelpunkt und der Radius des Berührkreises durch so gilt:

Die Mittelpunkte liegen also auf einer Hyperbel mit den

Überlegungen für die Mittelpunkte der Kreise, die die gegebenen Kreise umhüllen, liefern ein analoges Resultat:

Ist der Mittelpunkt und der Radius des Berührkreises durch so gilt:

Die Mittelpunkte liegen auf derselben Hyperbel wie vorher. Allerdings auf dem rechten Ast.

Siehe hierzu auch den Artikel apollonisches Problem: Lösungsmethoden.

Potenz bezüglich einer Kugel Bearbeiten

Zum Sekantensatz für eine Kugel

Das Konzept der Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises lässt sich auf Kugeln im Raum übertragen. Auch die Sekanten/Sehnen-Sätze haben im Raum ihre Gültigkeit. Der Beweis für den Kreisfall kann wörtlich auf den Kugelfall übertragen werden. Analog zur Potenzgerade zweier Kreise gibt es im Raum eine Potenzebene zu zwei Kugeln. Zu drei Kugeln gibt es eine dem Radikal dreier Kreise entsprechende Potenzgerade.

Literatur Bearbeiten

  1. Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen, 1826, S. 164
  2. Steiner, S. 163
  3. Steiner, S. 178
  4. Steiner, S. 182
  5. Steiner, S. 182
  6. Steiner: S. 170,171
  7. Steiner: S. 175
  8. Michel Chasles, C. H. Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil, Verlag Leibrock, Braunschweig, 1856, S. 312
  9. William J. M'Clelland: A Treatise on the Geometry of the Circle and Some Extensions to Conic Sections by the Method of Reciprocation, 1891, Verlag: Creative Media Partners, LLC, ISBN 978-0-344-90374-8, S. 121,220
  10. K.P. Grothemeyer: Analytische Geometrie, Sammlung Göschen 65/65A, Berlin 1962, S. 54
  • W. Brennecke: Berührungsaufgabe für Kreis und Kugel, Verlag T. C. F. Enslin, Berlin, 1853
  • Heinrich Cranz: Das apollonische Berührungsproblem, Verlag Vangerow, Bremerhaven, 1890
  • Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 1, 1826, S. 161–184
  • Jacob Steiner, C.F. Geiser, H. Schröter: Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. Erster Theil: Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung. Teubner, 1867, S. 1–3 (books.google.com).
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 28–34

