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Ankreis Die drei e gehören mit dem Umkreis und dem Inkreis zu den besonderen Kreisen eines Dreiecks die schon in der Ant

Ankreis

Die drei Ankreise gehören mit dem Umkreis und dem Inkreis zu den besonderen Kreisen eines Dreiecks, die schon in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht wurden.

Dreieck mit Ankreisen (rot)

Die Ankreise sind definiert als Kreise, die jeweils von einer Dreiecksseite von außen und von den Verlängerungen der beiden anderen Seiten tangential berührt werden. Jedes beliebige Dreieck besitzt drei Ankreise. Die Ankreismittelpunkte liegen jeweils auf der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und auf den Winkelhalbierenden der beiden Außenwinkel, die nicht zu dem Innenwinkel gehören.

Radien Bearbeiten

Der Radius desjenigen Ankreises, der die Seite () im Inneren berührt, ergibt sich aus

dabei steht für den Flächeninhalt und für den halben Umfang des Dreiecks: .

Analog berechnen sich die Radien und der beiden anderen Ankreise.

Drückt man den Flächeninhalt nach dem Satz des Heron durch die Seitenlängen aus, so erhält man

Für die anderen beiden Ankreise gilt entsprechend

Berührpunktabstände Bearbeiten

Dreieck, Berührpunktabstände der Ankreise, gleichfarbige Abstände haben gleiche Längen

Bezeichnung

  • ist der Abstand von zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite und mit der Verlängerung der Seite
  • ist der Abstand von zu den Berührpunkten des Ankreises mit der Seite und mit der Verlängerung der Seite

Der Index steht dafür, dass derjenige Ankreis betrachtet wird, der die Seite im Dreieck und nicht in der Verlängerung berührt. Analog wird die Bezeichnung für die anderen zwei Ankreise gewählt.

Es gilt:

Dabei ist der halbe Umfang des Dreiecks.

Nachweis: Die tangentiale Distanz von zum Ankreis mit Mittelpunkt liefert die Gleichheit der grünen Abschnitte bei und entsprechend die blauen bei . Die tangentiale Distanz von zu demselben Kreis liefert dann die Gleichung . Mit folgt schließlich . Analog ergeben sich die anderen Gleichungen.

Mittelpunkte Bearbeiten

Die Mittelpunkte der Ankreise an ihrer jeweiligen Seite haben folgende baryzentrische Koordinaten, wobei den Mittelpunkt des Ankreises der Seite a repräsentiert:

Konstruktion der Ankreismittelpunkte Bearbeiten

Dreieck, Konstruktion der Ankreismittelpunkte

Aus der Einleitung und dem obigen Bild Dreieck mit Ankreisen (rot) kann man folgendes schließen. Die drei Ankreismittelpunkte können auch allein mittels Halbierungen von drei Außenwinkeln gefunden werden, die als Winkelschenkel jeweils eine Seite sowie eine Verlängerung einer benachbarten Seite aufweisen.

Es beginnt mit den Verlängerungen der Seiten des Dreiecks über dessen Eckpunkte hinaus. Danach folgt z. B. die Winkelhalbierende des Außenwinkels am Scheitel mit den Winkelschenkeln Seite und Verlängerung der Seite ab Die Winkelhalbierende des Außenwinkels am Scheitel mit den Winkelschenkeln Seite und Verlängerung der Seite ab schließt sich an und liefert dabei, als Schnittpunkt mit , den ersten Ankreismittelpunkt Sind alle drei Ankreismittelpunkte gesucht, ist abschließend noch die Winkelhalbierende des Außenwinkels am Scheitel mit den Winkelschenkeln Seite und Verlängerung der Seite ab erforderlich. Damit ergeben sich, als Schnittpunkte mit den bereits vorhandenen Winkelhalbierenden und auch noch die beiden Ankreismittelpunkte und

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Dreieck Inkreismittelpunkt
  • Die Ankreismittelpunkte und des Dreiecks bilden ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ist.
  • Verbindet man die Ecken eines Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten der Ankreise, so schneiden sich die Verbindungsgeraden in einem Punkt, dem Nagel-Punkt.

