Ein Mittlerer Binomialkoeffizient oder auch Zentralbinomialkoeffizient ist ein in der mittigsten Spalte des Pascalschen Dreieckes vorhandener Binomialkoeffizient Somit sind die Mittleren Binomialkoeffizienten exakt diejenigen Binomialkoeffizienten die auf der Symmetrieachse dieses Dreiecks liegen Zugleich ist der Mittlere Binomialkoeffizient eine nicht elementare mathematische Funktion die als Quotient der Fakultat der Verdopplungsfunktion dividiert durch das Quadrat der Fakultat der Identischen Abbildungsfunktion definiert ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Darstellungen 3 Funktionalgleichungen 4 Wertelisten 5 Zahlentheoretische Eigenschaften 6 Integraldarstellungen 7 Ableitung und Integrale 7 1 Ableitung 7 2 Integral vom Zentralbinomialkoeffizienten 7 3 Integral vom Kehrwert des Zentralbinomialkoeffizienten 8 Verallgemeinerte Summenreihen 8 1 Taylorsche Reihen mit Zentralbinomialkoeffizienten 8 2 Ramanujansche Summenreihen fur die Kreiszahlberechnung 9 Konkrete Summenreihen 9 1 Summenreihen mit algebraischen Resultaten 9 2 Reihen mit Kehrwerten der Zentralbinomialkoeffizienten 9 3 Verallgemeinerungen 9 4 Vandermondesche Identitat 10 Verwandte Begriffe 11 Verallgemeinerung 12 Siehe auch 13 Literatur 14 Weblinks 15 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIn der Mathematik ist der n displaystyle n nbsp te mittlere Binomialkoeffizient fur eine nichtnegative ganze Zahl n displaystyle n nbsp gegeben durch CBC n 2 n n 2 n n 2 P 2 n P n 2 displaystyle operatorname CBC n 2n choose n frac 2n n 2 frac Pi 2n Pi n 2 nbsp Verallgemeinert hat ein Binomialkoeffizient generell diese Definition a b a b a b P a P b P a b displaystyle a choose b frac a b a b frac Pi a Pi b Pi a b nbsp Die Gausssche Pifunktion definiert als Gammafunktion der Nachfolgerfunktion bringt somit eine Definition des mittleren Binomialkoeffizienten fur alle komplexen Zahlen hervor Das Kurzel CBC 1 2 steht fur den englischen Begriff Central Binomial Coefficient und wurde unter anderem durch die Mathematiker David Kessler and Jeremy Schiff eingefuhrt Die Fakultatsfunktion beziehungsweise Gausssche Pifunktion ist nach Weierstrass fur alle komplexen Werte x C displaystyle x in mathbb C nbsp durch diese Formel 3 gegeben x P x G x 1 exp g x n 1 1 x n 1 exp x n displaystyle x Pi x Gamma x 1 exp gamma x prod n 1 infty bigl bigl 1 frac x n bigr 1 exp bigl frac x n bigr bigr nbsp Dieser Ausdruck fur die Fakultatsfunktion wird Weierstrasssches Produkt genannt Dabei stellt der kleine griechische Gammabuchstabe die Euler Mascheroni Konstante dar Somit kann der Zentralbinomialkoeffizient auch direkt als unendliches Produkt definiert werden CBC x n 1 1 x n 2 1 2 x n 1 displaystyle operatorname CBC x prod n 1 infty bigl bigl 1 frac x n bigr 2 bigl 1 frac 2x n bigr 1 bigr nbsp Ebenso kann fur x jenseits von den ungeraden Vielfachen der Zahl Einhalb auch folgende Definition aufgestellt werden CBC x 2 x x 4 x sec p x p G 1 2 x G 1 x displaystyle operatorname CBC x binom 2x x frac 4 x sec pi x sqrt pi Gamma frac 1 2 x Gamma 1 x nbsp Diese Definition ergibt sich mit dem Eulerschen Erganzungssatz Der Name