www.wikidata.de-de.nina.az

Logische Äquivalenz Eine logische Äquivalenz liegt vor wenn zwei logische Ausdrücke den gleichen Wahrheitswert besitzen

Logische Äquivalenz

Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn zwei logische Ausdrücke den gleichen Wahrheitswert besitzen.

Der Ausdruck Äquivalenz wird in der Logik mehrdeutig verwendet:

  • zum einen im Sinne der materialen Äquivalenz (Bikonditional)
  • zum anderen im Sinne der formalen Äquivalenz (Logische Äquivalenz).

Bikonditional (materiale Äquivalenz) und logische Äquivalenz (formale Äquivalenz) sind wesentlich verschiedene Begriffe. Das Bikonditional ist ein Begriff der Objektsprache, die logische Äquivalenz ist ein Begriff der Metasprache. Die Begriffe sind jedoch aufeinander bezogen: die logische Äquivalenz ist ein allgemeingültiges Bikonditional.

Im Folgenden geht es nur um die logische Äquivalenz, nicht jedoch um das Bikonditional.

Terminologie und Synonymie Bearbeiten

Soweit ersichtlich hat sich bislang keine feste Terminologie ausgebildet. Die Logische Äquivalenz wird auch (zumeist) logische Äquivalenz geschrieben und auch formale Äquivalenz oder schlicht Äquivalenz (mit der Verwechslungsgefahr mit der materialen Äquivalenz) genannt.

Begriff Bearbeiten

Hier geht es nur um die logische Äquivalenz im Sinn der klassischen, zweiwertigen Logik.

Definition Bearbeiten

Die logische Äquivalenz wird in zwei gleichwertigen definitorischen Grundformen definiert. Die Definition der logischen Äquivalenz erfolgt hier prototypisch für die aussagenlogische Äquivalenz. Daneben gibt es auch eine darauf aufbauende prädikatenlogische Äquivalenz.

Die logische Äquivalenz als Werteverlaufsgleichheit von Aussageformen Bearbeiten

Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn zwei logische Ausdrücke den gleichen Wahrheitswert besitzen, gleichwertig sind, die gleichen Wahrheitswerte-Eintragungen in einer Wahrheitstabelle haben, „wenn sie dieselben Wahrheitsfunktionen beinhalten, d. h. dieselben möglichen Werte ein- bzw. ausschließen.“, wenn der Werteverlauf (Wahrheitstabelle) der beiden Aussagen gleich ist.

Allgemeiner formuliert – d. h. nicht auf Aussagenlogik beschränkt – sind zwei Aussagen P und Q der klassischen, zweiwertigen Logik genau dann äquivalent, wenn beide Aussagen unter jeder möglichen Interpretation denselben Wahrheitswert annehmen.

Die Logische Äquivalenz als allgemeingültiges Bikonditional Bearbeiten

Eine logische Äquivalenz liegt vor, wenn ein Bikonditional wahr, allgemeingültig, eine Tautologie ist.

Je nach Terminologie oder Präzision der Terminologie geht es dabei um die logische Äquivalenz von Aussageformen oder Aussageverbindungen, von Sätzen, von Teilsätzen, Aussagen, (komplexen) Aussagen oder Ausdrücken.

Die Metasprachlichkeit der logischen Äquivalenz Bearbeiten

Der Begriff der logischen Äquivalenz ist metasprachlich bzw. metatheoretisch. Mit ihm wird eine (Meta-)Aussage über die Beziehung (Relation) zweier Ausdrücke der Objektsprache getroffen.

Abgrenzungen Bearbeiten

Materiale Äquivalenz (Bikonditional) Bearbeiten

Von der Äquivalenz als metatheoretisches Konzept muss das Bikonditional als Operator (Junktor, Konnektiv) der jeweiligen logischen Objektsprache unterschieden werden, das ebenfalls oft als Äquivalenz bezeichnet wird. Diese Homonymie ist insofern unglücklich, als sie dazu verleitet, ein objekt- und ein metasprachliches Konzept zu verwechseln oder zu vermengen, und weil sie dazu zwingt, sehr genau darauf zu achten, was im jeweiligen Zusammenhang mit dem Wort „Äquivalenz“ gemeint ist. Einzelheiten: Bikonditional.

Definition Bearbeiten

„Alle Definitionen haben die Form von logisch wahren Äquivalenzen.“

Mathematische Gleichung Bearbeiten

Die Logische Äquivalenz beschreibt die Werteverlaufsgleichheit von Aussagen, analog dem Gleichheitszeichen in der Algebra. So sind zwei Aussagen A, B der klassischen Aussagenlogik genau dann logisch äquivalent, wenn der Werteverlauf (Wahrheitstabelle) der beiden Aussagen gleich ist.

