Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik diejenige Funktion, die jeder natürlichen Zahl das Produkt aller positiven natürlichen Zahlen zuordnet, die diese Zahl nicht übertreffen. Sie wird durch ein dem Funktionsargument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Die Fakultät ist die Einschränkung der Gaußschen Pifunktion auf . Ihre Notation mit dem Ausrufezeichen wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté = „Fähigkeit“ dafür einführte.
| 0! | 1 |
| 1! | 1 |
| 2! | 2 |
| 3! | 6 |
| 4! | 24 |
| 5! | 120 |
| 6! | 720 |
| 7! | 5.040 |
| 8! | 40.320 |
| 9! | 362.880 |
| 10! | 3.628.800 |
| 11! | 39.916.800 |
| 12! | 479.001.600 |
| 13! | 6.227.020.800 |
| 14! | 87.178.291.200 |
| 15! | 1.307.674.368.000 |
| 16! | 20.922.789.888.000 |
| 17! | 355.687.428.096.000 |
| 18! | 6.402.373.705.728.000 |
| 19! | 121.645.100.408.832.000 |
| 20! | 2.432.902.008.176.640.000 |
| 50! | 3,041… · 10 64 |
| 100! | 9,332… · 10157 |
Definition Bearbeiten
Diskrete Standarddefinition Bearbeiten
Für alle natürlichen Zahlen ist
als das Produkt der natürlichen Zahlen von bis definiert. Da das leere Produkt stets gleich 1 ist, gilt:
Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:
Beispielhafte Berechnung der Fakultätswerte der ersten sechs natürlichen Zahlen:
Die Werte der Fakultäten bilden die Folge A000142 in OEIS.
Weierstraßsche Produktdefinition Bearbeiten
Fakultäten im ursprünglichen Sinne sind für negative oder nichtganze Zahlen nicht definiert. Es gibt aber eine Erweiterung der Fakultät auf solche Argumente. Sie wird als Gaußsche Pifunktion bezeichnet und ist für alle reellen Zahlen mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen definiert.
Auf kann die Gaußsche Pifunktion beziehungsweise Fakultätsfunktion als Eulersche Gammafunktion der Nachfolgerfunktion definiert werden:
Das auf der rechten Seite der Gleichungskette gezeigte Produkt wird Weierstraß-Produkt genannt.
Mit wird die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.
Eulersche Produktdefinition Bearbeiten
Eine zur genannten Weierstrassschen Definition identische Definition der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaussschen Pifunktion ist die Definition dieser Funktion nach Leonhard Euler:
Diese Formel tauchte insbesondere in einem Brief von Leonhard Euler an den Mathematiker Christian Goldbach am 13. Oktober 1729 auf.
Für diese Formel sollen im nun Folgenden einige Beispiele angeführt werden:
Eines der bekanntesten Beispiele mit dieser Reihe kommt für den Abszissenwert hervor:
Die nun gezeigte Produktreihe wird als Wallissches Produkt bezeichnet.
Eulersche Integraldefinition Bearbeiten
Eine sehr nahe Verwandtschaft mit der soeben gezeigten Produkt weist das Eulersche Integral zweiter Art auf, welches ebenso von Leonhard Euler entdeckt wurde. Das Eulersche Integral zweiter Art oder auch das Eulersche Integral zweiter Gattung definiert die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion für alle Zahlen größer als Minus Eins:
Im Gegensatz zu den zuvor genannten Produktformeln ist diese Formel jedoch nur für Werte gültig. Denn wenn der Wert ist, dann divergiert das Integral und gibt den wirklichen Fakultätswert nicht wieder. Aber im konvergenten Bereich liefert die Integralformel für jeden Wert exakt den zugehörigen Fakultätswert beziehungsweise Gaussschen Pifunktionswert. Auch für diese Formel soll im nun Folgenden eine Tabelle von Beispielwerten aufgestellt werden:
Im Abschnitt zuvor wurde dieses Endresultat genannt:
Mit dem Eulerschen Integral kann nun folgendes Resultat über das Integral der Gaussschen Glockenkurve hervorgebracht werden:
Dieses Integral liefert die Grundlage für das sogenannte Fehlerintegral und dieses findet bei der sogenannten Normalverteilung Anwendung.