mittlerer Binomialkoeffizient kommt daher dass diese Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck genau in der Zeilenmitte liegen 1 displaystyle mathbf 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle mathbf 2 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 6 displaystyle mathbf 6 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 10 displaystyle 10 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 15 displaystyle 15 nbsp 20 displaystyle mathbf 20 nbsp 15 displaystyle 15 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 7 displaystyle 7 nbsp 21 displaystyle 21 nbsp 35 displaystyle 35 nbsp 35 displaystyle 35 nbsp 21 displaystyle 21 nbsp 7 displaystyle 7 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 8 displaystyle 8 nbsp 28 displaystyle 28 nbsp 56 displaystyle 56 nbsp 70 displaystyle mathbf 70 nbsp 56 displaystyle 56 nbsp 28 displaystyle 28 nbsp 8 displaystyle 8 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten sind also Folge A000984 in OEIS 1 2 6 20 70 252 924 3432 12870 48620 Darstellungen BearbeitenEs gilt 2 n n 2 2 n 1 3 5 2 n 1 2 4 6 2 n displaystyle 2n choose n 2 2n cdot frac 1 cdot 3 cdot 5 cdots 2n 1 2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n nbsp Der Bruch ist verwandt mit dem Wallis Produkt Nach der Vandermonde Faltung gilt 2 n n k 0 n n k 2 displaystyle 2n choose n sum k 0 n n choose k 2 nbsp Funktionalgleichungen BearbeitenFur den Mittleren Binomialkoeffizienten gelten diese Formeln CBC x 1 4 x 2 x 1 CBC x displaystyle operatorname CBC x 1 frac 4x 2 x 1 operatorname CBC x nbsp Deswegen gilt lim x CBC x 1 CBC x 4 displaystyle lim x rightarrow infty frac operatorname CBC x 1 operatorname CBC x 4 nbsp Basierend auf dem Eulerschen Erganzungssatz kann folgende Formel hervorgerufen werden p x 1 x CBC x CBC 1 x 2 4 x tan p x displaystyle pi x 1 x operatorname CBC x operatorname CBC 1 x 2 4 x tan pi x nbsp Der Zentralbinomialkoeffizient erfullt ausserdem folgenden weiteren Grenzwert lim x 1 4 x CBC x p x 1 displaystyle lim x rightarrow infty frac 1 4 x operatorname CBC x sqrt pi x 1 nbsp Dieser Grenzwert geht direkt aus der Stirlingschen Formel hervor Mit Hilfe dieser Formel erhalt man die fur alle Werte n 1 displaystyle n geq 1 nbsp gultige Abschatzungsformel 1 2 4 n p n lt 2 n n lt 4 n p n displaystyle frac 1 2 frac 4 n sqrt pi n lt 2n choose n lt frac 4 n sqrt pi n nbsp Also gilt zur Notation siehe Landau Symbol 2 n n 8 4 n n displaystyle 2n choose n in Theta left frac 4 n sqrt n right nbsp Wertelisten BearbeitenFunktionswerte fur ganze Abszissenwerte CBC 0 0 0 2 1 1 1 displaystyle operatorname CBC 0 frac 0 0 2 frac 1 1 1 nbsp CBC 1 2 1 2 2 1 2 displaystyle operatorname CBC 1 frac 2 1 2 frac 2 1 2 nbsp CBC 2 4 2 2 24 4 6 displaystyle operatorname CBC 2 frac 4 2 2 frac 24 4 6 nbsp CBC 3 6 3 2 720 36 20 displaystyle operatorname CBC 3 frac 6 3 2 frac 720 36 20 nbsp CBC 4 8 4 2 40320 576 70 displaystyle operatorname CBC 4 frac 8 4 2 frac 40320 576 70 nbsp CBC 5 10 5 2 3628800 14400 252 displaystyle operatorname CBC 5 frac 10 5 2 frac 3628800 14400 252 nbsp CBC 6 12 6 2 479001600 518400 924 displaystyle