www.wikidata.de-de.nina.az

Mathematische Notation Als mathematische Notation bezeichnet man in Mathematik Logik und Informatik die Darstellung von

Mathematische Notation

Als mathematische Notation bezeichnet man in Mathematik, Logik und Informatik die Darstellung von Formeln und anderen mathematischen Objekten mittels mathematischer Symbole. Die mathematische Notation entspricht einer Sprache, die formaler ist als viele natürliche Sprachen und dennoch einige Uneindeutigkeiten enthält, wie sie für natürliche Sprachen charakteristisch sind.

Bestandteile Bearbeiten

Die mathematische Notation bedient sich spezieller Symbole

Bei den Bezeichnungen für mathematische Objekte unterscheidet man

  • Konstanten (fixierte Werte), also allgemeingültige Bezeichnungen für häufig gebrauchte Objekte wie und
  • Variablen (veränderliche Werte), also zum Beispiel Bezeichnungen für Objekte, die erst noch gefunden werden müssen oder über die man etwas allgemein aussagen möchte.

Mathematische Zeichen Bearbeiten

Variablennamen Bearbeiten

In der Mathematik werden in der Regel Buchstaben als Zeichen verwendet, wenn es sich um veränderliche Objekte handelt. Für den Textsatz wird meist eine Serifenschrift verwendet.

Beispiele zu Regelfällen des verwendeten Alphabets und des Textsatzes:

  • Skalare: in kursiver Schrift:
  • Vektoren: teilweise wie Skalare, teilweise mit übergesetztem Pfeil oder halbfett (DIN 1303):
    Früher auch Buchstaben in Frakturschrift: oder
  • Komplexe Größen: wie reelle Skalare, in den Ingenieurwissenschaften häufig durch waagerechten Strich unter dem Zeichen (DIN 1304 und DIN 5483):
  • Mengen: gewöhnliche Großbuchstaben oder bei Zahlenmengen mit Doppelstrich:
  • Matrizen: vorzugsweise Großbuchstaben, gelegentlich halbfett (DIN 1303): .
    Früher auch Großbuchstaben in Frakturschrift:

Da die Zahl der Buchstaben nicht ausreicht, werden sie oft durch Indizes (kleine, tiefgestellte Ziffern, Buchstaben oder Symbole) ergänzt:

Weitere Zeichen Bearbeiten

Andere Zeichen, die z. B. Anweisungen enthalten, bekommen spezielle mathematische Symbole zugewiesen, die nur zum Teil (ursprünglich) aus Alphabeten stammen.

Beispiele:

Zeichen Bedeutung Anwendungsbeispiel
= Gleichheitszeichen
< Vergleichszeichen „kleiner als“
+ Pluszeichen
Summenzeichen
Realteil einer komplexen Zahl
(   ) Klammern zur Änderung der Auswertungsreihenfolge 
Mathematische Konstante
Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen

Operatornotation Bearbeiten

Neben der Festlegung, welche Zeichen für die einzelnen Operatoren verwendet werden (z. B. für die Addition), ist die Festlegung der Reihenfolge von Operatoren und ihren Operanden wichtig. In der heute üblichen mathematischen Notation sind viele Varianten gemischt:

Name Beschreibung Beispiele
Präfixnotation Operator vor Operanden (Sinus), (Kosinus), (natürlicher Logarithmus), (Funktion von x)
Postfixnotation Operator nach Operanden (Fakultät), (Ableitung)
Infixnotation Operator zwischen Operanden (Gleichheit), (Addition), (Subtraktion), (Multiplikation), (Division), (Verkettung), (Faltung), (Element aus), (Vergleich), (Disjunktion), (Konjunktion)
Symbol über Operanden (Komplexe Konjugation), (Fourier-Symbol), (Ableitung)
Klammerung des Operanden (Gaußklammer für Abrunden), (Aufrunden), (Betrag), (Norm), (Skalarprodukt), (Wurzel)
Operatoranwendung ohne Symbole (Multiplikation), (Potenz)
Andere (Bruch), (Binomialkoeffizient)