Weblinks Bearbeiten

Commons: Power of a point – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Der Begriff Potenz bezeichnet in der Geometrie ein spezielles von Jakob Steiner 1826 eingefuhrtes Mass dafur wie weit ausserhalb oder innerhalb eines Kreises sich ein Punkt befindet 1 Die Potenz eines Punktes P displaystyle P bezuglich eines Kreises k displaystyle k mit Mittelpunkt M displaystyle M und Radius r displaystyle r ist die reelle ZahlGeometrische Bedeutung der Potenz P P P M 2 r 2 displaystyle Pi P PM 2 r 2 Falls P displaystyle P ausserhalb des Kreises liegt ist P P gt 0 displaystyle Pi P gt 0 und gleich dem Quadrat der tangentialen Distanz P T displaystyle PT von P displaystyle P zum Kreis k displaystyle k siehe Bild Dies folgt aus dem Satz des Pythagoras Falls P displaystyle P auf dem Kreis liegt ist P P 0 displaystyle Pi P 0 Falls P displaystyle P innerhalb des Kreises liegt ist P P lt 0 displaystyle Pi P lt 0 Steiner benutzte die Potenz eines Kreises um zahlreiche Aussagen uber Kreise und Kugeln zu beweisen Z B Bestimmung eines Kreises der vier vorgegebene Kreise unter dem gleichen Winkel schneidet 2 Losung des Apollonischen Problems Konstruktion der Malfatti Kreise 3 Bestimme zu einem Dreieck drei Kreise die sich gegenseitig beruhren und jeweils zwei Seiten beruhren Spharische Version des Malfatti Problems 4 Bestimme zu einem spharischen Dreieck drei Kreise die sich gegenseitig beruhren und jeweils zwei Seiten des Dreiecks beruhren Auf einer Quadrik 5 Bestimme zu drei ebenen Kurven auf einer Quadrik drei weitere ebene Kurven die sich gegenseitig beruhren und jeweils zwei der gegebenen Kurven beruhren Als wesentliches Hilfsmittel verwendet Steiner Ahnlichkeitspunkte und die gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise Der Begriff Potenz bezuglich eines Kreises lasst sich auf den Raum als Potenz einer Kugel ubertragen Inhaltsverzeichnis 1 Geometrische Bedeutung 1 1 Orthogonalkreis 1 2 Sekantensatz Sehnensatz 1 3 Potenzgerade 2 Sekantensatz Sehnensatz einheitlicher Beweis 3 Ahnlichkeitspunkte gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise 3 1 Ahnlichkeitspunkte 3 2 Gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise 3 3 Anwendung Bestimmung der Beruhrkreise zweier Kreise 4 Potenz bezuglich einer Kugel 5 Literatur 6 WeblinksGeometrische Bedeutung BearbeitenAusser den im ersten Bild mit Hilfe des Satzes von Pythagoras erkennbaren geometrischen Bedeutungen der Potenz gibt es weitere Eigenschaften Orthogonalkreis Bearbeiten nbsp Orthogonalkreis grun Zu einem Punkt P displaystyle P nbsp ausserhalb des Kreises k displaystyle k nbsp gibt es zwei Beruhrpunkte T 1 T 2 displaystyle T 1 T 2 nbsp auf dem Kreis k displaystyle k nbsp siehe Bild die gleich weit von P displaystyle P nbsp entfernt sind Der Kreis mit P displaystyle P nbsp als Mittelpunkt durch T 1 displaystyle T 1 nbsp geht also auch durch T 2 displaystyle T 2 nbsp und schneidet den Kreis k displaystyle k nbsp senkrecht Dies liefert eine weitere geometrische Bedeutung der Potenz Der Kreis mit Mittelpunkt P displaystyle P nbsp und Radius P P displaystyle sqrt Pi P nbsp schneidet den Kreis k displaystyle k nbsp senkrecht nbsp Schnittwinkel zweier KreiseFalls der Radius r displaystyle rho nbsp des Kreises um P displaystyle P nbsp ungleich P P displaystyle sqrt Pi P nbsp ist erhalt man den Schnittwinkel f displaystyle varphi nbsp der beiden Kreise mit Hilfe des Kosinussatzes siehe Bild