Fakultätswerte von Brüchen Bearbeiten
Aus Übersichtlichkeitsgründen werden die Fakultäten der Brüche hier mit der Gaußschen Pifunktion dargestellt und mit Hilfe der Zentralbinomialkoeffizienten (CBC) sowie mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals erster Art ausgedrückt. Wie oben erwähnt, ist die kontinuierliche Fakultätsfunktion gleich der Gaußschen Pifunktion. Das bedeutet, dass die Gaußsche Pifunktion für natürlichzahlige Abszissenwerte mit der Fakultät nach der diskreten Standarddefinition identisch ist.
Für den Zentralbinomialkoeffizienten gilt:
| Fakultät | CBC-Ausdruck | K-Ausdruck |
Das sind die Werte der Zentralbinomialkoeffizienten:
Mit dem Kürzel wird die Lemniskatische Konstante ausgedrückt.
Dabei hat das vollständige elliptische Integral erster Art diese Definition:
Diese beiden nun genannten Definitionsformeln für das elliptische K-Integral stimmen miteinander überein.
Die gezeigten Werte des Zentralbinomialkoeffizienten können sehr leicht durch diese Formeln erzeugt werden:
Generell gilt dann folgende Formel für alle :
Im letzten Schritt wird auf folgende Weise substituiert:
Das zuletzt genannte Integral ermöglicht die Ermittlung der CBC-Werte von Brüchen mit Hilfe einfacher elliptischer Stammfunktionen.
Die Pifunktionswerte der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen ergeben sich stets durch Multiplikation von Potenzen der Zentralbinomialkoeffizienten aus den Zweierpotenz-Vielfachen der genannten Kehrwerte:
| Fakultät | CBC-Ausdruck |
Theoreme Bearbeiten
Basistheorem Bearbeiten
Das grundlegendste Theorem über die Fakultätsfunktion ist:
Eulerscher Ergänzungssatz Bearbeiten
Im Jahre 1749 hat der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler einen Ergänzungssatz entdeckt, welcher nach ihm benannt wurde. Im nun Folgenden wird der Eulersche Ergänzungssatz mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:
Legendresche Verdopplungsformel Bearbeiten
Im Jahre 1809 hat der französische Mathematiker Adrien Marie Legendre die Verdopplungsformel für die Fakultät entdeckt, welcher mittels Gammafunktionsausdrücken in der Sammlung Mémoires de l'Institut des Sciences et Arts aus dem Institut de France verewigt ist. Auch diese Identität wird hier mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:
Herleitungen über die Fakultätsfunktion Bearbeiten
Herleitung des Eulerschen Integrals Bearbeiten
Gegeben ist die diskrete und ebenso ursprünglichste Definition der Fakultätsfunktion für alle natürlichen Zahlen nach dem oben genannten Muster:
Diese diskret definierte Funktionsdefinition erfüllt folgendes Induktionskriterium aus folgenden zwei verknüpften Formeln:
Das Eulersche Integral zweiter Art oder zweiter Gattung wurde in einem weiter oben liegenden Absatz genannt und hat diese definierende Formel:
Diese Formel ist deswegen gültig, weil sie die nun genannte Induktion erfüllt:
Aus und folgt direkt.