Infixnotation Bearbeiten

In der Arithmetik am gebräuchlichsten ist die Infixnotation, bei der der Operator zwischen die Operanden gesetzt wird. Bei ihr wird die Rechenreihenfolge durch die Wertigkeit der Operationen („Punktrechnung vor Strichrechnung“) bestimmt. Durch das Setzen von Klammern kann man Teilausdrücke festlegen, die zuerst berechnet werden müssen. Beispiel:

Ein weiteres Beispiel für eine Infixnotation ist die in der Logik verwendete Peano-Russell-Notation:

Präfixnotation Bearbeiten

Ausdrücke in Infixnotation können schnell unübersichtlich werden. In den 1920er Jahren entwickelte deshalb der polnische Logiker und Philosoph Jan Łukasiewicz die polnische Notation, eine Präfixnotation, die ohne Klammern auskommt. Die Operatoren werden dabei mit Großbuchstaben bezeichnet, z. B. für die materiale Implikation (hinreichende Bedingung) und für die Disjunktion (Alternative). In polnischer Notation schreibt man den vorgenannten logischen Term so:

Postfixnotation Bearbeiten

Bei der Postfix-Notation schreibt man den Operator nach den zu verknüpfenden Argumenten; sie wird daher auch umgekehrte polnische Notation (UPN) genannt. Gelegentlich dem australischen Philosophen Charles Hamblin zugeschrieben, war sie mit hoher Wahrscheinlichkeit ebenfalls bereits Łukasiewicz bekannt. In der Logik wurde die UPN nie verwendet, sie erlangte jedoch durch Arbeiten von Hamblin einige Bedeutung in der frühen Informatik und im frühen Compilerbau, weil sich Ausdrücke in UPN besonders leicht maschinell abarbeiten lassen. Aus demselben Grund übernahm sie die Firma Hewlett-Packard in den 60er Jahren für ihre wissenschaftlichen Taschenrechner.

Andere Varianten Bearbeiten

Andere klammerfreie Notationen sind die Begriffsschriftnotation von Gottlob Frege, die Schreibweise des ersten prädikatenlogischen Systems überhaupt, sowie die Existential Graphs von Charles S. Peirce. Beide weichen zudem stark von den heute gebräuchlichen Notationen ab, weil es sich um graphische, zweidimensionale Schreibweisen handelt.

Untersuchung mathematischer Notation Bearbeiten

Mathematische Notation ist Untersuchungsgegenstand unter anderem in folgenden Bereichen:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Florian Cajori: A history of mathematical notations. 2 Bände, 1928, 1929. Dover Publications, New York 1993, ISBN 0-486-67766-4.