operatorname CBC 6 frac 12 6 2 frac 479001600 518400 924 nbsp Elementare und lemniskatische Funktionswerte fur Bruch Abszissenwerte CBC 1 2 4 p displaystyle operatorname CBC bigl frac 1 2 bigr frac 4 pi nbsp CBC 1 4 2 2 ϖ displaystyle operatorname CBC bigl frac 1 4 bigr frac 2 sqrt 2 varpi nbsp CBC 3 4 4 2 ϖ 3 p displaystyle operatorname CBC bigl frac 3 4 bigr frac 4 sqrt 2 varpi 3 pi nbsp Aquianharmonische Funktionswerte fur Bruch Abszissenwerte CBC 1 3 m 1 3 m 1 2 3 m 3 m 2 1 2 4 3 27 4 K sin 1 12 p 1 displaystyle operatorname CBC bigl frac 1 3 bigr prod m 1 infty frac 3m 1 2 3m 3m 2 frac 1 2 sqrt 3 4 sqrt 4 27 K bigl sin bigl frac 1 12 pi bigr bigr 1 nbsp CBC 2 3 m 1 3 m 2 2 3 m 3 m 4 1 p 2 3 27 4 K sin 1 12 p displaystyle operatorname CBC bigl frac 2 3 bigr prod m 1 infty frac 3m 2 2 3m 3m 4 frac 1 pi sqrt 3 2 sqrt 4 27 K bigl sin bigl frac 1 12 pi bigr bigr nbsp CBC 1 6 m 1 6 m 1 2 12 m 3 m 1 2 3 3 4 K sin 1 12 p 1 displaystyle operatorname CBC bigl frac 1 6 bigr prod m 1 infty frac 6m 1 2 12m 3m 1 sqrt 3 2 sqrt 4 3 K bigl sin bigl frac 1 12 pi bigr bigr 1 nbsp CBC 5 6 m 1 6 m 5 2 12 m 3 m 5 8 5 p 4 3 3 4 K sin 1 12 p displaystyle operatorname CBC bigl frac 5 6 bigr prod m 1 infty frac 6m 5 2 12m 3m 5 frac 8 5 pi sqrt 3 4 sqrt 4 3 K bigl sin bigl frac 1 12 pi bigr bigr nbsp Weitere mit elliptischen Integralen erster Art darstellbare CBC Werte von rationalen Abszissenwerten CBC 1 8 m 1 8 m 1 2 16 m 4 m 1 8 4 K 2 1 1 displaystyle operatorname CBC bigl frac 1 8 bigr prod m 1 infty frac 8m 1 2 16m 4m 1 sqrt 4 8 K bigl sqrt 2 1 bigr 1 nbsp CBC 3 8 m 1 8 m 3 2 16 m 4 m 3 2 3 2 4 K 2 1 1 displaystyle operatorname CBC bigl frac 3 8 bigr prod m 1 infty frac 8m 3 2 16m 4m 3 frac 2 3 sqrt 4 2 K bigl sqrt 2 1 bigr 1 nbsp CBC 1 20 m 1 20 m 1 2 40 m 10 m 1 2 10 5 4 cos 1 10 p 1 2 sec 1 20 p K sin 1 2 arcsin 5 2 1 displaystyle operatorname CBC bigl frac 1 20 bigr prod m 1 infty frac 20m 1 2 40m 10m 1 sqrt 10 2 sqrt 4 5 cos bigl frac 1 10 pi bigr 1 2 sec bigl frac 1 20 pi bigr K bigl sin bigl frac 1 2 arcsin bigl sqrt 5 2 bigr bigr bigr 1 nbsp CBC 3 20 m 1 20 m 3 2 40 m 10 m 3 4 3 8 10 5 cos 1 10 p 1 2 sin 3 20 p K sin 1 2 arcsin 5 2 1 displaystyle operatorname CBC bigl frac 3 20 bigr prod m 1 infty frac 20m 3 2 40m 10m 3 frac 4 3 sqrt 10 8 sqrt 5 cos bigl frac 1 10 pi bigr 1 2 sin bigl frac 3 20 pi bigr K bigl sin bigl frac 1 2 arcsin bigl sqrt 5 2 bigr bigr bigr 1 nbsp CBC 1 24 m 1 24 m 1 2 48 m 12 m 1 2 12 3 4 2 1 3 1 K 2 3 3 2 1 displaystyle operatorname CBC bigl frac 1 24 bigr prod m 1 infty frac 24m 1 2 48m 12m 1 sqrt 12 2 sqrt 4 3 sqrt 2 1 sqrt 3 1 K bigl bigl 2 sqrt 3 bigr bigl sqrt 3 sqrt 2 bigr bigr 1 nbsp CBC 5 24 m 1 24 m 5 2 48 m 12 m 5 1 5 32 12 27 4 3 1 K 2 3 3 2 1 displaystyle operatorname CBC bigl frac 5 24 bigr prod m 1 infty frac 24m 5 2 48m 12m 5 frac 1 5 sqrt 12 32 sqrt 4 27 sqrt 3 1 K bigl bigl 2 sqrt 3 bigr bigl sqrt 3 sqrt 2 bigr bigr 1 nbsp Dabei steht der Buchstabe K fur das vollstandige Elliptische Integral erster Art K e 0 p 2 1 1 e 2 sin f 2 d f 0 1 2 x 2 1 2 4 e 2 x 2 d x displaystyle K varepsilon int 0 pi 2 frac 1 sqrt 1 varepsilon 2 sin varphi 2 mathrm