r 2 r 2 2 r r cos f P M 2 displaystyle rho 2 r 2 2 rho r cos varphi PM 2 nbsp cos f r 2 r 2 P M 2 2 r r r 2 P P 2 r r displaystyle Rightarrow cos varphi frac rho 2 r 2 PM 2 2 rho r frac rho 2 Pi P 2 rho r nbsp P S 1 displaystyle PS 1 nbsp und M S 1 displaystyle MS 1 nbsp sind Normalen zu den Kreistangenten Liegt P displaystyle P nbsp in dem blauen Kreis ist P P lt 0 displaystyle Pi P lt 0 nbsp und damit f displaystyle varphi nbsp immer ungleich 90 displaystyle 90 circ nbsp Falls der Winkel f displaystyle varphi nbsp vorgegeben wird erhalt man den Radius r displaystyle rho nbsp aus der quadratischen Gleichung r 2 2 r r cos f P P 0 displaystyle rho 2 2 rho r cos varphi Pi P 0 nbsp nbsp Sekantensatz SehnensatzSekantensatz Sehnensatz Bearbeiten Im Sekantensatz und Sehnensatz spielt die Potenz eines Punktes die Rolle einer Invarianten Sekantensatz Liegt der Punkt P displaystyle P nbsp ausserhalb des Kreises und sind S 1 displaystyle S 1 nbsp und S 2 displaystyle S 2 nbsp die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden g displaystyle g nbsp durch P displaystyle P nbsp mit dem Kreis so ist P S 1 P S 2 P P displaystyle PS 1 cdot PS 2 Pi P nbsp also unabhangig von der Gerade g displaystyle g nbsp Diese Aussage ist auch dann noch richtig wenn S 1 displaystyle S 1 nbsp und S 2 displaystyle S 2 nbsp zusammenfallen Sekanten Tangenten Satz Sehnensatz Sind S 1 displaystyle S 1 nbsp und S 2 displaystyle S 2 nbsp die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden g displaystyle g nbsp durch P displaystyle P nbsp mit dem Kreis so ist P S 1 P S 2 P P displaystyle PS 1 cdot PS 2 Pi P nbsp Potenzgerade Bearbeiten Betrachtet man zu zwei vorgegebenen Kreisen Mittelpunkte M 1 M 2 displaystyle M 1 M 2 nbsp und Radien r 1 r 2 displaystyle r 1 r 2 nbsp einen Punkt P displaystyle P nbsp so hat dieser die Potenz P 1 P displaystyle Pi 1 P nbsp bezgl des ersten Kreises und die Potenz P 2 P displaystyle Pi 2 P nbsp bezgl des zweiten Kreises Bestimmt man die Gesamtheit aller Punkte die bezgl beider Kreise dieselbe Potenz besitzen es ist also P 1 P P 2 P displaystyle Pi 1 P Pi 2 P nbsp so erhalt man eine Gerade die Potenzgerade der beiden Kreise Sekantensatz Sehnensatz einheitlicher Beweis BearbeitenBei den Satzen Sekantensatz Sekanten Tangenten Satz und Sehnensatz spielt die Potenz eines Punktes als Invariante eine wesentliche Rolle Diese Satze lassen sich mit Hilfe von ahnlichen Dreiecken und dem Kreiswinkelsatz koordinatenfrei beweisen nbsp Sekanten Sehnen Satz BeweisDer folgende einfache Beweis verwendet Vektorrechnung Es sei P p displaystyle P vec p nbsp ein Punkt k x 2 r 2 0 displaystyle k vec x 2 r 2 0 nbsp ein Kreis mit dem Ursprung als Mittelpunkt und v displaystyle vec v nbsp ein beliebiger Einheitsvektor Die Parameter t 1 t 2 displaystyle t 1 t 2 nbsp moglicher Schnittpunkte der Gerade g x p t v displaystyle g vec x vec p t vec v nbsp durch P displaystyle P nbsp und dem Kreis k displaystyle k nbsp konnen durch Einsetzen der Parameterdarstellung von g displaystyle g nbsp in die Kreisgleichung bestimmt werden p t v 2 r 2 0 t 2 2 t p v p 2 r 2 0 displaystyle vec p t vec v 2 r 2 0 quad rightarrow quad t 2 2t vec p cdot vec v vec p 2 r 2 0 nbsp Aus dem Satz von Vieta ergibt sich t 1 t 2 p 2 r 2 P P displaystyle t 1 cdot t 2 vec p 2 r 2 Pi P nbsp unabhangig von v displaystyle vec v nbsp P P displaystyle Pi P nbsp ist die Potenz von P displaystyle P nbsp bezuglich des Kreises k