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Als mathematische Notation bezeichnet man in Mathematik Logik und Informatik die Darstellung von Formeln und anderen mathematischen Objekten mittels mathematischer Symbole Die mathematische Notation entspricht einer Sprache die formaler ist als viele naturliche Sprachen und dennoch einige Uneindeutigkeiten enthalt wie sie fur naturliche Sprachen charakteristisch sind Inhaltsverzeichnis 1 Bestandteile 2 Mathematische Zeichen 2 1 Variablennamen 2 2 Weitere Zeichen 3 Operatornotation 3 1 Infixnotation 3 2 Prafixnotation 3 3 Postfixnotation 3 4 Andere Varianten 4 Untersuchung mathematischer Notation 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksBestandteile BearbeitenDie mathematische Notation bedient sich spezieller Symbole wie sin 2 x displaystyle sin 2 x nbsp fur mathematische Objekte etwa Funktionen oder Zahlen Klammern fur Zuordnungszwecke und fur den Aufbau von Schablonen Bei den Bezeichnungen fur mathematische Objekte unterscheidet man Konstanten fixierte Werte also allgemeingultige Bezeichnungen fur haufig gebrauchte Objekte wie e p 0 displaystyle e pi 0 nbsp und Variablen veranderliche Werte also zum Beispiel Bezeichnungen fur Objekte die erst noch gefunden werden mussen oder uber die man etwas allgemein aussagen mochte Mathematische Zeichen BearbeitenSiehe auch Liste mathematischer Symbole Variablennamen Bearbeiten In der Mathematik werden in der Regel Buchstaben als Zeichen verwendet wenn es sich um veranderliche Objekte handelt Fur den Textsatz wird meist eine Serifenschrift verwendet Beispiele zu Regelfallen des verwendeten Alphabets und des Textsatzes Skalare in kursiver Schrift a 7 displaystyle a 7 nbsp Vektoren teilweise wie Skalare teilweise mit ubergesetztem Pfeil oder halbfett DIN 1303 F F m a displaystyle vec F equiv boldsymbol F m cdot boldsymbol a nbsp Fruher auch Buchstaben in Frakturschrift F displaystyle mathfrak F nbsp oder x 0 2 1 displaystyle mathfrak x left 0 2 1 right nbsp Komplexe Grossen wie reelle Skalare in den Ingenieurwissenschaften haufig durch waagerechten Strich unter dem Zeichen DIN 1304 und DIN 5483 z displaystyle underline z nbsp Mengen gewohnliche Grossbuchstaben oder bei Zahlenmengen mit Doppelstrich N A B displaystyle mathbb N A cap B nbsp Matrizen vorzugsweise Grossbuchstaben gelegentlich halbfett DIN 1303 det M 4 displaystyle det M 4 nbsp Fruher auch Grossbuchstaben in Frakturschrift E 1 0 0 1 displaystyle mathfrak E begin pmatrix 1 amp cdots amp 0 vdots amp ddots amp vdots 0 amp cdots amp 1 end pmatrix nbsp Da die Zahl der Buchstaben nicht ausreicht werden sie oft durch Indizes kleine tiefgestellte Ziffern Buchstaben oder Symbole erganzt N 0 F G E displaystyle mathbb N 0 vec F text G E perp nbsp Weitere Zeichen Bearbeiten Andere Zeichen die z B Anweisungen enthalten bekommen spezielle mathematische Symbole zugewiesen die nur zum Teil ursprunglich aus Alphabeten stammen Beispiele Zeichen Bedeutung Anwendungsbeispiel Gleichheitszeichen 3 2 9 displaystyle 3 2 9 nbsp lt Vergleichszeichen kleiner als a lt 7 displaystyle a lt 7 nbsp Pluszeichen a 4 7 displaystyle a 4 7 nbsp displaystyle sum nbsp Summenzeichen a i 1 n a i displaystyle a sum i 1 n a i nbsp Re displaystyle operatorname Re nbsp Realteil einer komplexen Zahl Re z displaystyle operatorname Re z nbsp Klammern zur Anderung der Auswertungsreihenfolge 3 a 7 3 a 7 displaystyle 3a 7 neq 3 a 7 nbsp p displaystyle pi nbsp Mathematische Konstante p 3 141 59 displaystyle pi approx 3 14159 nbsp ℵ 0 displaystyle aleph 0 nbsp Machtigkeit der Menge der naturlichen Zahlen ℵ 0 N displaystyle aleph 0 mathbb N nbsp Operatornotation BearbeitenNeben der Festlegung welche Zeichen fur die einzelnen Operatoren verwendet werden z B displaystyle nbsp fur die Addition ist die Festlegung der Reihenfolge von Operatoren und ihren Operanden wichtig In der heute ublichen mathematischen Notation sind viele Varianten gemischt Name Beschreibung BeispielePrafixnotation Operator vor Operanden sin displaystyle sin nbsp Sinus cos displaystyle cos nbsp Kosinus ln displaystyle ln nbsp naturlicher Logarithmus f x displaystyle