d varphi int 0 1 frac 2 sqrt x 2 1 2 4 varepsilon 2 x 2 mathrm d x nbsp Siehe hierzu auch den Artikel Wallissches Produkt Zahlentheoretische Eigenschaften BearbeitenNach dem Satz von Wolstenholme gilt fur Primzahlen p 5 displaystyle p geq 5 nbsp 2 p p 2 mod p 3 displaystyle 2p choose p equiv 2 mod p 3 nbsp fur die Symbolik siehe Kongruenz Zahlentheorie Ausserdem kommen keine ungeraden Zahlen ausser 1 displaystyle 1 nbsp vor Weiterhin gilt dass die Zahlen fur n gt 4 displaystyle n gt 4 nbsp nie quadratfrei sind siehe Satz von Sarkozy Integraldarstellungen BearbeitenEine Integraldarstellung lautet wie folgt CBC n 2 n n 2 2 n 1 p 0 d x x 2 1 n 1 displaystyle operatorname CBC n binom 2n n frac 2 2n 1 pi int limits 0 infty frac mathrm d x x 2 1 n 1 nbsp 4 Auch fur die Kehrwerte der Zentralbinomialkoeffizienten gibt es eine kurze gultige Formel 1 CBC n 0 1 n x n 1 x 1 2 n d x displaystyle frac 1 operatorname CBC n int 0 1 frac n x n 1 x 1 2n mathrm d x nbsp Mit diesem Ausdruck kann man auch Summenreihen mit dem Kehrwert des mittleren binomialen Koeffizienten bezuglich des Summenindex beweisen Unendliche Summe von den Kehrwerten der Mittleren Binomialen Koeffizienten n 1 1 CBC n n 1 0 1 n x n 1 x 1 2 n d x 0 1 n 1 n x n 1 x 1 2 n d x displaystyle sum n 1 infty frac 1 operatorname CBC n sum n 1 infty int 0 1 frac n x n 1 x 1 2n mathrm d x int 0 1 sum n 1 infty frac n x n 1 x 1 2n mathrm d x nbsp 0 1 x 1 2 x 2 x 1 2 d x 4 9 3 arctan 1 3 3 2 x 1 x 2 3 x 2 x 1 x 0 x 1 2 27 3 p 1 3 displaystyle int 0 1 frac x 1 2 x 2 x 1 2 mathrm d x biggl frac 4 9 sqrt 3 arctan bigl frac 1 3 sqrt 3 bigl 2x 1 bigr bigr frac x 2 3 x 2 x 1 biggr x 0 x 1 frac 2 27 sqrt 3 pi frac 1 3 nbsp Eine weitere unendliche Summe mit einem elementar darstellbaren Wert n 1 1 n CBC n n 1 0 1 x n 1 x 1 2 n d x 0 1 n 1 x n 1 x 1 2 n d x displaystyle sum n 1 infty frac 1 n operatorname CBC n sum n 1 infty int 0 1 frac x n 1 x 1 2n mathrm d x int 0 1 sum n 1 infty frac x n 1 x 1 2n mathrm d x nbsp 0 1 1 x 2 x 1 d x 2 3 3 arctan 1 3 3 2 x 1 x 0 x 1 1 9 3 p displaystyle int 0 1 frac 1 x 2 x 1 mathrm d x biggl frac 2 3 sqrt 3 arctan bigl frac 1 3 sqrt 3 bigl 2x 1 bigr bigr biggr x 0 x 1 frac 1 9 sqrt 3 pi nbsp Eine unendliche Summe mit einem nicht elementar darstellbaren Wert n 1 1 n 2 CBC n n 1 0 1 x n 1 n x 1 2 n d x 0 1 n 1 x n 1 n x 1 2 n d x displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 operatorname CBC n sum n 1 infty int 0 1 frac x n 1 n x 1 2n mathrm d x int 0 1 sum n 1 infty frac x n 1 n x 1 2n mathrm d x nbsp 0 1 1 x ln x 1 2 x 2 x 1 d x 1 3 Li 2 1 p 2 18 displaystyle int 0 1 frac 1 x ln biggl frac x 1 2 x 2 x 1 biggr mathrm d x frac 1 3 operatorname Li 2 1 frac pi 2 18 nbsp Und generell gilt fur alle Werte z N displaystyle z in mathbb N nbsp diese Formel n 1 1 n z 1 CBC n 0 1 1 x Li z x x 1 2 d x displaystyle sum n 1 infty frac 1 n z 1 operatorname CBC n int 0 1 frac 1 x operatorname Li z biggl frac x x 1 2 biggr mathrm d x nbsp Mit dem Kurzel Li displaystyle operatorname Li nbsp wird der Polylogarithmus dargestellt Ableitung und Integrale BearbeitenAbleitung Bearbeiten Der Mittlere Binomialkoeffizient