Herleitung der Stammfunktion von H über Induktion Bearbeiten
Für alle reellen Zahlen ist die harmonische Reihenfunktion nach Karl Weierstraß so definiert:
An der Summenreihe ist das Rekursionskriterium ablesbar:
Für alle Zahlen gilt dann auch diese Summe:
Das Integral der harmonischen Reihenfunktion führt direkt zur Definition der Mascheronischen Konstante:
Im Folgenden werden die Integralgrenzen verschoben. So ist dann für alle natürlichen Werte die folgende Beziehung gültig:
Das Resultat dieser Gleichungskette lautet somit wie folgt:
Aus diesem Resultat folgt durch Induktion diese Überleitung:
Denn die Summe der Logarithmen ist gleich dem Logarithmus des Produkts.
Direkt daraus entsteht dann die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion:
Die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion wird somit auf folgende Weise abgeleitet:
Herleitung der Produktreihe nach Weierstraß Bearbeiten
Nach der vorherigen Herleitung gilt für alle Werte auch diese Formel:
Wie beschrieben hat die harmonischen Reihenfunktion diese Definition:
Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x folgt dann diese Gleichung:
Die zweite Potenzregel besagt, dass die Exponentialfunktion aus einer Summe gleich dem Produkt aus den Exponentialfunktionen ist:
Durch weitere Anwendung der zweiten Potenzregel entsteht folgender Ausdruck:
So kommt direkt die Produktreihe nach Weierstraß hervor, die für alle Zahlen Gültigkeit hat:
Anwendungen Bearbeiten
Permutationen Bearbeiten
In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil die Anzahl der Möglichkeiten ist, unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls eine -elementige Menge ist, so ist auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall , da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.
Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also
verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.
Binomialkoeffizienten Bearbeiten
Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient
Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine -elementige Teilmenge aus einer -elementigen Menge auszuwählen. Umgekehrt gilt
Zum Beispiel gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49 insgesamt 13983816 Möglichkeiten, sich sechs verschiedene Kugeln auszusuchen:
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Lottospiel 6 aus 49 zu gewinnen, nur 1/13983816 und somit weniger als ein Zehnmillionstel beträgt.
Ein anderes Beispiel ist ein Sack voller farbiger Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, aus insgesamt roten, grünen und blauen Murmeln genau rote, grüne und blaue Murmeln zu ziehen, wobei man insgesamt Murmeln herausnehmen soll, hat folgenden Wert:
Wenn beispielsweise aus einem Murmelsack mit insgesamt roten, grünen und blauen Murmeln genau sechs Murmeln blind herausgenommen werden sollen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den sechs herausgenommenen Murmeln genau rote, grüne und blaue Murmeln befinden, exakt :
Geburtstagsproblem Bearbeiten
Das Geburtstagsproblem ist ein stochastisch-kombinatorisches Rätsel über die Fakultät. Bei diesem Rätsel geht es um die Wahrscheinlichkeit, mit der in einer gegebenen Gruppe von insgesamt Personen mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Der Einfachheit halber geht man dabei von Nicht-Schaltjahren, also Jahren mit 365 Tagen aus. In Abhängigkeit von der Personenzahl wird diese Wahrscheinlichkeit mit dieser Formel berechnet:
Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter zehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als zehn Prozent, und die Wahrscheinlichkeit, dass unter fünfzehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als fünfundzwanzig Prozent:
Taylorsche Reihen und Eulersche Zahl Bearbeiten
Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen glatter Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.
Die Exponentialfunktion hat die einfachtste aller Taylorreihen mit Fakultäten in Abhängigkeit vom Index im Nenner des Summanden:
Die Funktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus haben ebenso vorzeichengleiche Reihen, während die Funktionen Sinus und Kosinus alternierende Reihen haben:
Die Eulersche Zahl lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:
Der Kehrwert der Eulerschen Zahl wird durch die alternierende Differenz desselben Musters hervorgebracht:
Wenn auf die gleiche Weise die Taylorschen Reihen mit den Quadraten der Fakultäten im Nenner in Abhängigkeit vom Index hervorgerufen werden, dann sind die zugehörigen erzeugenden Funktionen die Besselschen Funktionen aus der Gruppe der nicht elementaren Funktionen:
Die Summe der Kehrwerte der Quadrate der Fakultäten ergibt somit diesen Wert:
Und die zugehörige alternierende Differenz ergibt folgenden Wert:
Die Besselschen Funktionen spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. So tauchen sie in der Mechanik bei der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, in der Thermodynamik bei der Wärmeleitung in Stäben, in der Elektrodynamik bei der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, in der Optik bei der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern und in der Atomphysik bei der Leistungsverteilung in Kernreaktoren auf.