f x nbsp Funktion von x Postfixnotation Operator nach Operanden displaystyle nbsp Fakultat displaystyle nbsp Ableitung Infixnotation Operator zwischen Operanden displaystyle nbsp Gleichheit displaystyle nbsp Addition displaystyle nbsp Subtraktion displaystyle cdot nbsp Multiplikation displaystyle nbsp Division displaystyle circ nbsp Verkettung displaystyle nbsp Faltung displaystyle in nbsp Element aus lt gt displaystyle lt gt nbsp Vergleich displaystyle lor nbsp Disjunktion displaystyle land nbsp Konjunktion Symbol uber Operanden z displaystyle bar z nbsp Komplexe Konjugation f displaystyle widehat f nbsp Fourier Symbol x displaystyle dot x nbsp Ableitung Klammerung des Operanden displaystyle lfloor cdot rfloor nbsp Gaussklammer fur Abrunden displaystyle lceil cdot rceil nbsp Aufrunden displaystyle cdot nbsp Betrag displaystyle cdot nbsp Norm displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp Skalarprodukt displaystyle sqrt nbsp Wurzel Operatoranwendung ohne Symbole a b displaystyle ab nbsp Multiplikation a b displaystyle a b nbsp Potenz Andere a b displaystyle frac a b nbsp Bruch n k displaystyle n choose k nbsp Binomialkoeffizient Infixnotation Bearbeiten Hauptartikel Infixnotation In der Arithmetik am gebrauchlichsten ist die Infixnotation bei der der Operator zwischen die Operanden gesetzt wird Bei ihr wird die Rechenreihenfolge durch die Wertigkeit der Operationen Punktrechnung vor Strichrechnung bestimmt Durch das Setzen von Klammern kann man Teilausdrucke festlegen die zuerst berechnet werden mussen Beispiel 3 4 5 6 7 8 displaystyle 3 4 5 cdot 6 cdot 7 8 nbsp Ein weiteres Beispiel fur eine Infixnotation ist die in der Logik verwendete Peano Russell Notation p q q p displaystyle p rightarrow q vee q rightarrow p nbsp Prafixnotation Bearbeiten Hauptartikel Prafixnotation Ausdrucke in Infixnotation konnen schnell unubersichtlich werden In den 1920er Jahren entwickelte deshalb der polnische Logiker und Philosoph Jan Lukasiewicz die polnische Notation eine Prafixnotation die ohne Klammern auskommt Die Operatoren werden dabei mit Grossbuchstaben bezeichnet z B C displaystyle C nbsp fur die materiale Implikation hinreichende Bedingung und A displaystyle A nbsp fur die Disjunktion Alternative In polnischer Notation schreibt man den vorgenannten logischen Term so A C p q C q p displaystyle ACpqCqp nbsp Postfixnotation Bearbeiten Hauptartikel Umgekehrte polnische Notation Bei der Postfix Notation schreibt man den Operator nach den zu verknupfenden Argumenten sie wird daher auch umgekehrte polnische Notation UPN genannt Gelegentlich dem australischen Philosophen Charles Hamblin zugeschrieben war sie mit hoher Wahrscheinlichkeit ebenfalls bereits Lukasiewicz bekannt In der Logik wurde die UPN nie verwendet sie erlangte jedoch durch Arbeiten von Hamblin einige Bedeutung in der fruhen Informatik und im fruhen Compilerbau weil sich Ausdrucke in UPN besonders leicht maschinell abarbeiten lassen Aus demselben Grund ubernahm sie die Firma Hewlett Packard in den 60er Jahren fur ihre wissenschaftlichen Taschenrechner Andere Varianten Bearbeiten Andere klammerfreie Notationen sind die Begriffsschriftnotation von Gottlob Frege die Schreibweise des ersten pradikatenlogischen Systems uberhaupt sowie die Existential Graphs von Charles S Peirce Beide weichen zudem stark von den heute gebrauchlichen Notationen ab weil es sich um graphische zweidimensionale Schreibweisen handelt Untersuchung mathematischer Notation BearbeitenMathematische Notation ist Untersuchungsgegenstand unter anderem in folgenden Bereichen Semiotik Geschichte der Mathematik Standardisierung DIN ISO Computeralgebra Programmiersprachen Kunstliche Intelligenz Formale Begriffsanalyse und Verbandstheorie MathematikdidaktikSiehe auch BearbeitenListe mathematischer AbkurzungenLiteratur BearbeitenFlorian Cajori A history of mathematical notations 2 Bande 1928 1929 Dover Publications New York 1993 ISBN 0 486 67766 4 Weblinks BearbeitenJeff Miller Earliest Uses of Various Mathematical Symbols Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mathematische Notation amp oldid 213378668