„Die Funktion der Äquivalenzen in der Logik entspricht die Funktion der Gleichungen in der Mathematik.“.

Beispiel für den Zusammenhang von logischer Äquivalenz und mathematischer Identität:

Für alle gilt

Schreib- und Sprechweisen Bearbeiten

Für „A äquivalent B“ wird in der mathematischen Notation häufig ein Doppelter Pfeil nach Links und rechts verwendet (⇔, Unicode-Zeichen U+21D4 im Unicodeblock Pfeile)

Man sagt

  • in der Mathematik:
    • A ist äquivalent zu B
    • A gilt genau dann, wenn B
    • A gilt dann und nur dann, wenn B
  • in der Logik:
    • A ist logisch äquivalent zu B
    • A ist werteverlaufsgleich mit B
    • A ist logisch gleichwertig zu B

Man schreibt auch

  • A gdw. B (genau dann, wenn)
  • A iff. B (engl. if and only if)
  • A = B .

Diese Schreib- und Sprechweise für die logische Äquivalenz ist abzugrenzen von der für das Bikonditional. Für die objektsprachliche Aussage „A genau dann wenn B“ (Bikonditional!) schreibt man in der Logik (unter anderem):

Die logische Äquivalenz als Relation und ihre Eigenschaften Bearbeiten

Die „Äquivalenz ist eine Relation“ und zwar „eine Relation zwischen zwei Aussagen, die inhaltlich nicht gleich sind, aber stets gemeinsam entweder wahr oder falsch sind.“.

Die Äquivalenz kann dabei als eine „dreistellige Relation zwischen zwei Dingen und einer Eigenschaft“ oder als zweistellige Relation, die schon auf eine Eigenschaft relativiert ist, verwendet werden.

Die Äquivalenzrelation hat die Eigenschaften der Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.

Satz Bearbeiten

  • In der klassischen Logik gilt das Metatheorem, dass zwei Sätze X und Y genau dann äquivalent sind, wenn das aus ihnen gebildete Bikonditional X ↔ Y eine Tautologie ist.
  • Ist das Bikonditional nicht per Definition eingeführt, sondern als eigenständiger Junktor gemäß obiger Wahrheitstabelle, dann gilt das Metatheorem, dass die zwei Sätze der Form X ↔ Y und (X → Y) & (Y → X) äquivalent sind.

Siehe auch Bearbeiten

  • Implikation – hier wird auch der Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Verwendung besonders gut herausgearbeitet
  • Prädikatenlogik