wird so abgeleitet d d x CBC x 2 CBC x H 2 x H x displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname CBC x 2 operatorname CBC x bigl operatorname H 2x operatorname H x bigr nbsp Mit dem Buchstaben H wird die Harmonische Reihenfunktion ausgedruckt H x n 1 1 n 1 n x displaystyle operatorname H x sum n 1 infty bigl frac 1 n frac 1 n x bigr nbsp Alternativ hierzu kann die Ableitung der Zentralbinomialkoeffizientenfunktion auch mit der Digammafunktion ausgedruckt werden d d x CBC x 2 CBC x ps 2 x 1 ps x 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname CBC x 2 operatorname CBC x bigl psi 2x 1 psi x 1 bigr nbsp Denn zwischen der Harmonischen Reihenfunktion und der Digammafunktion besteht folgender Zusammenhang H x ps x 1 g displaystyle operatorname H x psi x 1 gamma nbsp Integral vom Zentralbinomialkoeffizienten Bearbeiten Die Ursprungsstammfunktion der Zentralbinomialkoeffizientenfunktion wird so hervorgerufen 0 x CBC w d w 0 2 2 x 1 2 y 2 1 x p ln 4 ln y 2 1 y 2 1 x 1 d y displaystyle int 0 x operatorname CBC w mathrm d w int 0 infty frac 2 2x 1 2 y 2 1 x pi bigl ln 4 ln y 2 1 bigr y 2 1 x 1 mathrm d y nbsp Denn diese Ableitung ist fur diese Ursprungsstammfunktion gultig d d x 2 2 x 1 2 y 2 1 x p ln 4 ln y 2 1 y 2 1 x 1 2 2 x 1 p y 2 1 x 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x frac 2 2x 1 2 y 2 1 x pi bigl ln 4 ln y 2 1 bigr y 2 1 x 1 frac 2 2x 1 pi y 2 1 x 1 nbsp Und der Zentralbinomialkoeffizient hat diese Integralidentitat CBC x 0 2 2 x 1 p y 2 1 x 1 d y displaystyle operatorname CBC x int 0 infty frac 2 2x 1 pi y 2 1 x 1 mathrm d y nbsp Beispielrechnung 0 1 CBC w d w 0 6 2 y 2 p ln 4 ln y 2 1 y 2 1 2 d y 1 346 102293273794904 displaystyle int 0 1 operatorname CBC w mathrm d w int 0 infty frac 6 2y 2 pi bigl ln 4 ln y 2 1 bigr y 2 1 2 mathrm d y approx 1 346102293273794904 nbsp Integral vom Kehrwert des Zentralbinomialkoeffizienten Bearbeiten Die Ursprungsstammfunktion vom Kehrwert des Zentralbinomialkoeffizienten wird jedoch auf folgende Weise hervorgerufen 0 x 1 CBC w d w 0 1 y x 1 y 2 x x ln y 2 x ln 1 y 1 1 y 2 ln 1 y ln y 2 d y displaystyle int 0 x frac 1 operatorname CBC w mathrm d w int 0 1 frac y x 1 y 2x bigl x ln y 2x ln 1 y 1 bigr 1 y bigl 2 ln 1 y ln y bigr 2 mathrm d y nbsp Denn diese Ableitung ist gultig d d x y x 1 y 2 x x ln y 2 x ln 1 y 1 1 y 2 ln 1 y ln y 2 x y x 1 1 y 2 x displaystyle frac mathrm d mathrm d x frac y x 1 y 2x bigl x ln y 2x ln 1 y 1 bigr 1 y bigl 2 ln 1 y ln y bigr 2 frac x y x 1 1 y 2x nbsp Und der Kehrwert vom Zentralbinomialkoeffizienten hat diese Integralidentitat 1 CBC x 0 1 x y x 1 1 y 2 x d y displaystyle frac 1 operatorname CBC x int 0 1 frac x y x 1 1 y 2x mathrm d y nbsp Beispielrechnung 0 1 1 CBC w d w 0 1 y 1 y 2 ln y 2 ln 1 y 1 1 y 2 ln 1 y ln y 2 d y 0 776 990069651539867872 displaystyle int 0 1 frac 1 operatorname CBC w mathrm d w int 0 1 frac y 1 y 2 bigl ln y 2 ln 1 y 1 bigr 1 y bigl 2 ln 1 y ln y bigr 2 mathrm d y approx 0 776990069651539867872 nbsp Verallgemeinerte Summenreihen BearbeitenTaylorsche Reihen mit Zentralbinomialkoeffizienten Bearbeiten Fur viele elementare Funktionen und