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Koordinatenform Die oder Koordinatengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Eben

Koordinatenform

Die Koordinatenform oder Koordinatengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Bei der Koordinatenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben. Die Unbekannten der Gleichung sind dabei die Koordinaten der Punkte der Gerade oder Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Koordinatenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene.

Koordinatenform einer Geradengleichung Bearbeiten

Koordinatenform einer Geradengleichung

Darstellung Bearbeiten

In der Koordinatenform wird eine Gerade in der Ebene durch drei reelle Zahlen , und über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten die Gleichung

erfüllen. Hierbei muss oder ungleich null sein. Bei den Zahlen und handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors der Geraden. Der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung wird durch angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, also ein Einheitsvektor, dann beträgt der Abstand gerade .

Beispiel Bearbeiten

Im Bild oben ist die Geradengleichung in Koordinatenform

Jede Wahl von , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise oder , entspricht genau einem Geradenpunkt.

Spezialfälle Bearbeiten

  • Falls ist, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse, und falls ist, parallel zur y-Achse.
  • Falls ist, handelt es sich bei der Geraden um eine Ursprungsgerade.
  • Falls ist, liegt die Geradengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann und .

Berechnung Bearbeiten

Aus der Normalenform Bearbeiten

Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stützvektor und Normalenvektor lassen sich die Parameter der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung direkt ablesen:

Liegt eine Gerade in hessescher Normalform vor, kann der Parameter auch von dort übernommen werden.

Aus der Parameterform Bearbeiten

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor und Richtungsvektor wird zunächst ein Normalenvektor der Geraden über bestimmt und daraus dann die Parameter der Geraden in Koordinatenform als

Aus der Zweipunkteform Bearbeiten

Aus der Zweipunkteform einer Gerade durch die beiden Punkte und erhält man durch Ausmultiplizieren die Parameter der Koordinatenform

Koordinatenform einer Ebenengleichung Bearbeiten

Koordinatenform einer Ebenengleichung

Darstellung Bearbeiten

Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Koordinatenform durch vier reelle Zahlen , , und beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten die Gleichung

erfüllen. Hierbei muss zumindest einer der Parameter , , ungleich null sein. Bei den Zahlen , und handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors der Ebene. Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung wird durch angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, dann beträgt der Abstand gerade .

Beispiel Bearbeiten

Ein Beispiel für eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist

Jede Wahl von , die diese Gleichung erfüllt, beispielsweise oder , entspricht genau einem Ebenenpunkt.

Spezialfälle Bearbeiten

  • Falls ist, verläuft die Ebene parallel zur x-Achse, falls ist, parallel zur y-Achse, und falls ist, parallel zur z-Achse.
  • Falls ist, handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene.
  • Falls ist, liegt die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform vor; die Achsenschnittpunkte sind dann , und .

Berechnung Bearbeiten

Aus der Normalenform Bearbeiten

Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stützvektor und Normalenvektor lassen sich die Parameter der Ebene in Koordinatenform ebenfalls durch Ausmultiplizieren ablesen:

Liegt eine Ebene in hessescher Normalform vor, kann der Parameter auch von dort übernommen werden.

Aus der Parameterform Bearbeiten

Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit Stützvektor und den beiden Richtungsvektoren und wird zunächst ein Normalenvektor der Ebene über das Kreuzprodukt bestimmt und daraus dann die Parameter der Ebene in Koordinatenform als

Analog lässt sich auf diese Weise auch aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor ermitteln und daraus dann die Koordinatenform.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Allgemein wird durch eine lineare Gleichung mit Unbekannten eine Hyperebene im -dimensionalen euklidischen Raum beschrieben. Eine Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten , deren Koordinaten die Gleichung

erfüllen. Hierbei muss zumindest einer der Parameter ungleich null sein.

