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Umkreis In der ebenen Geometrie ist ein ein Kreis der durch alle Eckpunkte eines Polygons Vielecks geht Unregelmäßiges A

Umkreis

In der ebenen Geometrie ist ein Umkreis ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Polygons (Vielecks) geht.

Unregelmäßiges Achteck mit Umkreis

Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis. Allgemein besitzt ein konvexes Polygon genau dann einen Umkreis, wenn die Mittelsenkrechten aller Seiten einander in einem Punkt schneiden. In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt der Mittelpunkt des Umkreises.

Umkreis eines Dreiecks Bearbeiten

Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis

Eine besonders große Bedeutung hat der Umkreis in der Dreiecksgeometrie. Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, wie im Folgenden begründet wird.

Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu sind von und gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu übereinstimmende Entfernungen von und . Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (, und ) gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.

Der Umkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die Kimberling-Nummer .

Sonderfälle Bearbeiten

Für spitzwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe Satz des Thales). Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Radius Bearbeiten

Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem Sinussatz

oder aus der Dreiecksfläche berechnen:

Dabei stehen die Bezeichnungen , , für die Seitenlängen und , , für die Größen der respektive den Seiten mit den Längen gegenüberliegenden Innenwinkel. bezeichnet den Flächeninhalt des Dreiecks, der sich z. B. mit Hilfe der heronischen Formel berechnen lässt.

Koordinaten Bearbeiten

Die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden. Die Koordinaten der drei Eckpunkte seien , und .

Mit

ergeben sich die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts zu

und

Umkreismittelpunkt eines Dreiecks
Trilineare Koordinaten

Baryzentrische Koordinaten

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Verallgemeinerung: Mittellotensatz Bearbeiten

Die Aussage, dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden, wird in der synthetischen Geometrie als Mittellotensatz bezeichnet. Dort kann für allgemeinere affine Ebenen, in denen kein Abstandsbegriff und damit keine „Kreise“ definiert sind, gezeigt werden, dass dieser Satz äquivalent zum Höhenschnittpunktsatz ist. → Siehe dazu Höhenschnittpunkt und präeuklidische Ebene.

Umkreise von Dreiecken aus einem orthozentrischen Quadrupel Bearbeiten

Beweisfigur

Gegeben sei ein Dreieck und sein Höhenschnittpunkt . Dann haben die von drei der vier Punkte , , und gebildeten Dreiecke kongruente Umkreise.

Die vier Punkte , , und werden auch als orthozentrisches Quadrupel bezeichnet.

Beweis:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird die Kongruenz der Umkreise für die beiden Dreiecke und gezeigt. Im Dreieck ergänzen sich der rot markierte Winkel und der Winkel zu 90°. Ebenso ergänzen sich im Dreieck der rot markierte Winkel und der Winkel zu 90°. Hieraus folgt, dass die beiden rot markierten Winkel gleich groß sind.

Der Punkt ist der zweite Schnittpunkt des Umkreises des Dreiecks mit der verlängerten Dreieckshöhe durch . Der rot markierte Winkel und der grün markierte Winkel sind als Umfangswinkel am Kreisbogen über gleich groß. Damit sind auch der rot markierte Winkel und der grün markierte Winkel gleich groß. Folglich sind nach dem Kongruenzsatz WSW dann auch die rechtwinkligen Dreiecke und kongruent. Somit sind nach dem Kongruenzsatz SWS auch die Dreiecke und kongruent, also sind auch ihre Umkreise kongruent.

Da demnach der Umkreis des Dreiecks auch der des Dreiecks ist und die Umkreise der Dreiecke und kongruent sind, haben auch die Dreiecke und kongruente Umkreise. Damit ist die Aussage bewiesen.

Umkreise anderer Vielecke Bearbeiten

Während beim Dreieck stets ein Umkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in besonderen Fällen zu.

Vierecke, die einen Umkreis haben, werden Sehnenvierecke genannt. Spezialfälle sind gleichschenklige Trapeze, also auch Rechtecke und Quadrate.

Unabhängig von der Eckenzahl hat jedes regelmäßige Polygon einen Umkreis. Für den Umkreisradius eines regelmäßigen -Ecks mit der Seitenlänge gilt:

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Der Inkreis eines Vielecks ist ein Kreis, der alle Seiten dieses Vielecks berührt. Der Inkreis eines Dreiecks stellt einen besonders wichtigen Spezialfall dar. Er gehört mit dem Umkreis und den drei Ankreisen zu den besonderen Kreisen der Dreiecksgeometrie.