auch fur viele nicht elementare Funktionen konnen die zugehorigen Taylor Reihen beziehungsweise MacLaurin Reihen vereinfacht mit Hilfe der Mittleren Binomialen Koeffizienten dargestellt werden Dies ist die erzeugende Funktion fur die mittleren Binomialkoeffizienten 1 1 4 x m 0 CBC m x m 1 2 x 6 x 2 20 x 3 70 x 4 252 x 5 displaystyle frac 1 sqrt 1 4x sum m 0 infty operatorname CBC m x m mathbf 1 mathbf 2 x mathbf 6 x 2 mathbf 20 x 3 mathbf 70 x 4 mathbf 252 x 5 cdots nbsp Um den inneren Faktor 4 gestreckt ergibt sich ein Analogon aus welchem durch Integration und weitere Abwandlungen noch mehr erzeugende Funktionen von Abwandlungen der Zentralbinomialkoeffizietnen ergeben Durch Quadratur dieser mittleren Binomialkoeffizienten erhalt man weitere Summenreihen mit ihren zugehorigen Funktionen Im Folgenden werden einige Identitaten nach diesem Muster aufgelistet Summenreihen mit Koeffizienten des Musters CBC x 1 displaystyle operatorname CBC x 1 nbsp m 0 CBC m 4 m x m 1 1 x displaystyle sum m 0 infty frac operatorname CBC m 4 m x m frac 1 sqrt 1 x nbsp m 0 CBC m 4 m 2 m 1 x 2 m 1 arcsin x displaystyle sum m 0 infty frac operatorname CBC m 4 m 2m 1 x 2m 1 arcsin x nbsp m 0 CBC m 4 m 4 m 1 x 4 m 1 arcsl x displaystyle sum m 0 infty frac operatorname CBC m 4 m 4m 1 x 4m 1 operatorname arcsl x nbsp Summenreihen mit Koeffizienten des Musters CBC x 2 displaystyle operatorname CBC x 2 nbsp m 0 CBC m 2 16 m x m 4 p 1 1 x K 1 1 x 1 1 x displaystyle sum m 0 infty frac operatorname CBC m 2 16 m x m frac 4 pi 1 sqrt 1 x K left frac 1 sqrt 1 x 1 sqrt 1 x right nbsp m 0 CBC m 2 16 m x 2 m 2 p K x displaystyle sum m 0 infty frac operatorname CBC m 2 16 m x 2m frac 2 pi K x nbsp m 0 CBC m 2 16 m 1 2 m x 2 m 2 p E x displaystyle sum m 0 infty frac operatorname CBC m 2 16 m 1 2m x 2m frac 2 pi E x nbsp Summenreihen mit Koeffizienten des Musters CBC x 1 displaystyle operatorname CBC x 1 nbsp m 0 4 m CBC m x 2 m 1 1 x 2 x arcsin x 1 x 2 3 2 displaystyle sum m 0 infty frac 4 m operatorname CBC m x 2m frac 1 1 x 2 frac x arcsin x 1 x 2 3 2 nbsp m 0 4 m 2 m 1 CBC m x 2 m 1 arcsin x 1 x 2 displaystyle sum m 0 infty frac 4 m 2m 1 operatorname CBC m x 2m 1 frac arcsin x sqrt 1 x 2 nbsp m 0 4 m m 1 2 m 1 CBC m x 2 m 2 arcsin x 2 displaystyle sum m 0 infty frac 4 m m 1 2m 1 operatorname CBC m x 2m 2 arcsin x 2 nbsp m 0 4 m 2 m 1 2 CBC m x 2 m 1 2 Ti 2 x 1 1 x 2 displaystyle sum m 0 infty frac 4 m 2m 1 2 operatorname CBC m x 2m 1 2 operatorname Ti 2 biggl frac x 1 sqrt 1 x 2 biggr nbsp Summenreihen mit Koeffizienten des Musters CBC x 2 displaystyle operatorname CBC x 2 nbsp m 0 16 m 2 m 1 2 CBC m 2 x 2 m 1 0 1 arcsin x y 1 x 2 y 2 1 y 2 d y displaystyle sum m 0 infty frac 16 m 2m 1 2 operatorname CBC m 2 x 2m 1 int 0 1 frac arcsin xy sqrt 1 x 2 y 2 1 y 2 mathrm d y nbsp m 0 16 m m 1 2 m 1 2 CBC m 2 x 2 m 2 0 1 arcsin x y 2 y 1 y 2 d y displaystyle sum m 0 infty frac 16 m m 1 2m 1 2 operatorname CBC m 2 x 2m 2 int 0 1 frac arcsin xy 2 y sqrt 1 y 2 mathrm d y nbsp Dabei stellt die Bezeichnung arcsl displaystyle operatorname arcsl nbsp den Arkussinus Lemniscatus der Buchstabe E displaystyle E nbsp das