Literatur Bearbeiten

  • Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Springer, 2011, ISBN 978-3-8274-2762-5.
  • Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-32186-3.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra: Grundlagen und Anwendungen. Springer, 2012, S. 41–42.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Koordinatenform oder Koordinatengleichung ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung Bei der Koordinatenform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder eine Ebene im euklidischen Raum in Form einer linearen Gleichung beschrieben Die Unbekannten der Gleichung sind dabei die Koordinaten der Punkte der Gerade oder Ebene in einem kartesischen Koordinatensystem Die Koordinatenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene Inhaltsverzeichnis 1 Koordinatenform einer Geradengleichung 1 1 Darstellung 1 2 Beispiel 1 3 Spezialfalle 1 4 Berechnung 1 4 1 Aus der Normalenform 1 4 2 Aus der Parameterform 1 4 3 Aus der Zweipunkteform 2 Koordinatenform einer Ebenengleichung 2 1 Darstellung 2 2 Beispiel 2 3 Spezialfalle 2 4 Berechnung 2 4 1 Aus der Normalenform 2 4 2 Aus der Parameterform 3 Verallgemeinerung 4 Literatur 5 Einzelnachweise 6 WeblinksKoordinatenform einer Geradengleichung Bearbeiten nbsp Koordinatenform einer GeradengleichungDarstellung Bearbeiten In der Koordinatenform wird eine Gerade in der Ebene durch drei reelle Zahlen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp uber eine lineare Gleichung beschrieben Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten deren Koordinaten x y displaystyle x y nbsp die Gleichung a x b y c displaystyle ax by c nbsp erfullen Hierbei muss a displaystyle a nbsp oder b displaystyle b nbsp ungleich null sein Bei den Zahlen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors n a b displaystyle vec n a b nbsp der Geraden Der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung wird durch c n displaystyle c vec n nbsp angegeben Ist der Normalenvektor normiert also ein Einheitsvektor dann betragt der Abstand gerade c displaystyle c nbsp Beispiel Bearbeiten Im Bild oben ist die Geradengleichung in Koordinatenform 1 x 2 y 6 displaystyle 1x 2y 6 nbsp Jede Wahl von x y displaystyle x y nbsp die diese Gleichung erfullt beispielsweise 0 3 displaystyle 0 3 nbsp oder 4 1 displaystyle 4 1 nbsp entspricht genau einem Geradenpunkt Spezialfalle Bearbeiten Falls a 0 displaystyle a 0 nbsp ist verlauft die Gerade parallel zur x Achse und falls b 0 displaystyle b 0 nbsp ist parallel zur y Achse Falls c 0 displaystyle c 0 nbsp ist handelt es sich bei der Geraden um eine Ursprungsgerade Falls c 1 displaystyle c 1 nbsp ist liegt die Geradengleichung in Achsenabschnittsform vor die Achsenschnittpunkte sind dann 1 a 0 displaystyle 1 a 0 nbsp und 0 1 b displaystyle 0 1 b nbsp Berechnung Bearbeiten Aus der Normalenform Bearbeiten Aus der Normalenform einer Geradengleichung mit Stutzvektor p displaystyle vec p nbsp und Normalenvektor n displaystyle vec n nbsp lassen sich die Parameter der Koordinatenform durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung direkt ablesen a n 1 b n 2 c p 1 n 1 p 2 n 2 displaystyle a n 1 b n 2 c p 1 n 1 p 2 n 2 nbsp Liegt eine Gerade in hessescher Normalform vor kann der Parameter c displaystyle c nbsp auch von dort ubernommen werden Aus der Parameterform Bearbeiten Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stutzvektor p displaystyle vec p nbsp und Richtungsvektor u displaystyle vec u nbsp wird zunachst ein Normalenvektor der Geraden uber n u 2 u 1 displaystyle vec n u 2 u 1 nbsp bestimmt und daraus dann die Parameter der Geraden in Koordinatenform als a u 2 b u 1 c p 1 a p 2 b displaystyle a u 2 b u 1 c p 1 a p 2 b nbsp Aus der Zweipunkteform Bearbeiten Aus der Zweipunkteform einer Gerade durch die beiden Punkte x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 nbsp und x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 nbsp erhalt man durch Ausmultiplizieren die Parameter der Koordinatenform a y 1 y 2 b x 2 x 1 c x 2 y 1 x 1 y 2 displaystyle a y 1 y 2 b x 2 x 1 c x 2 y 1 x 1 y 2 nbsp