displaystyle k nbsp Wegen v 1 displaystyle vec v 1 nbsp ergibt sich fur die Punkte S 1 S 2 displaystyle S 1 S 2 nbsp P S 1 P S 2 t 1 t 2 P P displaystyle PS 1 cdot PS 2 t 1 t 2 Pi P nbsp falls P displaystyle P nbsp ausserhalb des Kreises ist P S 1 P S 2 t 1 t 2 P P displaystyle PS 1 cdot PS 2 t 1 t 2 Pi P nbsp falls P displaystyle P nbsp in dem Kreis liegt t 1 t 2 displaystyle t 1 t 2 nbsp haben verschiedene Vorzeichen Falls t 1 t 2 displaystyle t 1 t 2 nbsp ist ist g displaystyle g nbsp eine Tangente und P P displaystyle Pi P nbsp das Quadrat der tangentialen Distanz des Punktes P displaystyle P nbsp zu dem Kreis k displaystyle k nbsp Ahnlichkeitspunkte gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise BearbeitenAhnlichkeitspunkte Bearbeiten Ein wesentliches Werkzeug Steiners bei seinen Untersuchungen sind die Ahnlichkeitspunkte zweier Kreise 6 Es seien k 1 x m 1 r 1 2 0 k 2 x m 2 r 2 2 0 displaystyle k 1 vec x vec m 1 r 1 2 0 quad k 2 vec x vec m 2 r 2 2 0 nbsp zwei Kreise Eine zentrische Streckung Ahnlichkeitsabbildung s displaystyle sigma nbsp die k 1 displaystyle k 1 nbsp auf k 2 displaystyle k 2 nbsp abbildet muss den Radius r 1 displaystyle r 1 nbsp auf r 2 displaystyle r 2 nbsp strecken stauchen und hat ihr Zentrum Z z displaystyle Z vec z nbsp auf der Gerade M 1 M 2 displaystyle overline M 1 M 2 nbsp s M 1 M 2 displaystyle sigma M 1 M 2 nbsp Liegt das Zentrum zwischen M 1 M 2 displaystyle M 1 M 2 nbsp ist der Streckfaktor s r 2 r 1 displaystyle s tfrac r 2 r 1 nbsp Im anderen Fall ist s r 2 r 1 displaystyle s tfrac r 2 r 1 nbsp In jedem Fall ist s m 1 z s m 1 z m 2 displaystyle sigma vec m 1 vec z s vec m 1 vec z vec m 2 nbsp setzt man s r 2 r 1 displaystyle s pm tfrac r 2 r 1 nbsp ein und lost nach z displaystyle vec z nbsp auf erhalt man z r 1 m 2 r 2 m 1 r 1 r 2 displaystyle vec z frac r 1 vec m 2 mp r 2 vec m 1 r 1 mp r 2 nbsp nbsp Ahnlichkeitspunkte zweier Kreise verschiedene LagenDen Punkt E e r 1 m 2 r 2 m 1 r 1 r 2 displaystyle E vec e frac r 1 vec m 2 r 2 vec m 1 r 1 r 2 nbsp nennt man ausseren Ahnlichkeitspunkt und I i r 1 m 2 r 2 m 1 r 1 r 2 displaystyle I vec i frac r 1 vec m 2 r 2 vec m 1 r 1 r 2 nbsp inneren Ahnlichkeitspunkt Um Nachzuweisen dass die Streckung an E displaystyle E nbsp mit dem Faktor r 2 r 1 displaystyle tfrac r 2 r 1 nbsp den Kreis k 1 displaystyle k 1 nbsp auf den Kreis k 2 displaystyle k 2 nbsp abbildet darf man annehmen dass E displaystyle E nbsp der Ursprung ist Analog fur die Streckung an I displaystyle I nbsp Im Fall M 1 M 2 displaystyle M 1 M 2 nbsp ist E I M i displaystyle E I M i nbsp Im Fall r 1 r 2 displaystyle r 1 r 2 nbsp ist E displaystyle E nbsp der Fernpunkt der Gerade M 1 M 2 displaystyle overline M 1 M 2 nbsp und I displaystyle I nbsp der Mittelpunkt von M 1 M 2 displaystyle M 1 M 2 nbsp Im Fall r 1 E M 1 displaystyle r 1 EM 1 nbsp beruhren sich die Kreise in E displaystyle E nbsp innerlich beide Kreise auf einer Seite der gemeinsamen Tangente Im Fall r 1 I M 1 displaystyle r 1 IM 1 nbsp beruhren sich die Kreise in I displaystyle I nbsp ausserlich beide Kreise auf verschiedenen Seiten der gemeinsamen Tangente Ferner gilt Liegen die zwei Kreise getrennt die Kreisflachen haben keine Punkte gemeinsam so gehen von den vier gemeinsamen Tangenten die ausseren durch E displaystyle E nbsp und die inneren durch I displaystyle I nbsp Liegt ein Kreis in dem anderen so liegen A I displaystyle A I nbsp innerhalb beider Kreise