Überträgt man die Definition des Umkreises auf den (dreidimensionalen) Raum, so erhält man den Begriff der Umkugel, also einer Kugel, auf der alle Eckpunkte eines gegebenen Polyeders (Vielflächners) liegen.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Umkreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Günter Aumann: Kreisgeometrie. Eine elementare Einführung. Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45305-6, Seiten 29 und 30
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In der ebenen Geometrie ist ein Umkreis ein Kreis der durch alle Eckpunkte eines Polygons Vielecks geht Unregelmassiges Achteck mit UmkreisNicht fur jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis Allgemein besitzt ein konvexes Polygon genau dann einen Umkreis wenn die Mittelsenkrechten aller Seiten einander in einem Punkt schneiden In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt der Mittelpunkt des Umkreises Inhaltsverzeichnis 1 Umkreis eines Dreiecks 1 1 Sonderfalle 1 2 Radius 1 3 Koordinaten 1 4 Weitere Eigenschaften 1 5 Verallgemeinerung Mittellotensatz 1 6 Umkreise von Dreiecken aus einem orthozentrischen Quadrupel 2 Umkreise anderer Vielecke 3 Verwandte Begriffe 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseUmkreis eines Dreiecks Bearbeiten nbsp Dreieck mit Mittelsenkrechten und UmkreisEine besonders grosse Bedeutung hat der Umkreis in der Dreiecksgeometrie Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis wie im Folgenden begrundet wird Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu A B displaystyle AB nbsp sind von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp gleich weit entfernt Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu B C displaystyle BC nbsp ubereinstimmende Entfernungen von B displaystyle B nbsp und C displaystyle C nbsp Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp und C displaystyle C nbsp gleich weit entfernt Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis der durch eine Ecke des Dreiecks geht so mussen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen Der Umkreismittelpunkt also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zahlt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks Er tragt die Kimberling Nummer X 3 displaystyle X 3 nbsp Sonderfalle Bearbeiten Fur spitzwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt siehe Satz des Thales Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks mit einem Winkel uber 90 befindet sich der Umkreismittelpunkt ausserhalb des Dreiecks Radius Bearbeiten Der Umkreisradius eines Dreiecks lasst sich mit dem Sinussatz R a 2 sin a b 2 sin b c 2 sin g displaystyle R frac a 2 sin alpha frac b 2 sin beta frac c 2 sin gamma nbsp oder aus der Dreiecksflache berechnen R a b c 4 A displaystyle R frac abc 4A nbsp Dabei stehen die Bezeichnungen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp fur die Seitenlangen und a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp g displaystyle gamma nbsp fur die Grossen der respektive den Seiten mit den Langen a b c displaystyle a b c nbsp gegenuberliegenden Innenwinkel A displaystyle A nbsp bezeichnet den Flacheninhalt des Dreiecks der sich z B mit Hilfe der heronischen Formel berechnen lasst Koordinaten Bearbeiten Die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts x u y u displaystyle x u y u nbsp konnen aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden Die Koordinaten der drei Eckpunkte seien x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 nbsp x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 nbsp und x 3 y 3 displaystyle x 3 y 3 nbsp Mit d 2 x 1 y 2 y 3 x 2 y 3 y 1 x 3 y 1 y 2 displaystyle d 2 x 1 y 2 y 3 x 2 y 3 y 1 x 3 y 1 y 2 nbsp ergeben sich die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts zu x u x 1 2 y 1 2 y 2 y 3 x 2 2 y 2 2 y 3 y 1 x 3 2 y 3 2 y 1 y 2 d displaystyle x u frac x 1 2 y 1 2 y 2 y 3 x 2 2 y 2 2 y 3 y 1 x 3 2 y 3 2 y 1 y 2 d nbsp und y u x 1 2 y 1 2 x 3 x 2 x 2 2 y 2 2 x 1 x 3 x 3 2 y 3 2 x 2 x 1 d displaystyle y u frac x 1 2 y 1 2 x 3 x 2 x 2 2 y 2 2 x 1 x 3 x 3 2 y 3 2 x 2 x 1 d nbsp Umkreismittelpunkt eines Dreiecks X 3 displaystyle left X 3 right nbsp Trilineare Koordinaten cos a cos b cos g displaystyle cos alpha cos beta cos gamma nbsp a b 2 c 2 a 2 b c 2 a 2 b 2 c a 2 b 2 c 2 displaystyle a b 2 c 2 a 2 b c 2 a 2 b 2 c a 2 b 2 c 2 nbsp Baryzentrische Koordinaten sin 2 a sin 2 b sin 2 g displaystyle sin 2 alpha sin 2 beta sin 2 gamma nbsp Weitere Eigenschaften Bearbeiten Der Umkreismittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt und der Hohenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden Nach dem Sudpolsatz schneidet sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite mit der Winkelhalbierenden des gegenuberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis Die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt