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Affine Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der affinen Räume Nahe verwandt ist der Begriff

Affine Hülle

Affine Hülle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der affinen Räume. Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hülle. Man nennt die affine Hülle von auch Verbindungsraum, vor allem dann, wenn die Teilmenge selbst eine Vereinigung von zwei oder mehr affinen Teilräumen ist.

Definition und Eigenschaften Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei der zu einem -Vektorraum gehörende affine Raum und eine Teilmenge von . Dann ist die affine Hülle von der kleinste affine Teilraum von , der die Menge ganz enthält.

Konstruktion Bearbeiten

Mit den Bezeichnungen aus der Definition wird aus ein beliebiger Punkt gewählt. Er dient als Aufpunkt der affinen Hülle. Dann wird zur Menge der Verbindungsvektoren die lineare Hülle gebildet. ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus , also die lineare Hülle von in dem Vektorraum, der zum affinen Raum gehört. Dieser Teil der Konstruktion ist ausführlicher im Artikel Lineare Hülle beschrieben. Nun ist die affine Hülle von .

Die affine Hülle der leeren Menge ist die leere Menge.

Eigenschaften Bearbeiten

Die affine Hülle einer beliebigen Teilmenge eines affinen Raumes

  • ist eindeutig bestimmt (als konkrete Menge, nicht nur bis auf Isomorphie),
  • ist ein affiner Raum mit einer Dimension zwischen −1 (leere Menge) und der Dimension des Gesamtraums,
  • enthält die konvexe Hülle der Menge und ist auch deren affine Hülle, sofern ein reeller affiner Raum ist.

Die Abbildung, die jeder Teilmenge eines affinen Raumes ihre lineare Hülle zuordnet, ist ein Hüllenoperator.

In der Menge der affinen Teilräume eines affinen Raumes (einschließlich der leeren Menge und des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die affine Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen, hier wird, wenn sind, für diese affine Hülle geschrieben, sie wird dann auch als Verbindungsraum der Teilräume bezeichnet. Die dazu duale Verknüpfung ist dann die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet dann einen Verband.

  • Für die Dimensionen des Verbindungsraumes und des Schnittes von zwei affinen Teilräumen gibt es eine Dimensionsformel, siehe dazu Affiner Unterraum.

Beispiele Bearbeiten

  • Die affine Hülle von zwei beliebigen verschiedenen Punkten im Raum ist deren Verbindungsgerade.
  • Die affine Hülle von drei Punkten des Raumes ist eine Gerade, falls die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, sonst die Ebene, auf der alle drei Punkte liegen.
  • Die affine Hülle einer ebenen Figur im Raum (Dreieck, Kreis usw.) ist die Ebene, die die Figur enthält.
  • Die affine Hülle der Polynommenge ist die Kurvenschar . Dieses Beispiel macht deutlich, dass die affine Hülle in der Regel kein Vektorraum ist.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lineare Algebra (= Lehrbuch der Mathematik für Mathematiker, Informatiker und Physiker. Band II). 2., korrigierte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim 1990, ISBN 3-8274-0359-6 (Inhaltsverzeichnis [abgerufen am 25. Dezember 2011]).