Die Punktepaare M 1 M 2 E I displaystyle M 1 M 2 E I nbsp liegen harmonisch Sie haben das Doppelverhaltnis M 1 M 2 E I 1 displaystyle M 1 M 2 E I 1 nbsp Der Satz von Monge zeigt dass die ausseren Ahnlichkeitspunkte von drei getrennt liegenden Kreisen auf einer Gerade liegen Gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise Bearbeiten nbsp Ahnlichkeitspunkte zweier KreiseSind k 1 k 2 displaystyle k 1 k 2 nbsp zwei Kreise E displaystyle E nbsp ihr ausserlicher Ahnlichkeitspunkt und g displaystyle g nbsp eine Gerade durch E displaystyle E nbsp die die beiden Kreise in Punkten G 1 H 1 G 2 H 2 displaystyle G 1 H 1 G 2 H 2 nbsp schneiden so folgt aus der Eigenschaft von E displaystyle E nbsp E G 1 E G 2 r 1 r 2 E H 1 E H 2 displaystyle frac EG 1 EG 2 frac r 1 r 2 frac EH 1 EH 2 nbsp E G 1 E H 2 E H 1 E G 2 displaystyle rightarrow EG 1 cdot EH 2 EH 1 cdot EG 2 nbsp und aus dem Sekantensatz siehe oben E G 1 E H 1 P 1 E E G 2 E H 2 P 2 E displaystyle EG 1 cdot EH 1 Pi 1 E quad EG 2 cdot EH 2 Pi 2 E nbsp Aus den drei Gleichungen folgt P 1 E P 2 E E G 1 E H 1 E G 2 E H 2 displaystyle Pi 1 E cdot Pi 2 E EG 1 cdot EH 1 cdot EG 2 cdot EH 2 nbsp E G 1 2 E H 2 2 E G 2 2 E H 1 2 displaystyle qquad qquad qquad EG 1 2 cdot EH 2 2 EG 2 2 cdot EH 1 2 nbsp Also gilt E G 1 E H 2 E G 2 E H 1 P 1 E P 2 E displaystyle EG 1 cdot EH 2 EG 2 cdot EH 1 sqrt Pi 1 E cdot Pi 2 E nbsp unabhangig von g displaystyle g nbsp Das analoge Resultat erhalt man fur eine Sekante durch den inneren Ahnlichkeitspunkt I displaystyle I nbsp Die Invarianten P 1 E P 2 E P 1 I P 2 I displaystyle sqrt Pi 1 E cdot Pi 2 E sqrt Pi 1 I cdot Pi 2 I nbsp nennt Steiner gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezuglich ihrer Ahnlichkeitspunkte 7 Jedes der Punktepaare G 1 H 2 displaystyle G 1 H 2 nbsp und H 1 G 2 displaystyle H 1 G 2 nbsp nennt man antihomolog Die Paare G 1 G 2 displaystyle G 1 G 2 nbsp und H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 nbsp heissen homolog sie sind Urbild Bildpaare bezuglich der Ahnlichkeitsabbildung Homologie 8 9 Anwendung Bestimmung der Beruhrkreise zweier Kreise Bearbeiten nbsp Gemeinschaftliche Potenz zweier Kreise Anwendung nbsp Beruhrkreise zu zwei KreiseLegt man durch E displaystyle E nbsp eine zweite Sekante siehe Bild gilt E H 1 E G 2 E H 1 E G 2 displaystyle EH 1 cdot EG 2 EH 1 cdot EG 2 nbsp Mit dem Sekantensatz erkennt man Die Punkte H 1 G 2 H 1 G 2 displaystyle H 1 G 2 H 1 G 2 nbsp liegen auf einem Kreis Analog ergibt sich Die Punkte G 1 H 2 G 1 H 2 displaystyle G 1 H 2 G 1 H 2 nbsp liegen auf einem Kreis Da sich die Potenzgeraden dreier Kreise in einem Punkt schneiden siehe Artikel Potenzgerade gilt Die Sekanten H 1 H 1 G 2 G 2 displaystyle overline H 1 H 1 overline G 2 G 2 nbsp schneiden sich auf der Potenzgerade der gegebenen Kreise Lasst man nun die untere blaue Sekante siehe Bild gegen die obere laufen geht der rote Kreis in einen Kreis uber der die beiden gegebenen Kreise beruhrt Der Mittelpunkt des Beruhrkreises ist der Schnittpunkt der Geraden M 1 H 1 M 2 G 2 displaystyle overline M 1 H 1 overline M 2 G 2 nbsp Die Sekanten H 1 H 1 G 2 G 2 displaystyle overline H 1 H 1 overline G 2 G 2 nbsp gehen in die Tangenten in den Beruhrpunkten H 1 G 2 displaystyle H 1 G 2 nbsp uber Die Tangenten schneiden sich auf der Potenzgerade p displaystyle p nbsp im Bild gelb Entsprechende Uberlegungen fuhren zu dem zweiten Beruhrkreis durch die Punkte G 1 H 2 displaystyle