Eine Verbindungsgerade ist in der Mathematik eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft. Verbindungsgeraden werden speziell in der euklidischen Geometrie und allgemeiner in Inzidenzgeometrien betrachtet. Die Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden zu zwei verschiedenen gegebenen Punkten wird in der Geometrie axiomatisch als Verbindungsaxiom gefordert.
Euklidische Geometrie Bearbeiten
Definition Bearbeiten
Sind und zwei verschiedene Punkte in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum, dann wird diejenige Gerade , die diese beiden Punkte enthält, „Verbindungsgerade der Punkte und “ genannt und mit
bezeichnet.
Berechnung Bearbeiten
Nach Wahl eines kartesischen Koordinatensystems können Punkte in der euklidischen Ebene durch Zahlenpaare und beschrieben werden. Die Verbindungsgerade zweier Punkte kann dann über eine Geradengleichung angegeben werden. Die Zweipunkteform der Geradengleichung lautet in diesem Fall
Eine Parameterform der Geradengleichung ist nach Wahl von als Aufpunkt und als Richtungsvektor
In baryzentrischen Koordinaten lautet die Geradengleichung der Verbindungsgeraden entsprechend
Die beiden vektoriellen Darstellungen gelten analog auch in drei- und höherdimensionalen Räumen.
Axiomatik Bearbeiten
In einem axiomatischen Zugang zur euklidischen Geometrie muss die Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden zu zwei gegebenen Punkten explizit gefordert werden. Euklid verlangt die Existenz der Verbindungsgeraden in zwei Schritten. Die ersten beiden Postulate in seinem Werk Die Elemente lauten sinngemäß wie folgt:
- Man kann von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen.
- Man kann eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern.
Damit existiert zu zwei verschiedenen Punkten stets eine Verbindungsgerade. Diese Postulate sind dabei konstruktiv zu sehen, das heißt, zu zwei gegebenen Punkten lässt sich die zugehörige Verbindungsgerade stets auch mit Zirkel und Lineal konstruieren.
In Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie werden die Existenz und die Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden als Axiome I1. und I2. innerhalb der Axiomengruppe I: Axiome der Verknüpfung aufgeführt. Hilbert formuliert die Axiome I1. und I2. wie folgt:
Inzidenzgeometrie Bearbeiten
Definition Bearbeiten
Ist allgemein ein Inzidenzraum und sind zwei verschiedene Punkte in diesem Raum, dann heißt eine Gerade Verbindungsgerade dieser beiden Punkte, wenn folgende zwei Bedingungen gelten:
Notation und Sprechweisen Bearbeiten
Werden von den beiden Punkten und der Geraden die Bedingungen (V1) und (V2) erfüllt, so schreibt man oft
oder
oder auch kurz
In dem hierzu üblichen Sprachgebrauch sagt man dann auch
- verbindet die Punkte und .
- gehört mit den Punkten und zusammen.
- Die Punkte und liegen auf .
- geht durch die Punkte und .
- Die Punkte und inzidieren mit .
- inzidiert mit den Punkten und .
oder Ähnliches.
Unter Benutzung dieses Sprachgebrauchs lassen sich die obigen Bedingungen (V1) und (V2) so in Worte fassen:
Verbindungsaxiom Bearbeiten
In den für die Geometrie besonders wichtigen Inzidenzräumen, also insbesondere in den euklidischen Räumen, in allen affinen Räumen und in allen projektiven Räumen gilt in Bezug auf Punkte und Verbindungsgeraden durchgängig die folgende grundlegende Bedingung (V):
Man nennt diese Bedingung das Verbindungsaxiom.
In anderer Formulierung lässt sich das Verbindungsaxiom auch wie folgt aussprechen:
Teilräume und Hüllensystem Bearbeiten
Den in der Hauptsache in der Geometrie behandelten Inzidenzräumen – wie etwa den affinen und den projektiven Räumen, aber auch vielen anderen linearen Räumen wie z. B. den Blockplänen – ist gemeinsam, dass die Inzidenzrelation von der Elementrelation herrührt und somit die Geraden Teilmengen der zugehörigen Punktmenge sind.
Es ist also dann die Geradenmenge eine Teilmenge der Potenzmenge von , folglich die Beziehung gegeben. In diesem Falle beschreibt man den Inzidenzraum kurz in der Form anstatt in der Form .
Unter diesen Gegebenheiten nennt man eine Teilmenge einen Teilraum von , wenn mit je zwei verschiedenen Punkten stets ihre Verbindungsgerade in enthalten ist, also hierfür stets gilt.
Die Menge der Teilräume von bildet ein Hüllensystem.
Zugehöriger Hüllenoperator Bearbeiten
Zum Hüllensystem lässt sich in der üblichen Weise der zugehörige Hüllenoperator bilden. Diesen schreibt man oft als . Für gilt also
Das bedeutet:
Im Falle, dass dabei eine endliche Menge von Punkten ist, etwa , schreibt man auch
oder auch
Für und hat man , also wiederum die Verbindungsgerade von und .
Beispiel der Koordinatenebene Bearbeiten
Die Koordinatenebene über einem kommutativen Körper gibt ein Standardbeispiel für einen Inzidenzraum , in dem das Verbindungsaxiom gilt. Hier ist die Punktmenge
und die Geradenmenge
Die Geradenmenge erhält man also dadurch, dass man alle möglichen Nebenklassen zu allen in gelegenen Unterräumen der Dimension 1 bildet. Hat man hier zwei unterschiedliche Punkte , so lässt sich die Verbindungsgerade in folgender Weise darstellen:
Das Standardbeispiel für dieses Konzept bieten die Geraden, die zwei Punkte der euklidischen Ebene verbinden.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Gerhard Hessenberg, Justus Diller: Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1967, S. 20, 220.
- David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher: Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8, S. 3 ff. (MR1109913).
- Helmut Karzel, Kay Sörensen, Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie (= Uni-Taschenbücher. Band 184). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7, S. 11 ff.
- Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 7, 48 ff., 52, 212.
- Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik (= Dokumente zur Geschichte der Mathematik). 3. Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0 (MR1086172).
- Eberhard M. Schröder: Vorlesungen über Geometrie. 2. Affine und projektive Geometrie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-15301-6, S. 2 ff. (MR1166803).
- Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller (Bearb.): Vieweg-Mathematik-Lexikon. Begriffe, Definitionen, Sätze, Beispiele für das Grundstudium. Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 311.
Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten
- Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. 3. Auflage, 1990, S. 20.
- David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 11. Auflage, 1972, S. 3 ff.
- Dabei wird die Elementrelation als selbstverständlich gegeben betrachtet und nicht weiter erwähnt.
- Koecher, Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 48 ff.