Weblinks Bearbeiten

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Affine Hulle ist ein universeller Begriff aus der mathematischen Theorie der affinen Raume Nahe verwandt ist der Begriff der linearen Hulle Man nennt die affine Hulle von M displaystyle M auch Verbindungsraum vor allem dann wenn die Teilmenge M displaystyle M selbst eine Vereinigung von zwei oder mehr affinen Teilraumen M U V displaystyle M U cup V ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition und Eigenschaften 1 1 Definition 1 2 Konstruktion 1 3 Eigenschaften 2 Beispiele 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksDefinition und Eigenschaften BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei A displaystyle A nbsp der zu einem K displaystyle mathbb K nbsp Vektorraum gehorende affine Raum und M A displaystyle M subseteq A nbsp eine Teilmenge von A displaystyle A nbsp Dann ist die affine Hulle von M displaystyle M nbsp der kleinste affine Teilraum von A displaystyle A nbsp der die Menge M displaystyle M nbsp ganz enthalt Konstruktion Bearbeiten Mit den Bezeichnungen aus der Definition wird aus M displaystyle M nbsp ein beliebiger Punkt P 0 displaystyle P 0 nbsp gewahlt Er dient als Aufpunkt der affinen Hulle Dann wird zur Menge der Verbindungsvektoren V M P Q P Q M displaystyle V M lbrace overrightarrow PQ mid P Q in M rbrace nbsp die lineare Hulle H displaystyle H nbsp gebildet H displaystyle H nbsp ist die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus V M displaystyle V M nbsp also die lineare Hulle von V M displaystyle V M nbsp in dem Vektorraum der zum affinen Raum A displaystyle A nbsp gehort Dieser Teil der Konstruktion ist ausfuhrlicher im Artikel Lineare Hulle beschrieben Nun ist P 0 H displaystyle P 0 H nbsp die affine Hulle von M displaystyle M nbsp Die affine Hulle der leeren Menge ist die leere Menge Eigenschaften Bearbeiten Die affine Hulle einer beliebigen Teilmenge M displaystyle M nbsp eines affinen Raumes A displaystyle A nbsp ist eindeutig bestimmt als konkrete Menge nicht nur bis auf Isomorphie ist ein affiner Raum mit einer Dimension zwischen 1 leere Menge und der Dimension des Gesamtraums enthalt die konvexe Hulle der Menge M displaystyle M nbsp und ist auch deren affine Hulle sofern A displaystyle A nbsp ein reeller affiner Raum ist Die Abbildung die jeder Teilmenge eines affinen Raumes ihre lineare Hulle zuordnet ist ein Hullenoperator In der Menge T displaystyle T nbsp der affinen Teilraume eines affinen Raumes einschliesslich der leeren Menge und des Gesamtraums kann man die Operation bilde die affine Hulle der Vereinigungsmenge als zweistellige Verknupfung einfuhren hier wird wenn U V T displaystyle U V in T nbsp sind U V displaystyle U vee V nbsp fur diese affine Hulle geschrieben sie wird dann auch als Verbindungsraum der Teilraume bezeichnet Die dazu duale Verknupfung ist dann die Schnittmengenbildung Mit diesen Verknupfungen bildet T displaystyle T nbsp dann einen Verband Fur die Dimensionen des Verbindungsraumes und des Schnittes von zwei affinen Teilraumen gibt es eine Dimensionsformel siehe dazu Affiner Unterraum Beispiele BearbeitenDie affine Hulle von zwei beliebigen verschiedenen Punkten im Raum ist deren Verbindungsgerade Die affine Hulle von drei Punkten des Raumes ist eine Gerade falls die drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen sonst die Ebene auf der alle drei Punkte liegen Die affine Hulle einer ebenen Figur im Raum Dreieck Kreis usw ist die Ebene die die Figur enthalt Die affine Hulle der Polynommenge 1 x 2 x 3 R x displaystyle lbrace 1 x 2 x 3 rbrace subseteq mathbb R x nbsp ist die Kurvenschar 1 a x 2 1 b x 3 1 a b R displaystyle lbrace 1 a x 2 1 b x 3 1 a b in mathbb R rbrace nbsp Dieses Beispiel macht deutlich dass die affine Hulle in der Regel kein Vektorraum ist Siehe auch BearbeitenLineare Hulle Konvexe HulleLiteratur BearbeitenUwe Storch Hartmut Wiebe Lineare Algebra Lehrbuch der Mathematik fur Mathematiker Informatiker und Physiker Band II 2 korrigierte Auflage BI Wissenschafts Verlag Mannheim 1990 ISBN 3 8274 0359 6 Inhaltsverzeichnis abgerufen am 25 Dezember 2011 Weblinks BearbeitenRolf Waldi Beschreibung von Verbindungsraumen PDF 60 kB im Skript Erganzungen zur Geometrie Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Affine Hulle amp oldid 228301234