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Vgl. Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Äquivalenz: enge Beziehung
  2. Zoglauer, Thomas, Einführung in die formale Logik für Philosophen (1999), S. 47
  3. Salmon, Logik (1983), S. 88
  4. Spies, Einführung [2004], S. 32
  5. Seiffert, Logik (1971), S. 186
  6. Vgl. Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 11 f.
  7. Salmon, Logik (1983), S. 96; Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Äquivalenz; Lohnstein, Formale Semantik (1996), S. 41
  8. Salmon, Logik (1983), S. 96; Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 11 f.
  9. Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 11 f.
  10. Spies, Einführung in die Logik (2004), S. 22
  11. Seiffert, Logik (1973), S. 186
  12. Bußmann, Lexikon der Sprachwissenschaft, 3. Aufl. (2002)/Äquivalenz
  13. Lohnstein, Formale Semantik (1996), S. 41
  14. Zoglauer, Thomas, Einführung in die formale Logik für Philosophen (1999), S. 47
  15. Zoglauer, Thomas, Einführung in die formale Logik für Philosophen (1999), S. 43
  16. Reichenbach, Grundzüge der symbolischen Logik (1999), S. 36
  17. Zoglauer, Thomas, Einführung in die formale Logik für Philosophen (1999), S. 43
  18. Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Äquivalenz
  19. Seiffert, Wissenschaftstheorie IV (1997), Äquivalenz
  20. Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Äquivalenz
  21. Regenbogen/Meyer, Wörterbuch der philosophischen Begriffe (2005)/Äquivalenz
  22. Hilbert/Ackermann, Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 12
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Eine logische Aquivalenz liegt vor wenn zwei logische Ausdrucke den gleichen Wahrheitswert besitzen Der Ausdruck Aquivalenz wird in der Logik mehrdeutig verwendet zum einen im Sinne der materialen Aquivalenz Bikonditional zum anderen im Sinne der formalen Aquivalenz Logische Aquivalenz Bikonditional materiale Aquivalenz und logische Aquivalenz formale Aquivalenz sind wesentlich verschiedene Begriffe Das Bikonditional ist ein Begriff der Objektsprache die logische Aquivalenz ist ein Begriff der Metasprache Die Begriffe sind jedoch aufeinander bezogen 1 die logische Aquivalenz ist ein allgemeingultiges Bikonditional Im Folgenden geht es nur um die logische Aquivalenz nicht jedoch um das Bikonditional Inhaltsverzeichnis 1 Terminologie und Synonymie 2 Begriff 2 1 Definition 2 1 1 Die logische Aquivalenz als Werteverlaufsgleichheit von Aussageformen 2 1 2 Die Logische Aquivalenz als allgemeingultiges Bikonditional 2 2 Die Metasprachlichkeit der logischen Aquivalenz 2 3 Abgrenzungen 2 3 1 Materiale Aquivalenz Bikonditional 2 3 2 Definition 2 3 3 Mathematische Gleichung 2 4 Schreib und Sprechweisen 3 Die logische Aquivalenz als Relation und ihre Eigenschaften 4 Satz 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseTerminologie und Synonymie BearbeitenSoweit ersichtlich hat sich bislang keine feste Terminologie ausgebildet Die Logische Aquivalenz wird auch zumeist logische Aquivalenz geschrieben und auch formale Aquivalenz oder schlicht Aquivalenz mit der Verwechslungsgefahr mit der materialen Aquivalenz genannt Begriff BearbeitenHier geht es nur um die logische Aquivalenz im Sinn der klassischen zweiwertigen Logik Definition Bearbeiten Die logische Aquivalenz wird in zwei gleichwertigen definitorischen Grundformen definiert Die Definition der logischen Aquivalenz erfolgt hier prototypisch fur die aussagenlogische Aquivalenz Daneben gibt es auch eine darauf aufbauende pradikatenlogische Aquivalenz Die logische Aquivalenz als Werteverlaufsgleichheit von Aussageformen Bearbeiten Eine logische Aquivalenz liegt vor wenn zwei logische Ausdrucke den gleichen Wahrheitswert besitzen gleichwertig sind 2 die gleichen Wahrheitswerte Eintragungen in einer Wahrheitstabelle haben 3 wenn sie dieselben Wahrheitsfunktionen beinhalten d h dieselben moglichen Werte ein bzw ausschliessen 4 wenn der Werteverlauf Wahrheitstabelle der beiden Aussagen gleich ist Allgemeiner formuliert d h nicht auf Aussagenlogik beschrankt sind zwei Aussagen P und Q der klassischen zweiwertigen Logik genau dann aquivalent wenn beide Aussagen unter jeder moglichen Interpretation denselben Wahrheitswert annehmen Die Logische Aquivalenz als allgemeingultiges Bikonditional Bearbeiten Eine logische Aquivalenz liegt vor wenn ein Bikonditional wahr 5 allgemeingultig 6 eine Tautologie 7 ist Je nach Terminologie oder Prazision der Terminologie geht es dabei um die logische Aquivalenz von Aussageformen 8 oder Aussageverbindungen 9 von Satzen 10 von Teilsatzen 11 Aussagen 12 komplexen Aussagen 13 oder Ausdrucken 14 Die Metasprachlichkeit der logischen Aquivalenz Bearbeiten Der Begriff der logischen Aquivalenz ist metasprachlich bzw metatheoretisch Mit ihm