In der linearen Algebra ist die lineare Hulle auch der Spann Span aus dem Englischen von linear span Aufspann Erzeugnis oder Abschluss 1 genannt einer Teilmenge A displaystyle A eines Vektorraums V displaystyle V uber einem Korper K displaystyle K die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus A displaystyle A und Skalaren aus K displaystyle K Die lineare Hulle bildet einen Untervektorraum der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist der A displaystyle A enthalt Ein Vektor a displaystyle a und seine lineare Hulle a displaystyle langle a rangle Die blaue Ebene stellt die lineare Hulle der beiden Vektoren v 1 displaystyle v 1 und v 2 displaystyle v 2 dar v displaystyle v ist eine Linearkombination der beiden Vektoren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Konstruktive Definition 1 2 Andere Definitionen 1 3 Notation 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenKonstruktive Definition Bearbeiten Ist V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber einem Korper K displaystyle K nbsp und A V displaystyle A subset V nbsp eine Teilmenge des Vektorraums dann ist A i 1 n l i a i l i K a i A n N displaystyle langle A rangle left left textstyle sum limits i 1 n lambda i a i right lambda i in K a i in A n in mathbb N right nbsp die lineare Hulle von A displaystyle A nbsp 2 Die lineare Hulle ist die Menge aller Linearkombinationen der a i displaystyle a i nbsp Im Fall einer endlichen Teilmenge A displaystyle A nbsp vereinfacht sich diese Definition zu a 1 a 2 a n l 1 a 1 l 2 a 2 l n a n l 1 l 2 l n K displaystyle langle a 1 a 2 dotsc a n rangle lambda 1 a 1 lambda 2 a 2 dotsb lambda n a n mid lambda 1 lambda 2 dotsc lambda n in K nbsp Die lineare Hulle der leeren Menge ist der Nullvektorraum das heisst 0 displaystyle langle emptyset rangle 0 nbsp denn die leere Summe von Vektoren ergibt per Definition den Nullvektor Andere Definitionen Bearbeiten Aquivalent zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen Die lineare Hulle einer Teilmenge A displaystyle A nbsp eines Vektorraums V displaystyle V nbsp ist der kleinste Untervektorraum der die Menge A displaystyle A nbsp enthalt Die lineare Hulle einer Teilmenge A displaystyle A nbsp eines Vektorraums V displaystyle V nbsp ist die Schnittmenge aller Untervektorraume U displaystyle U nbsp von V displaystyle V nbsp die A displaystyle A nbsp enthalten Notation Bearbeiten Als Symbole fur die lineare Hulle von A displaystyle A nbsp werden span A displaystyle operatorname span A nbsp bzw Span A displaystyle operatorname Span A nbsp A displaystyle langle A rangle nbsp L A displaystyle L A nbsp lin A displaystyle operatorname lin A nbsp oder L A displaystyle mathcal L A nbsp verwendet Ist A displaystyle A nbsp endlich etwa A a 1 a n displaystyle A a 1 dotsc a n nbsp werden doppelte Klammern vermieden indem die Schreibweisen a 1 a n displaystyle langle a 1 dotsc a n rangle nbsp L a 1 a n displaystyle L a 1 dotsc a n nbsp oder L a 1 a n displaystyle mathcal L a 1 dotsc a n nbsp verwendet werden Eigenschaften BearbeitenSeien A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Teilmengen des K displaystyle K nbsp Vektorraumes V displaystyle V nbsp Dann gelten A A displaystyle A subseteq langle A rangle nbsp A B A B displaystyle A subseteq B Rightarrow langle A rangle subseteq langle B rangle nbsp A A displaystyle langle A rangle langle langle A rangle rangle nbsp Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hulle als Hullenoperator 1 Weiter gelten Die lineare Hulle einer Teilmenge eines Vektorraums V displaystyle V nbsp ist ein Untervektorraum von V displaystyle V nbsp Fur jeden Unterraum U displaystyle U nbsp eines Vektorraums V displaystyle V nbsp gilt U U displaystyle langle U rangle U nbsp Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hulle Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes so ist dieser ihre lineare Hulle Die Summe U 1 U 2 u 1 u 2 u 1 U 1 u 2 U 2 displaystyle U 1 U 2 u 1 u 2 mid u 1 in U 1 u 2 in U 2 nbsp zweier Unterraume U 1 U 2 displaystyle U 1 U 2 nbsp ist die lineare Hulle der Vereinigungsmenge also U 1 U 2 U 1 U 2 displaystyle U 1 U 2 langle U 1 cup U 2 rangle nbsp In der Menge T displaystyle T nbsp der Unterraume eines Vektorraumes einschliesslich des Gesamtraums kann man die Operation bilde die lineare Hulle der Vereinigungsmenge als zweistellige Verknupfung einfuhren Die dazu duale Verknupfung ist die Schnittmengenbildung Mit diesen Verknupfungen bildet T displaystyle T nbsp dann einen Verband Sind U V displaystyle U V nbsp Unterraume eines Vektorraumes dann gilt fur die Dimensionen der linearen Hulle die Dimensionsformel dim U V dim U V dim U dim V displaystyle dim U V dim U cap V dim U dim V nbsp dd Beispiele BearbeitenDie lineare Hulle a displaystyle langle a rangle nbsp eines einzelnen Vektors a R 2 0 0 displaystyle a in mathbb R 2 setminus 0 0 nbsp ist eine Gerade durch den Ursprung Die beiden Vektoren 3 0 0 displaystyle 3 0 0 nbsp und 0 2 0 displaystyle 0 2 0 nbsp sind Elemente des reellen Vektorraums R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Ihre lineare Hulle 3 0 0 0 2 0 displaystyle langle 3 0 0 0 2 0 rangle nbsp ist die x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Ebene Sei K X k 0 l k X k l k k N 0 K N 0 displaystyle K X left left textstyle sum limits k 0 infty lambda k X k right lambda k k in mathbb N 0 in K mathbb N 0 right nbsp der Vektorraum der formalen Potenzreihen uber dem Korper K displaystyle K nbsp und A X k k N displaystyle A X k mid k in mathbb N nbsp die Menge der Monome Dann ist die lineare Hulle von A displaystyle A nbsp der Unterraum der Polynome A i 0 n l i X i n N l 0 l n K K X displaystyle langle A rangle left left textstyle sum limits i 0 n lambda i X i right n in mathbb N lambda 0 dotsc lambda n in K right K X nbsp Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra Eine Einfuhrung fur Studienanfanger Grundkurs Mathematik 17 Auflage Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden 2010 ISBN 978 3 8348 0996 4 384 Seiten Einzelnachweise Bearbeiten a b Dietlinde Lau Algebra und Diskrete Mathematik 1 Springer ISBN 978 3 540 72364 6 Seite 162 Siegfried Bosch Lineare Algebra Springer 2001 ISBN 3 540 41853 9 S 29 30 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lineare Hulle amp oldid 235171787