vollstandige elliptische Integral zweiter Art und das Kurzel Ti 2 displaystyle operatorname Ti 2 nbsp das Arkustangensintegral dar Ramanujansche Summenreihen fur die Kreiszahlberechnung Bearbeiten Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan erforschte die und schrieb in seinen Aufzeichnungen im Jahre 1914 exemplarische Resultate dieser Formeln nieder die zur Ermittlung sehr schnell konvergierender Summenreihen fur die Kreiszahl dienen Folgende Formel ist fur die nachfolgende hypergeometrische Funktion gultig m 0 CBC 2 m CBC m 2 256 m x 2 m 3 F 2 1 4 1 2 3 4 1 1 x 2 displaystyle sum m 0 infty frac operatorname CBC 2m operatorname CBC m 2 256 m x 2m 3 F 2 bigl tfrac 1 4 tfrac 1 2 tfrac 3 4 1 1 x 2 bigr nbsp Dieser Ausdruck lost folgende Differentialgleichung K tan 1 4 arcsin x 8 K tan 1 4 arcsin x 2 1 1 x 1 1 x 3 F 2 1 4 1 2 3 4 1 1 x 2 x 1 x 2 d d x 3 F 2 1 4 1 2 3 4 1 1 x 2 displaystyle frac K bigl tan bigl tfrac 1 4 arcsin x bigr bigr 8K bigl tan bigl tfrac 1 4 arcsin x bigr bigr biggl 2 1 sqrt 1 x 1 sqrt 1 x 3 F 2 bigl tfrac 1 4 tfrac 1 2 tfrac 3 4 1 1 x 2 bigr x sqrt 1 x 2 frac mathrm d mathrm d x 3 F 2 bigl tfrac 1 4 tfrac 1 2 tfrac 3 4 1 1 x 2 bigr biggr nbsp 4 E tan 1 4 arcsin x K tan 1 4 arcsin x p 16 K tan 1 4 arcsin x 2 2 1 x 1 x 3 F 2 1 4 1 2 3 4 1 1 x 2 1 p displaystyle frac 4E bigl tan bigl tfrac 1 4 arcsin x bigr bigr K bigl tan bigl tfrac 1 4 arcsin x bigr bigr pi 16K bigl tan bigl tfrac 1 4 arcsin x bigr bigr 2 2 sqrt 1 x sqrt 1 x 3 F 2 bigl tfrac 1 4 tfrac 1 2 tfrac 3 4 1 1 x 2 bigr frac 1 pi nbsp Dabei gilt K e K 1 e 2 displaystyle K varepsilon K sqrt 1 varepsilon 2 nbsp Exemplarisch durch Einsetzen des Wertes x 1 9801 displaystyle x frac 1 9801 nbsp in die soeben genannte Differentialgleichung gilt beispielsweise somit 2206 2 9801 3 F 2 1 4 1 2 3 4 1 1 x 2 x 1 9801 26390 2 96059601 d d x 3 F 2 1 4 1 2 3 4 1 1 x 2 x 1 9801 1 p displaystyle frac 2206 sqrt 2 9801 3 F 2 bigl tfrac 1 4 tfrac 1 2 tfrac 3 4 1 1 x 2 bigr bigl x frac 1 9801 bigr frac 26390 sqrt 2 96059601 frac mathrm d mathrm d x 3 F 2 bigl tfrac 1 4 tfrac 1 2 tfrac 3 4 1 1 x 2 bigr bigl x frac 1 9801 bigr frac 1 pi nbsp Die hier gezeigte Gleichung fuhrt direkt zur bekanntesten Kreiszahlformel durch welche Srinivasa Ramanujan Weltruhm erlangte 1 p n 0 2 2 CBC 2 n CBC n 2 1103 26390 n 396 4 n 9801 displaystyle frac 1 pi sum n 0 infty frac 2 sqrt 2 operatorname CBC 2n operatorname CBC n 2 1103 26390n 396 4n 9801 nbsp Exemplarisch durch Einsetzen des Wertes x 1 9 displaystyle x frac 1 9 nbsp in die soeben genannte Differentialgleichung gilt beispielsweise somit 2 2 9 3 F 2 1 4 1 2 3 4 1 1 x 2 x 1 9 10 2 81 d d x 3 F 2 1 4 1 2 3 4 1 1 x 2 x 1 9 1 p displaystyle frac 2 sqrt 2 9 3 F 2 bigl tfrac 1 4 tfrac 1 2 tfrac 3 4 1 1 x 2 bigr bigl x frac 1 9 bigr frac 10 sqrt 2 81 frac mathrm d mathrm d x 3 F 2 bigl tfrac 1 4 tfrac 1 2 tfrac 3 4 1 1 x 2 bigr bigl x frac 1 9 bigr frac 1 pi nbsp Die hier gezeigte Gleichung fuhrt zu einer weiteren Kreiszahlformel welche Srinivasa Ramanujan entdeckte 1 p n 0 2 2 CBC 2 n CBC n 2 1 10 n 12 4 n 9 displaystyle frac 1 pi sum n 0 infty frac 2 sqrt 2 operatorname