Literatur Bearbeiten

  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Ankreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolf P. Barth: Geometrie. 1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.15 (Ankreisradius). In: Universität Magdeburg. Mathematisches Institut der Universität Erlangen, 10. August 2004, S. 46, abgerufen am 1. September 2019.
  2. Wolf P. Barth: Geometrie. 1.5 Kreise am Dreieck, Satz 1.14 (Hilfssatz). In: Universität Magdeburg. Mathematisches Institut der Universität Erlangen, 10. August 2004, S. 45, abgerufen am 31. August 2019.
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Veröffentlichungsdatum:
Die drei Ankreise gehoren mit dem Umkreis und dem Inkreis zu den besonderen Kreisen eines Dreiecks die schon in der Antike von griechischen Mathematikern untersucht wurden Dreieck mit Ankreisen rot Die Ankreise sind definiert als Kreise die jeweils von einer Dreiecksseite von aussen und von den Verlangerungen der beiden anderen Seiten tangential beruhrt werden Jedes beliebige Dreieck besitzt drei Ankreise Die Ankreismittelpunkte liegen jeweils auf der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und auf den Winkelhalbierenden der beiden Aussenwinkel die nicht zu dem Innenwinkel gehoren Inhaltsverzeichnis 1 Radien 2 Beruhrpunktabstande 3 Mittelpunkte 4 Konstruktion der Ankreismittelpunkte 5 Weitere Eigenschaften 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseRadien BearbeitenDer Radius desjenigen Ankreises der die Seite a displaystyle a nbsp B C displaystyle BC nbsp im Inneren beruhrt ergibt sich aus r a A s a displaystyle rho a frac A s a nbsp 1 dabei steht A displaystyle A nbsp fur den Flacheninhalt und s displaystyle s nbsp fur den halben Umfang des Dreiecks s 1 2 a b c displaystyle s tfrac 1 2 a b c nbsp Analog berechnen sich die Radien r b displaystyle rho b nbsp und r c displaystyle rho c nbsp der beiden anderen Ankreise Druckt man den Flacheninhalt nach dem Satz des Heron durch die Seitenlangen aus so erhalt man r a s s b s c s a displaystyle rho a sqrt frac s s b s c s a nbsp Fur die anderen beiden Ankreise gilt entsprechend r b s s a s c s b displaystyle rho b sqrt frac s s a s c s b nbsp und r c s s a s b s c displaystyle rho c sqrt frac s s a s b s c nbsp Beruhrpunktabstande Bearbeiten nbsp Dreieck Beruhrpunktabstande der Ankreise gleichfarbige Abstande haben gleiche LangenBezeichnung c a displaystyle c a nbsp ist der Abstand von C displaystyle C nbsp zu den Beruhrpunkten des Ankreises mit der Seite a displaystyle a nbsp und mit der Verlangerung der Seite b displaystyle b nbsp b a displaystyle b a nbsp ist der Abstand von B displaystyle B nbsp zu den Beruhrpunkten des Ankreises mit der Seite a displaystyle a nbsp und mit der Verlangerung der Seite c displaystyle c nbsp 2 Der Index a displaystyle a nbsp steht dafur dass derjenige Ankreis betrachtet wird der die Seite a displaystyle a nbsp im Dreieck und nicht in der Verlangerung beruhrt Analog wird die Bezeichnung fur die anderen zwei Ankreise gewahlt Es gilt c a a c s b 1 2 a b c displaystyle c a a c s b tfrac 1 2 a b c nbsp c b b c s a 1 2 a b c displaystyle c b b c s a tfrac 1 2 a b c nbsp a b b a s c 1 2 a b c displaystyle a b b a s c tfrac 1 2 a b c nbsp Dabei ist s displaystyle s nbsp der halbe Umfang des Dreiecks Nachweis Die tangentiale Distanz von C displaystyle C nbsp zum Ankreis mit Mittelpunkt I a displaystyle I a nbsp liefert die Gleichheit der grunen Abschnitte bei C displaystyle C nbsp und entsprechend die blauen bei B displaystyle B nbsp Die tangentiale Distanz von A displaystyle A nbsp zu demselben Kreis liefert dann die Gleichung b c a c b a displaystyle b c a c b a