betragt R R 2 r displaystyle sqrt R R 2r nbsp wobei R displaystyle R nbsp den Umkreisradius und r displaystyle r nbsp den Inkreisradius bezeichnet Satz von Euler Die Summe der vorzeichenbehafteten Abstande des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten ist gleich der Summe aus Umkreis und Inkreisradius siehe Satz von Carnot Der Satz vom Dreizack stellt einen Zusammenhang zwischen Umkreis und Inkreis her Verallgemeinerung Mittellotensatz Bearbeiten Die Aussage dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden wird in der synthetischen Geometrie als Mittellotensatz bezeichnet Dort kann fur allgemeinere affine Ebenen in denen kein Abstandsbegriff und damit keine Kreise definiert sind gezeigt werden dass dieser Satz aquivalent zum Hohenschnittpunktsatz ist Siehe dazu Hohenschnittpunkt und praeuklidische Ebene Umkreise von Dreiecken aus einem orthozentrischen Quadrupel Bearbeiten nbsp BeweisfigurGegeben sei ein Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp und sein Hohenschnittpunkt H displaystyle H nbsp Dann haben die von drei der vier Punkte A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp C displaystyle C nbsp und H displaystyle H nbsp gebildeten Dreiecke kongruente Umkreise Die vier Punkte A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp C displaystyle C nbsp und H displaystyle H nbsp werden auch als orthozentrisches Quadrupel bezeichnet Beweis Ohne Beschrankung der Allgemeinheit wird die Kongruenz der Umkreise fur die beiden Dreiecke A B C displaystyle ABC nbsp und A B H displaystyle ABH nbsp gezeigt Im Dreieck A B E displaystyle ABE nbsp erganzen sich der rot markierte Winkel H B F displaystyle angle HBF nbsp und der Winkel F A E displaystyle angle FAE nbsp zu 90 Ebenso erganzen sich im Dreieck C A F displaystyle CAF nbsp der rot markierte Winkel E C H displaystyle angle ECH nbsp und der Winkel F A E displaystyle angle FAE nbsp zu 90 Hieraus folgt dass die beiden rot markierten Winkel gleich gross sind Der Punkt P displaystyle P nbsp ist der zweite Schnittpunkt des Umkreises des Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp mit der verlangerten Dreieckshohe durch C displaystyle C nbsp Der rot markierte Winkel E C H displaystyle angle ECH nbsp und der grun markierte Winkel F B P displaystyle angle FBP nbsp sind als Umfangswinkel am Kreisbogen uber A P displaystyle AP nbsp gleich gross Damit sind auch der rot markierte Winkel H B F displaystyle angle HBF nbsp und der grun markierte Winkel F B P displaystyle angle FBP nbsp gleich gross Folglich sind nach dem Kongruenzsatz WSW dann auch die rechtwinkligen Dreiecke B H F displaystyle BHF nbsp und P B F displaystyle PBF nbsp kongruent Somit sind nach dem Kongruenzsatz SWS auch die Dreiecke A B H displaystyle ABH nbsp und B A P displaystyle BAP nbsp kongruent also sind auch ihre Umkreise kongruent Da demnach der Umkreis des Dreiecks B A P displaystyle BAP nbsp auch der des Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp ist und die Umkreise der Dreiecke A B H displaystyle ABH nbsp und B A P displaystyle BAP nbsp kongruent sind haben auch die Dreiecke A B C displaystyle ABC nbsp und A B H displaystyle ABH nbsp kongruente Umkreise Damit ist die Aussage bewiesen 1 Umkreise anderer Vielecke BearbeitenWahrend beim Dreieck stets ein Umkreis existiert trifft dies bei Vielecken Polygonen mit mehr als drei Ecken nur in besonderen Fallen zu Vierecke die einen Umkreis haben werden Sehnenvierecke genannt Spezialfalle sind gleichschenklige Trapeze also auch Rechtecke und Quadrate Unabhangig von der Eckenzahl hat jedes regelmassige Polygon einen Umkreis Fur den Umkreisradius eines regelmassigen n displaystyle n nbsp Ecks mit der Seitenlange a displaystyle a nbsp gilt R a 2 sin 180 n displaystyle R frac a 2 sin frac 180 circ n nbsp Verwandte Begriffe BearbeitenDer Inkreis eines Vielecks ist ein Kreis der alle Seiten dieses Vielecks beruhrt Der Inkreis eines Dreiecks stellt einen besonders wichtigen Spezialfall dar Er gehort mit dem Umkreis und den drei Ankreisen zu den besonderen Kreisen der Dreiecksgeometrie Ubertragt man die Definition des Umkreises auf den dreidimensionalen Raum so erhalt man den Begriff der Umkugel also einer Kugel auf der alle Eckpunkte eines gegebenen Polyeders Vielflachners liegen Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Umkreis Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Walter Fendt de Umkreis Konstruktion wird Schritt fur Schritt vorgefuhrt 1 2 Vorlage Toter Link www zum de Flash Animation zur Umkreis Konstruktion beim Dreieck Seite nicht mehr abrufbar Suche in Webarchiven dwu Unterrichtsmaterialien Einzelnachweise Bearbeiten Gunter Aumann Kreisgeometrie Eine elementare Einfuhrung Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2015 ISBN 978 3 662 45305 6 Seiten 29 und 30 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Umkreis amp oldid 234376842