Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt , so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.
Formulierung des Satzes Bearbeiten
Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als und und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als und , so gilt:
Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:
Beweis Bearbeiten
Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.
Die Dreiecke und sind ähnliche Dreiecke, denn:
- Der Winkel in Punkt ist beiden Dreiecken gemeinsam.
- Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne ergibt oder .
Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung
Durch Multiplikation mit erhält man:
Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.
Siehe auch Bearbeiten
- Sehnensatz
- Sekanten-Tangenten-Satz
- Potenz (Geometrie), vereinigt die Aussage von Sehen-, Sekenten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept
Literatur Bearbeiten
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 148
- H. Schupp: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2, S. 150
- Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417
Weblinks Bearbeiten
- Power of a Point Theorem auf cut-the-knot.org