G 1 H 2 nbsp siehe Bild Durch Variation der Sekante g displaystyle g nbsp erhalt man alle Beruhrkreise zu den gegebenen Kreisen Lage der Mittelpunkte nbsp Beruhrkreise zweier KreiseIst X displaystyle X nbsp der Mittelpunkt und r displaystyle rho nbsp der Radius des Beruhrkreises durch H 1 G 2 displaystyle H 1 G 2 nbsp so gilt r X M 1 r 1 X M 2 r 2 displaystyle rho XM 1 r 1 XM 2 r 2 nbsp X M 2 X M 1 r 2 r 1 displaystyle rightarrow XM 2 XM 1 r 2 r 1 nbsp Die Mittelpunkte liegen also auf einer Hyperbel mit den Brennpunkten M 1 M 2 displaystyle M 1 M 2 nbsp dem Abstand der Scheitel 2 a r 2 r 1 displaystyle 2a r 2 r 1 nbsp dem Mittelpunkt von M 1 M 2 displaystyle M 1 M 2 nbsp als Mittelpunkt M displaystyle M nbsp der linearen Exzentrizitat e M 1 M 2 2 displaystyle e tfrac M 1 M 2 2 nbsp und b 2 e 2 a 2 M 1 M 2 2 r 2 r 1 2 4 displaystyle b 2 e 2 a 2 tfrac M 1 M 2 2 r 2 r 1 2 4 nbsp Uberlegungen fur die Mittelpunkte der Kreise die die gegebenen Kreise umhullen liefern ein analoges Resultat Ist X displaystyle X nbsp der Mittelpunkt und r displaystyle rho nbsp der Radius des Beruhrkreises durch G 1 H 2 displaystyle G 1 H 2 nbsp so gilt r X M 1 r 1 X M 2 r 2 displaystyle rho XM 1 r 1 XM 2 r 2 nbsp X M 2 X M 1 r 2 r 1 displaystyle rightarrow XM 2 XM 1 r 2 r 1 nbsp Die Mittelpunkte liegen auf derselben Hyperbel wie vorher Allerdings auf dem rechten Ast Siehe hierzu auch den Artikel apollonisches Problem Losungsmethoden Potenz bezuglich einer Kugel Bearbeiten nbsp Zum Sekantensatz fur eine KugelDas Konzept der Potenz eines Punktes bezuglich eines Kreises lasst sich auf Kugeln im Raum ubertragen 10 Auch die Sekanten Sehnen Satze haben im Raum ihre Gultigkeit Der Beweis fur den Kreisfall kann wortlich auf den Kugelfall ubertragen werden Analog zur Potenzgerade zweier Kreise gibt es im Raum eine Potenzebene zu zwei Kugeln Zu drei Kugeln gibt es eine dem Radikal dreier Kreise entsprechende Potenzgerade Literatur Bearbeiten Jakob Steiner Einige geometrische Betrachtungen 1826 S 164 Steiner S 163 Steiner S 178 Steiner S 182 Steiner S 182 Steiner S 170 171 Steiner S 175 Michel Chasles C H Schnuse Die Grundlehren der neuern Geometrie erster Theil Verlag Leibrock Braunschweig 1856 S 312 William J M Clelland A Treatise on the Geometry of the Circle and Some Extensions to Conic Sections by the Method of Reciprocation 1891 Verlag Creative Media Partners LLC ISBN 978 0 344 90374 8 S 121 220 K P Grothemeyer Analytische Geometrie Sammlung Goschen 65 65A Berlin 1962 S 54W Brennecke Beruhrungsaufgabe fur Kreis und Kugel Verlag T C F Enslin Berlin 1853 Heinrich Cranz Das apollonische Beruhrungsproblem Verlag Vangerow Bremerhaven 1890 Jakob Steiner Einige geometrische Betrachtungen In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band 1 1826 S 161 184 Jacob Steiner C F Geiser H Schroter Jacob Steiner s Vorlesungen uber synthetische Geometrie Erster Theil Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung Teubner 1867 S 1 3 books google com Roger A Johnson Advanced Euclidean Geometry Dover 2007 ISBN 978 0 486 46237 0 S 28 34Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Power of a point Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Florian Modler Exkurs Potenz eines Kreises auf matheplanet de Eric W Weisstein Circle Power In MathWorld englisch Jacob Steiner and the Power of a Point at Convergence Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Potenz Geometrie amp oldid 226810005