Affiner Unterraum Dieser Artikel behandelt einen affinen Unterraum eines Vektorraums Zu affinen Unterräumen eines affine

Affiner Unterraum

In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge, die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht. Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie.

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum (blau) ist ein affiner Unterraum, der durch Verschiebung einer Ursprungsebene um einen Vektor (rot) hervorgeht

Definition Bearbeiten

Eine Teilmenge eines Vektorraums heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor aus und einen Untervektorraum von gibt, sodass

gilt. In diesem Fall heißt auch Stützvektor von und der zugeordnete lineare Unterraum (der Verbindungsvektoren). ist durch eindeutig bestimmt; alle mit sind Stützvektoren von . Die Dimension von ist die Dimension von .

Ein eindimensionaler affiner Unterraum heißt affine Gerade. Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heißt affine Ebene.

Hat der zu einem affinen Unterraum gehörige lineare Unterraum die Kodimension , so nennt nennt man eine affine Hyperebene.

In der analytischen Geometrie wird gelegentlich auch die leere Menge als affiner Unterraum bezeichnet. Sie hat dann als affiner Raum die Dimension und ihr ist kein linearer Unterraum zugeordnet.

Anschauliche Betrachtung Bearbeiten

Als Untervektorraum werde eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Vektorraum gewählt, für die gilt:

Als Vektor wird

gewählt. Dann ist der affine Unterraum eine Gerade, die um (also um eine Einheit in -Richtung) verschoben ist, mit der Gleichung:

Die auf diese Weise entstehende verschobene Gerade ist ein affiner Unterraum, aber kein Untervektorraum von , da sie den Nullvektor nicht enthält.

Dimensionsformel für affine Unterräume Bearbeiten

Sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und seien zwei affine Unterräume von .

Für den Fall, dass und nicht disjunkt sind oder einer der beiden Räume leer ist, gilt die Dimensionsformel:

Falls und jedoch disjunkt und nichtleer sind, lautet die Dimensionsformel

wobei aus der Darstellung (mit festem und dem zugeordneten linearen Unterraum von ) erhalten wird. Analog erhält man .

In beiden Fällen steht für den Verbindungsraum von und .

Eigenschaften Bearbeiten

Da in der Definition eines affinen Unterraums auch gewählt werden kann, ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum. Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum, wenn er den Nullvektor enthält.

Der Lösungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in Variablen über dem Körper ist ein affiner Unterraum von , falls die Lösungsmenge nicht leer ist. Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden. Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hülle von Vektoren oder, wie direkt aus der Definition folgt, mit Hilfe eines Stützvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden.

Literatur Bearbeiten

Gerd Fischer: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0, S. 166 ff. (Auszug (Google)}).
Siegfried Bosch: Lineare Algebra. ISBN 978-3-540-76437-3, S. 65 ff.

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Veröffentlichungsdatum: Oktober 30, 2023, 00:29 am

