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Sehnensatz Der ist ein Satz aus der Elementargeometrie und beschreibt eine Beziehung zwischen den Strecken die von zwei

Sehnensatz

Der Sehnensatz ist ein Satz aus der Elementargeometrie und beschreibt eine Beziehung zwischen den Strecken, die von zwei sich schneidenden Kreissehnen gebildet werden.

Sehnensatz

Genauer besagt er:

Geschichte Bearbeiten

Euklid formulierte und bewies den Sehnensatz in seinen Elementen (Buch III, § 35).

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen, die sich in einem Punkt schneiden. Die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne seien mit und , die mit der anderen Sehne mit und bezeichnet. Dann gilt:

Die Aussage kann auch als Verhältnisgleichung formuliert werden:

Umkehrung Bearbeiten

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes: Wenn für die Diagonalen eines Vierecks mit dem Diagonalenschnittpunkt gilt:

dann besitzt dieses Viereck einen Umkreis, das heißt, es ist ein Sehnenviereck.

Zusammenhang mit dem Höhensatz Bearbeiten

Sehnensatz als Höhensatz
|CD||DE|=|AD||DB| <=> h2=pq

Der Sehnensatz lässt sich auch als eine Verallgemeinerung des Höhensatzes von Euklid auffassen. Wählt man die beiden Sehnen nämlich so, dass eine von ihnen dem Durchmesser entspricht und die andere auf ihr senkrecht steht, so bilden deren Endpunkte mit den Endpunkten des Durchmessers nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und die Aussage des Sehnensatzes entspricht in dieser Konfiguration der des Höhensatzes von Euklid.

Herleitung Bearbeiten

Der Satz ergibt sich unmittelbar aus in der Konfiguration auftretenden ähnlichen Dreiecken. Für die Dreiecke ASD and BSC gilt nämlich:

Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich und es folgt somit:

Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-67643-0 (Springer-Lehrbuch), S. 148
  • Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 149 (Uni-Taschenbücher 669).
  • Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 415–417

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Beweis des Sehnensatzes – Lern- und Lehrmaterialien
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Der Sehnensatz ist ein Satz aus der Elementargeometrie und beschreibt eine Beziehung zwischen den Strecken die von zwei sich schneidenden Kreissehnen gebildet werden SehnensatzGenauer besagt er Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen in einem Punkt S displaystyle S so ist das Produkt der dadurch gebildeten Abschnitte auf der einen Sehne gleich dem Produkt der Abschnitte auf der anderen Sehne Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Formulierung des Satzes 3 Umkehrung 4 Zusammenhang mit dem Hohensatz 5 Herleitung 6 Siehe auch 7 Literatur 8 WeblinksGeschichte BearbeitenEuklid formulierte und bewies den Sehnensatz in seinen Elementen Buch III 35 Formulierung des Satzes BearbeitenGegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt S displaystyle S nbsp schneiden Die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne seien mit A displaystyle A nbsp und C displaystyle C nbsp die mit der anderen Sehne mit B displaystyle B nbsp und D displaystyle D nbsp bezeichnet Dann gilt A S C S B S D S displaystyle overline AS cdot overline CS overline BS cdot overline DS nbsp Die Aussage kann auch als Verhaltnisgleichung formuliert werden A S D S B S C S displaystyle overline AS overline DS overline BS overline CS nbsp Umkehrung BearbeitenEs gilt auch die Umkehrung des Satzes Wenn fur die Diagonalen eines Vierecks A B C D displaystyle ABCD nbsp mit dem Diagonalenschnittpunkt S displaystyle S nbsp gilt A S C S B S D S displaystyle overline AS cdot overline CS overline BS cdot overline DS nbsp dann besitzt dieses Viereck einen Umkreis das heisst es ist ein Sehnenviereck Zusammenhang mit dem Hohensatz Bearbeiten nbsp Sehnensatz als Hohensatz CD DE AD DB lt gt h2 pqDer Sehnensatz lasst sich auch als eine Verallgemeinerung des Hohensatzes von Euklid auffassen Wahlt man die beiden Sehnen namlich so dass eine von ihnen dem Durchmesser entspricht und die andere auf ihr senkrecht steht so bilden deren Endpunkte mit den Endpunkten des Durchmessers nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und die Aussage des Sehnensatzes entspricht in dieser Konfiguration der des Hohensatzes von Euklid Herleitung Bearbeiten nbsp A S D B S C displaystyle triangle ASD sim triangle BSC nbsp Der Satz ergibt sich unmittelbar aus in der Konfiguration auftretenden ahnlichen Dreiecken Fur die Dreiecke ASD and BSC gilt namlich A D S S C B Umfangswinkel ueber AB S A D C B S Umfangswinkel ueber CD D S A B S C Scheitelwinkel displaystyle begin aligned angle ADS amp angle SCB text Umfangswinkel ueber AB angle SAD amp angle CBS text Umfangswinkel ueber CD angle DSA amp angle BSC text Scheitelwinkel end aligned nbsp Damit sind die beiden Dreiecke ahnlich und es folgt somit A S S D B S S C A S S C B S S D displaystyle frac AS SD frac BS SC Leftrightarrow AS cdot SC BS cdot SD nbsp Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz Geometrie enthalten Siehe auch BearbeitenSekantensatz Sekanten Tangenten Satz Potenz Geometrie vereinigt die Aussage von Sehnen Sekanten und Sekanten Tangentensatz in einem einheitlichen KonzeptLiteratur BearbeitenMax Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie 2 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2000 ISBN 3 540 67643 0 Springer Lehrbuch S 148 Hans Schupp Elementargeometrie Schoningh Paderborn 1977 ISBN 3 506 99189 2 S 149 Uni Taschenbucher 669 Schulerduden Mathematik I Bibliographisches Institut amp F A Brockhaus 8 Auflage Mannheim 2008 ISBN 978 3 411 04208 1 S 415 417Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beweis des Sehnensatzes Lern und Lehrmaterialien Intersecting Chords Theorem auf cut the knot org Intersecting Chords Theorem auf proofwiki org Eric W Weisstein Chord In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sehnensatz amp oldid 232635651