Koordinatenform einer Ebenengleichung Bearbeiten nbsp Koordinatenform einer EbenengleichungDarstellung Bearbeiten Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Koordinatenform durch vier reelle Zahlen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp und d displaystyle d nbsp beschrieben Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten deren Koordinaten x y z displaystyle x y z nbsp die Gleichung a x b y c z d displaystyle ax by cz d nbsp erfullen Hierbei muss zumindest einer der Parameter a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp ungleich null sein Bei den Zahlen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors n a b c displaystyle vec n a b c nbsp der Ebene Der Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung wird durch d n displaystyle d vec n nbsp angegeben Ist der Normalenvektor normiert dann betragt der Abstand gerade d displaystyle d nbsp Beispiel Bearbeiten Ein Beispiel fur eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist 2 x 3 y z 1 displaystyle 2x 3y z 1 nbsp Jede Wahl von x y z displaystyle x y z nbsp die diese Gleichung erfullt beispielsweise 1 0 1 displaystyle 1 0 1 nbsp oder 0 1 2 displaystyle 0 1 2 nbsp entspricht genau einem Ebenenpunkt Spezialfalle Bearbeiten Falls a 0 displaystyle a 0 nbsp ist verlauft die Ebene parallel zur x Achse falls b 0 displaystyle b 0 nbsp ist parallel zur y Achse und falls c 0 displaystyle c 0 nbsp ist parallel zur z Achse Falls d 0 displaystyle d 0 nbsp ist handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene Falls d 1 displaystyle d 1 nbsp ist liegt die Ebenengleichung in Achsenabschnittsform vor die Achsenschnittpunkte sind dann 1 a 0 0 displaystyle 1 a 0 0 nbsp 0 1 b 0 displaystyle 0 1 b 0 nbsp und 0 0 1 c displaystyle 0 0 1 c nbsp Berechnung Bearbeiten Aus der Normalenform Bearbeiten Aus der Normalenform einer Ebenengleichung mit Stutzvektor p displaystyle vec p nbsp und Normalenvektor n displaystyle vec n nbsp lassen sich die Parameter der Ebene in Koordinatenform ebenfalls durch Ausmultiplizieren ablesen a n 1 b n 2 c n 3 d p 1 n 1 p 2 n 2 p 3 n 3 displaystyle a n 1 b n 2 c n 3 d p 1 n 1 p 2 n 2 p 3 n 3 nbsp Liegt eine Ebene in hessescher Normalform vor kann der Parameter d displaystyle d nbsp auch von dort ubernommen werden Aus der Parameterform Bearbeiten Aus der Parameterform einer Ebenengleichung mit Stutzvektor p displaystyle vec p nbsp und den beiden Richtungsvektoren u displaystyle vec u nbsp und v displaystyle vec v nbsp wird zunachst ein Normalenvektor der Ebene uber das Kreuzprodukt n u v displaystyle vec n vec u times vec v nbsp bestimmt und daraus dann die Parameter der Ebene in Koordinatenform als a u 2 v 3 u 3 v 2 b u 3 v 1 u 1 v 3 c u 1 v 2 u 2 v 1 d p 1 a p 2 b p 3 c displaystyle a u 2 v 3 u 3 v 2 b u 3 v 1 u 1 v 3 c u 1 v 2 u 2 v 1 d p 1 a p 2 b p 3 c nbsp Analog lasst sich auf diese Weise auch aus der Dreipunkteform einer Ebenengleichung ein Normalenvektor ermitteln und daraus dann die Koordinatenform Verallgemeinerung BearbeitenAllgemein wird durch eine lineare Gleichung mit n displaystyle n nbsp Unbekannten x 1 x n displaystyle x 1 dotsc x n nbsp eine Hyperebene im n displaystyle n nbsp dimensionalen euklidischen Raum beschrieben Eine Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten x 1 x n displaystyle x 1 dotsc x n nbsp deren Koordinaten die Gleichung a 1 x 1 a n x n b displaystyle a 1 x 1 dotsb a n x n b nbsp erfullen Hierbei muss zumindest einer der Parameter a 1 a n displaystyle a 1 dotsc a n nbsp ungleich null sein 1 Literatur BearbeitenSteffen Goebbels Stefan Ritter Mathematik verstehen und anwenden Springer 2011 ISBN 978 3 8274 2762 5 Peter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer 2012 ISBN 978 3 642 32186 3 Einzelnachweise Bearbeiten Peter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer 2012 S 41 42 Weblinks BearbeitenEbene von Normalform in Koordinatenform umwandeln In Serlo Abgerufen am 23 Februar 2014 Ebene von Parameterform in Koordinatenform umwandeln In Serlo Abgerufen am 23 Februar 2014 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Koordinatenform amp oldid 222532790