Dieser Artikel behandelt einen affinen Unterraum eines Vektorraums Zu affinen Unterraumen eines affinen Punktraums siehe Affiner Raum In der linearen Algebra ist ein affiner Unterraum eines Vektorraums eine Teilmenge die durch Verschiebung aus einem Untervektorraum hervorgeht Ein solcher affiner Unterraum ist auch ein affiner Raum im Sinne der analytischen Geometrie Eine Ebene im dreidimensionalen Raum blau ist ein affiner Unterraum der durch Verschiebung einer Ursprungsebene um einen Vektor rot hervorgeht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anschauliche Betrachtung 3 Dimensionsformel fur affine Unterraume 4 Eigenschaften 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine Teilmenge A displaystyle A nbsp eines Vektorraums V displaystyle V nbsp heisst affiner Unterraum wenn es einen Vektor v displaystyle v nbsp aus V displaystyle V nbsp und einen Untervektorraum U A displaystyle U A nbsp von V displaystyle V nbsp gibt sodass A v U A v u u U A displaystyle A v U A left v u mid u in U A right nbsp gilt In diesem Fall heisst v displaystyle v nbsp auch Stutzvektor von A displaystyle A nbsp und U A displaystyle U A nbsp der A displaystyle A nbsp zugeordnete lineare Unterraum der Verbindungsvektoren U A displaystyle U A nbsp ist durch A displaystyle A nbsp eindeutig bestimmt alle w V displaystyle w in V nbsp mit v w U A displaystyle v w in U A nbsp sind Stutzvektoren von A displaystyle A nbsp Die Dimension von A displaystyle A nbsp ist die Dimension von U A displaystyle U A nbsp Ein eindimensionaler affiner Unterraum heisst affine Gerade Ein zweidimensionaler affiner Unterraum heisst affine Ebene Hat der zu einem affinen Unterraum A displaystyle A nbsp gehorige lineare Unterraum U A displaystyle U A nbsp die Kodimension 1 displaystyle 1 nbsp so nennt nennt man A displaystyle A nbsp eine affine Hyperebene In der analytischen Geometrie wird gelegentlich auch die leere Menge als affiner Unterraum bezeichnet Sie hat dann als affiner Raum die Dimension dim 1 displaystyle dim emptyset 1 nbsp und ihr ist kein linearer Unterraum zugeordnet Anschauliche Betrachtung BearbeitenAls Untervektorraum U displaystyle U nbsp werde eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Vektorraum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp gewahlt fur die gilt g x l 0 0 1 displaystyle g colon vec x lambda begin pmatrix 0 0 1 end pmatrix nbsp mit l R displaystyle lambda in mathbb R nbsp Als Vektor v V displaystyle vec v in V nbsp wird v 1 0 0 displaystyle vec v begin pmatrix 1 0 0 end pmatrix nbsp gewahlt Dann ist der affine Unterraum A v U displaystyle A vec v U nbsp eine Gerade die um 1 0 0 displaystyle 1 0 0 nbsp also um eine Einheit in x 1 displaystyle x 1 nbsp Richtung verschoben ist mit der Gleichung h x 1 0 0 m 0 0 1 displaystyle h colon vec x begin pmatrix 1 0 0 end pmatrix mu begin pmatrix 0 0 1 end pmatrix nbsp mit m R displaystyle mu in mathbb R nbsp Die auf diese Weise entstehende verschobene Gerade ist ein affiner Unterraum aber kein Untervektorraum von V displaystyle V nbsp da sie den Nullvektor nicht enthalt Dimensionsformel fur affine Unterraume BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein endlichdimensionaler Vektorraum uber einem Korper K displaystyle K nbsp und seien A B displaystyle A B nbsp zwei affine Unterraume von V displaystyle V nbsp Fur den Fall dass A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp nicht disjunkt sind oder einer der beiden Raume leer ist gilt die Dimensionsformel dim A dim B dim A B dim A B displaystyle dim A dim B dim A vee B dim A cap B nbsp Falls A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp jedoch disjunkt und nichtleer sind lautet die Dimensionsformel dim A dim B dim A B dim U A U B 1 displaystyle dim A dim B dim A vee B dim U A cap U B 1 nbsp wobei U A displaystyle U A nbsp aus der Darstellung A v U A displaystyle A v U A nbsp mit festem v A displaystyle v in A nbsp und dem zugeordneten linearen Unterraum U A displaystyle U A nbsp von V displaystyle V nbsp erhalten wird Analog erhalt man U B displaystyle U B nbsp In beiden Fallen steht A B displaystyle A vee B nbsp fur den Verbindungsraum von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Eigenschaften BearbeitenDa in der Definition eines affinen Unterraums auch v 0 displaystyle v 0 nbsp gewahlt werden kann ist jeder Untervektorraum gleichzeitig affiner Unterraum Ein affiner Unterraum ist genau dann ein Untervektorraum wenn er den Nullvektor enthalt Der Losungsraum eines inhomogenen linearen Gleichungssystems in n displaystyle n nbsp Variablen uber dem Korper K displaystyle K nbsp ist ein affiner Unterraum von K n displaystyle K n nbsp falls die Losungsmenge nicht leer ist Jeder affine Unterraum kann durch ein solches Gleichungssystem beschrieben werden Alternativ kann ein affiner Unterraum auch als affine Hulle von Vektoren oder wie direkt aus der Definition folgt mit Hilfe eines Stutzvektors und einer Basis des Untervektorraums angegeben werden Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra ISBN 3 528 03217 0 S 166 ff Auszug Google Siegfried Bosch Lineare Algebra ISBN 978 3 540 76437 3 S 65 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Affiner Unterraum amp oldid 206456674