nbsp Mit c a b a a displaystyle c a b a a nbsp folgt schliesslich 2 c a a b c 2 s b displaystyle 2c a a b c 2 s b nbsp Analog ergeben sich die anderen Gleichungen Mittelpunkte BearbeitenDie Mittelpunkte der Ankreise an ihrer jeweiligen Seite haben folgende baryzentrische Koordinaten wobei I a displaystyle displaystyle I a nbsp den Mittelpunkt des Ankreises der Seite a reprasentiert I a a b c displaystyle displaystyle I a a b c nbsp I b a b c displaystyle displaystyle I b a b c nbsp I c a b c displaystyle displaystyle I c a b c nbsp Konstruktion der Ankreismittelpunkte Bearbeiten nbsp Dreieck Konstruktion der AnkreismittelpunkteAus der Einleitung und dem obigen Bild Dreieck mit Ankreisen rot kann man folgendes schliessen Die drei Ankreismittelpunkte konnen auch allein mittels Halbierungen von drei Aussenwinkeln gefunden werden die als Winkelschenkel jeweils eine Seite sowie eine Verlangerung einer benachbarten Seite aufweisen Es beginnt mit den Verlangerungen der Seiten des Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp uber dessen Eckpunkte hinaus Danach folgt z B die Winkelhalbierende w 1 displaystyle w 1 nbsp des Aussenwinkels am Scheitel C displaystyle C nbsp mit den Winkelschenkeln Seite a displaystyle a nbsp und Verlangerung der Seite b displaystyle b nbsp ab C displaystyle C nbsp Die Winkelhalbierende w 2 displaystyle w 2 nbsp des Aussenwinkels am Scheitel B displaystyle B nbsp mit den Winkelschenkeln Seite a displaystyle a nbsp und Verlangerung der Seite c displaystyle c nbsp ab B displaystyle B nbsp schliesst sich an und liefert dabei als Schnittpunkt mit w 1 displaystyle w 1 nbsp den ersten Ankreismittelpunkt I a displaystyle I a nbsp Sind alle drei Ankreismittelpunkte gesucht ist abschliessend noch die Winkelhalbierende w 3 displaystyle w 3 nbsp des Aussenwinkels am Scheitel A displaystyle A nbsp mit den Winkelschenkeln Seite c displaystyle c nbsp und Verlangerung der Seite b displaystyle b nbsp ab A displaystyle A nbsp erforderlich Damit ergeben sich als Schnittpunkte mit den bereits vorhandenen Winkelhalbierenden w 1 displaystyle w 1 nbsp und w 2 displaystyle w 2 nbsp auch noch die beiden Ankreismittelpunkte I b displaystyle I b nbsp und I c displaystyle I c nbsp Weitere Eigenschaften Bearbeiten nbsp Dreieck I a I b I c displaystyle I a I b I c nbsp Inkreismittelpunkt Die Ankreismittelpunkte I a I b displaystyle I a I b nbsp und I c displaystyle I c nbsp des Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp bilden ein Dreieck dessen Hohenschnittpunkt H displaystyle H nbsp der Inkreismittelpunkt des Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp ist Verbindet man die Ecken eines Dreiecks mit den gegenuberliegenden Beruhrpunkten der Ankreise so schneiden sich die Verbindungsgeraden in einem Punkt dem Nagel Punkt Literatur BearbeitenH S M Coxeter S L Greitzer Zeitlose Geometrie Klett Stuttgart 1983 ISBN 3 12 983390 0 Max Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie 3 Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 49327 3Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Ankreis Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Eric W Weisstein Excircles In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Wolf P Barth Geometrie 1 5 Kreise am Dreieck Satz 1 15 Ankreisradius In Universitat Magdeburg Mathematisches Institut der Universitat Erlangen 10 August 2004 S 46 abgerufen am 1 September 2019 Wolf P Barth Geometrie 1 5 Kreise am Dreieck Satz 1 14 Hilfssatz In Universitat Magdeburg Mathematisches Institut der Universitat Erlangen 10 August 2004 S 45 abgerufen am 31 August 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ankreis amp oldid 237777359