Numerische Berechnung und Näherung Bearbeiten
Rekursive und iterative Berechnung Bearbeiten
Der numerische Wert für kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls nicht zu groß ist.
Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist da außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist .
Pythonprogramm Bearbeiten
Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z. B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein Intel Pentium 4 für die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.
# Syntax: Python 3.7 n = int(input('Fakultät von n = ')) f = 1 for i in range(1, n + 1): f *= i print(f'{n}! = {f}') Rekursive Lösung
def fak(n: int) -> int: return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1) Näherung mit der Stirling-Formel Bearbeiten
Wenn groß ist, bekommt man eine gute Näherung für mit Hilfe der Stirling-Formel:
Dabei bedeutet , dass der Quotient aus linker und rechter Seite für gegen konvergiert.
Durch Approximation (statt Abschneiden) der Stirling-Reihe gelang Bill Gosper eine noch bessere Näherung:
Fakultät-ähnliche Funktionen Bearbeiten
Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:
Gammafunktion Bearbeiten
Die Gammafunktion verallgemeinert die Fakultät und ist eine stetige Fortsetzung ihres Definitionsbereichs von den natürlichen hin zu den komplexen Zahlen:
Faktorielle Bearbeiten
Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen und dar, denn .
Primorial (Primfakultät) Bearbeiten
| n | n# | n | n# |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 5 | 30 |
| 2 | 2 | 6 | 30 |
| 3 | 6 | 7 | 210 |
| 4 | 6 | 8 | 210 |
Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:
Subfakultät Bearbeiten
| n | !n | n | !n |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 5 | 44 |
| 2 | 1 | 6 | 265 |
| 3 | 2 | 7 | 1854 |
| 4 | 9 | 8 | 14833 |
Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät
bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von Elementen.
Doppelfakultät Bearbeiten
| n | n!! | n | n!! |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 5 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 48 |
| 3 | 3 | 7 | 105 |
| 4 | 8 | 8 | 384 |
Definition Bearbeiten
Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich . Für ungerade ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich .
Sie ist definiert als:
Oft werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt:
Werden nicht-ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, sodass für alle ungeraden ganzen Zahlen gilt. Man erhält die Formel für ungerade .
Die Werte der Doppelfakultäten bilden die Folge A006882 in OEIS.
Beispiele Bearbeiten
Anwendungsbeispiele Bearbeiten
- Die Anzahl der -stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus Elementen wird gegeben durch die Rekursion mit Rekursionsanfang (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt . Sollen z. B. Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch .
- Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe ist .
- Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von Elementen ist .
- Das -te Moment der Standardnormalverteilung ist .
- Auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf.
- Für natürliche gilt .
Multifakultät Bearbeiten
Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (), vierfache (), …, -fache Fakultät () rekursiv definiert als
Verwandte Funktionen Bearbeiten
Superfakultät und Hyperfakultät Bearbeiten
Natürlicher Logarithmus der Fakultät Bearbeiten
Folgende Integralidentität für den Logarithmus naturalis der Fakultätsfunktion ist gültig:
Diese nun gezeigte Gleichung kommt auch durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich von folgender Formel hervor:
Aus der gezeigten Formel kann das Element der Mascheroni-Konstante so entfernt werden:
Für nähere Herleitungen siehe den Artikel Euler-Mascheroni-Konstante.
Für die Debyeschen Funktionen gilt:
Die zuvor genannte Integralidentität für die Harmonische Reihenfunktion kann so dargestellt werden: