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Koordinatenebene Als bezeichnet man in der analytischen Geometrie eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungse

Koordinatenebene

Als Koordinatenebene bezeichnet man in der analytischen Geometrie eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene. In zwei Dimensionen entspricht die Koordinatenebene der euklidischen Ebene und damit der Grundfläche eines kartesischen Koordinatensystems. Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen: die xy-Ebene, die xz-Ebene und die yz-Ebene.

Die Koordinatenebene im zweidimensionalen Raum

Analytische Geometrie Bearbeiten

Bezeichnungen Bearbeiten

Die drei Koordinatenebenen im dreidimensionalen Raum

Im Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums mit , und bezeichnet. Die drei Koordinatenebenen werden häufig mit den Buchstaben gekennzeichnet, der mit zwei Indizes versehen wird, die die beiden Einheitsvektoren angeben, von denen die Ebene aufgespannt wird:

  • die -Ebene wird von den Vektoren und aufgespannt
  • die -Ebene wird von den Vektoren und aufgespannt
  • die -Ebene wird von den Vektoren und aufgespannt

Hierbei sind die drei Einheitsvektoren , und . Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht Oktanten zerlegt. Der Schnitt zweier Koordinatenebenen ergibt eine Koordinatenachse, der Schnitt aller drei Koordinatenebenen den Koordinatenursprung.

Ebenengleichungen Bearbeiten

Die drei Koordinatenebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen charakterisiert:

Koordinatenebene Koordinatenform Normalenform Parameterform Achsenabschnittsform
nicht definiert
nicht definiert
nicht definiert

Hierbei sind ein Punkt der jeweiligen Ebene, das Skalarprodukt der Vektoren und sowie und reelle Zahlen.

Darstellende Geometrie Bearbeiten

In der darstellenden Geometrie entsprechen die drei Koordinatenebenen häufig der Grundrissebene, der Aufrissebene und der Kreuzrissebene.

Synthetische Geometrie Bearbeiten

In der synthetischen Geometrie wird eine affine oder projektive Ebene, der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur (ein Ternärkörper, Quasikörper, Alternativkörper, Schiefkörper etc.) zugeordnet werden kann, als Koordinatenebene über diesem verallgemeinerten Körper bezeichnet.

Literatur Bearbeiten

  • Wolf-Dieter Klix, Karla Nestler: Konstruktive Geometrie. Hanser, 2001, ISBN 3-446-21566-2.
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 3-540-49328-X.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Coordinate planes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Als Koordinatenebene bezeichnet man in der analytischen Geometrie eine von zwei Einheitsvektoren aufgespannte Ursprungsebene In zwei Dimensionen entspricht die Koordinatenebene der euklidischen Ebene und damit der Grundflache eines kartesischen Koordinatensystems Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Koordinatenebenen die xy Ebene die xz Ebene und die yz Ebene Die Koordinatenebene im zweidimensionalen Raum Inhaltsverzeichnis 1 Analytische Geometrie 1 1 Bezeichnungen 1 2 Ebenengleichungen 2 Darstellende Geometrie 3 Synthetische Geometrie 4 Literatur 5 WeblinksAnalytische Geometrie BearbeitenBezeichnungen Bearbeiten nbsp Die drei Koordinatenebenen im dreidimensionalen RaumIm Folgenden seien die drei Koordinatenachsen des dreidimensionalen Raums R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp mit x 1 displaystyle x 1 nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp und x 3 displaystyle x 3 nbsp bezeichnet Die drei Koordinatenebenen werden haufig mit den Buchstaben E displaystyle E nbsp gekennzeichnet der mit zwei Indizes versehen wird die die beiden Einheitsvektoren angeben von denen die Ebene aufgespannt wird die x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 nbsp Ebene E 12 displaystyle E 12 nbsp wird von den Vektoren e 1 displaystyle vec e 1 nbsp und e 2 displaystyle vec e 2 nbsp aufgespannt die x 1 x 3 displaystyle x 1 x 3 nbsp Ebene E 13 displaystyle E 13 nbsp wird von den Vektoren e 1 displaystyle vec e 1 nbsp und e 3 displaystyle vec e 3 nbsp aufgespannt die x 2 x 3 displaystyle x 2 x 3 nbsp Ebene E 23 displaystyle E 23 nbsp wird von den Vektoren e 2 displaystyle vec e 2 nbsp und e 3 displaystyle vec e 3 nbsp aufgespanntHierbei sind die drei Einheitsvektoren e 1 1 0 0 displaystyle vec e 1 1 0 0 nbsp e 2 0 1 0 displaystyle vec e 2 0 1 0 nbsp und e 3 0 0 1 displaystyle vec e 3 0 0 1 nbsp Durch die drei Koordinatenebenen wird der dreidimensionale Raum in acht Oktanten zerlegt Der Schnitt zweier Koordinatenebenen ergibt eine Koordinatenachse der Schnitt aller drei Koordinatenebenen den Koordinatenursprung Ebenengleichungen Bearbeiten Die drei Koordinatenebenen werden durch die folgenden Ebenengleichungen charakterisiert Koordinatenebene Koordinatenform Normalenform Parameterform AchsenabschnittsformE 12 displaystyle E 12 nbsp x 3 0 displaystyle x 3 0 nbsp e 3 x 0 displaystyle vec e 3 cdot vec x 0 nbsp x s e 1 t e 2 displaystyle vec x s vec e 1 t vec e 2 nbsp nicht definiertE 13 displaystyle E 13 nbsp x 2 0 displaystyle x 2 0 nbsp e 2 x 0 displaystyle vec e 2 cdot vec x 0 nbsp x s e 1 t e 3 displaystyle vec x s vec e 1 t vec e 3 nbsp nicht definiertE 23 displaystyle E 23 nbsp x 1 0 displaystyle x 1 0 nbsp e 1 x 0 displaystyle vec e 1 cdot vec x 0 nbsp x s e 2 t e 3 displaystyle vec x s vec e 2 t vec e 3 nbsp nicht definiertHierbei sind x x 1 x 2 x 3 R 3 displaystyle vec x x 1 x 2 x 3 in mathbb R 3 nbsp ein Punkt der jeweiligen Ebene x y displaystyle vec x cdot vec y nbsp das Skalarprodukt der Vektoren x displaystyle vec x nbsp und y displaystyle vec y nbsp sowie s displaystyle s nbsp und t displaystyle t nbsp reelle Zahlen Darstellende Geometrie BearbeitenIn der darstellenden Geometrie entsprechen die drei Koordinatenebenen haufig der Grundrissebene der Aufrissebene und der Kreuzrissebene Siehe auch NormalprojektionSynthetische Geometrie BearbeitenIn der synthetischen Geometrie wird eine affine oder projektive Ebene der als Koordinatenbereich eine Menge mit einer bestimmten algebraischen Struktur ein Ternarkorper Quasikorper Alternativkorper Schiefkorper etc zugeordnet werden kann als Koordinatenebene uber diesem verallgemeinerten Korper bezeichnet Siehe auch Projektives KoordinatensystemLiteratur BearbeitenWolf Dieter Klix Karla Nestler Konstruktive Geometrie Hanser 2001 ISBN 3 446 21566 2 Max Koecher Aloys Krieg Ebene Geometrie 3 Auflage Springer 2007 ISBN 3 540 49328 X Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Coordinate planes Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Koordinatenebene amp oldid 169313205