wird eine Meta Aussage uber die Beziehung Relation zweier Ausdrucke der Objektsprache getroffen Abgrenzungen Bearbeiten Materiale Aquivalenz Bikonditional Bearbeiten Von der Aquivalenz als metatheoretisches Konzept muss das Bikonditional als Operator Junktor Konnektiv der jeweiligen logischen Objektsprache unterschieden werden das ebenfalls oft als Aquivalenz bezeichnet wird Diese Homonymie ist insofern unglucklich als sie dazu verleitet ein objekt und ein metasprachliches Konzept zu verwechseln oder zu vermengen und weil sie dazu zwingt sehr genau darauf zu achten was im jeweiligen Zusammenhang mit dem Wort Aquivalenz gemeint ist Einzelheiten Bikonditional Definition Bearbeiten Alle Definitionen haben die Form von logisch wahren Aquivalenzen 15 Mathematische Gleichung Bearbeiten Die Logische Aquivalenz beschreibt die Werteverlaufsgleichheit von Aussagen analog dem Gleichheitszeichen in der Algebra So sind zwei Aussagen A B der klassischen Aussagenlogik genau dann logisch aquivalent wenn der Werteverlauf Wahrheitstabelle der beiden Aussagen gleich ist Die Funktion der Aquivalenzen in der Logik entspricht die Funktion der Gleichungen in der Mathematik 16 Beispiel fur den Zusammenhang von logischer Aquivalenz und mathematischer Identitat Fur alle a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp gilt x a b 2 x a 2 2 a b b 2 a b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle x a b 2 Leftrightarrow x a 2 2ab b 2 Rightarrow a b 2 equiv a 2 2ab b 2 nbsp Schreib und Sprechweisen Bearbeiten Fur A aquivalent B wird in der mathematischen Notation haufig ein Doppelter Pfeil nach Links und rechts verwendet Unicode Zeichen U 21D4 im Unicodeblock Pfeile A B displaystyle A Leftrightarrow B nbsp Man sagt in der Mathematik A ist aquivalent zu B A gilt genau dann wenn B A gilt dann und nur dann wenn B in der Logik A ist logisch aquivalent zu B A ist werteverlaufsgleich mit B A ist logisch gleichwertig zu BMan schreibt auch A gdw B genau dann wenn A iff B engl if and only if A B 17 Diese Schreib und Sprechweise fur die logische Aquivalenz ist abzugrenzen von der fur das Bikonditional Fur die objektsprachliche Aussage A genau dann wenn B Bikonditional schreibt man in der Logik unter anderem A B displaystyle A equiv B nbsp oder A B displaystyle A leftrightarrow B nbsp Die logische Aquivalenz als Relation und ihre Eigenschaften BearbeitenDie Aquivalenz ist eine Relation 18 und zwar eine Relation zwischen zwei Aussagen die inhaltlich nicht gleich sind aber stets gemeinsam entweder wahr oder falsch sind 19 Die Aquivalenz kann dabei als eine dreistellige Relation zwischen zwei Dingen und einer Eigenschaft 20 oder als zweistellige Relation die schon auf eine Eigenschaft relativiert ist verwendet werden 21 Die Aquivalenzrelation hat die Eigenschaften der Reflexivitat Symmetrie und Transitivitat 22 Satz BearbeitenIn der klassischen Logik gilt das Metatheorem dass zwei Satze X und Y genau dann aquivalent sind wenn das aus ihnen gebildete Bikonditional X Y eine Tautologie ist Ist das Bikonditional nicht per Definition eingefuhrt sondern als eigenstandiger Junktor gemass obiger Wahrheitstabelle dann gilt das Metatheorem dass die zwei Satze der Form X Y und X Y amp Y X aquivalent sind Siehe auch BearbeitenImplikation hier wird auch der Unterschied zwischen objektsprachlicher und metasprachlicher Verwendung besonders gut herausgearbeitet PradikatenlogikEinzelnachweise Bearbeiten Vgl Regenbogen Meyer Worterbuch der philosophischen Begriffe 2005 Aquivalenz enge Beziehung Zoglauer Thomas Einfuhrung in die formale Logik fur Philosophen 1999 S 47 Salmon Logik 1983 S 88 Spies Einfuhrung 2004 S 32 Seiffert Logik 1971 S 186 Vgl Hilbert Ackermann Grundzuge 6 Aufl 1972 S 11 f Salmon Logik 1983 S 96 Bussmann Lexikon der Sprachwissenschaft 3 Aufl 2002 Aquivalenz Lohnstein Formale Semantik 1996 S 41 Salmon Logik 1983 S 96 Hilbert Ackermann Grundzuge 6 Aufl 1972 S 11 f Hilbert Ackermann Grundzuge 6 Aufl 1972 S 11 f Spies Einfuhrung in die Logik 2004 S 22 Seiffert Logik 1973 S 186 Bussmann Lexikon der Sprachwissenschaft 3 Aufl 2002 Aquivalenz Lohnstein Formale Semantik 1996 S 41 Zoglauer Thomas Einfuhrung in die formale Logik fur Philosophen 1999 S 47 Zoglauer Thomas Einfuhrung in die formale Logik fur Philosophen 1999 S 43 Reichenbach Grundzuge der symbolischen Logik 1999 S 36 Zoglauer Thomas Einfuhrung in die formale Logik fur Philosophen 1999 S 43 Regenbogen Meyer Worterbuch der philosophischen Begriffe 2005 Aquivalenz Seiffert Wissenschaftstheorie IV 1997 Aquivalenz Regenbogen Meyer Worterbuch der philosophischen Begriffe 2005 Aquivalenz Regenbogen Meyer Worterbuch der philosophischen Begriffe 2005 Aquivalenz Hilbert Ackermann Grundzuge 6 Aufl 1972 S 12 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Logische Aquivalenz amp oldid 210776795