CBC 2n operatorname CBC n 2 1 10n 12 4n 9 nbsp Die Mathematiker Borwein Bailey und Beeler schrieben Ramanujans wichtigste Formeln sukzessiv in ihren Werken nieder und erlauterten zusatzlich Ramanujans Recherchen zu den elliptischen Integralen erster und zweiter Art sowie zu den Hypergeometrischen Funktionen und ihren zugehorigen Differentialgleichungen Konkrete Summenreihen BearbeitenSummenreihen mit algebraischen Resultaten Bearbeiten n 0 CBC n 4 n 1 2 displaystyle sum n 0 infty frac operatorname CBC n 4 n frac 1 sqrt 2 nbsp Allgemein gilt bei Divergenz der Reihe fur mit der Gammafunktion berechnete regularisierte Werte n 0 CBC n p q n p p 4 q displaystyle sum n 0 infty frac operatorname CBC n p q n sqrt frac p p 4q nbsp mit q N p Z 0 displaystyle q in mathbb N p in mathbb Z 0 nbsp Zudem gilt fur Partialsummen Folge A285388 in OEIS lim n k 0 n 2 1 CBC k 4 k n lim n n CBC n 2 2 2 n 2 1 lim m m CBC m 2 2 m 1 2 p 1 G 3 2 n 0 1 n G n 1 2 G 1 n 2 displaystyle lim n rightarrow infty sum k 0 n 2 1 frac operatorname CBC k 4 k n lim n rightarrow infty frac n operatorname CBC n 2 2 2n 2 1 lim m rightarrow infty frac sqrt m operatorname CBC m 2 2m 1 frac 2 sqrt pi frac 1 Gamma frac 3 2 sum n 0 infty 1 n frac Gamma frac n 1 2 Gamma 1 frac n 2 nbsp Reihen mit Kehrwerten der Zentralbinomialkoeffizienten Bearbeiten Es gilt n 1 1 CBC n 1 27 2 p 3 9 0 736 3998587187 displaystyle sum n 1 infty frac 1 operatorname CBC n frac 1 27 2 pi sqrt 3 9 0 7363998587187 ldots nbsp Die einzelnen Nachkommastellen bilden Folge A073016 in OEIS Einige weitere ahnliche Reihen sind n 1 1 n CBC n 1 9 p 3 0 604 59 n 1 1 n 2 CBC n 1 18 p 2 0 548 31 n 1 1 n 3 CBC n 1 18 p 3 ps 1 1 3 ps 1 2 3 4 3 z 3 2 p 3 G G K 4 3 z 3 n 1 1 n 4 CBC n 17 3240 p 4 0 511 09 n 1 1 n 5 CBC n 1 432 p 3 ps 3 1 3 ps 3 2 3 19 3 z 5 1 9 z 3 p 2 displaystyle begin aligned sum n 1 infty frac 1 n operatorname CBC n amp frac 1 9 pi sqrt 3 amp amp 0 60459 ldots sum n 1 infty frac 1 n 2 operatorname CBC n amp frac 1 18 pi 2 amp amp 0 54831 dots sum n 1 infty frac 1 n 3 operatorname CBC n amp frac 1 18 pi sqrt 3 bigl psi 1 tfrac 1 3 psi 1 tfrac 2 3 bigr frac 4 3 zeta 3 frac 2 pi 3 G GK frac 4 3 zeta 3 amp amp sum n 1 infty frac 1 n 4 operatorname CBC n amp frac 17 3240 pi 4 amp amp 0 51109 ldots sum n 1 infty frac 1 n 5 operatorname CBC n amp frac 1 432 pi sqrt 3 bigl psi 3 tfrac 1 3 psi 3 tfrac 2 3 bigr frac 19 3 zeta 5 frac 1 9 zeta 3 pi 2 amp amp end aligned nbsp vgl Folge A073010 in OEIS Folge A086463 in OEIS Folge A086464 in OEIS Dabei bezeichnet ps 1 displaystyle psi 1 nbsp die Digamma Funktion ps 2 displaystyle psi 2 nbsp die Trigammafunktion und allgemein ps n displaystyle psi n nbsp die n displaystyle n nbsp te Polygammafunktion z x displaystyle zeta x nbsp die Riemannsche Zetafunktion p displaystyle pi nbsp die Kreiszahl und G G K displaystyle G GK nbsp die Gieseking Konstante Verallgemeinerungen Bearbeiten Ganz allgemein gilt folgende Formel n 1 1 n k CBC n 1 2 k 1 F k 1 1 k 1 3 2 2 2 k 1 1 4 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n k operatorname CBC n frac 1 2 cdot k 1 F k left underbrace 1 ldots 1 k 1 tfrac 3 2 underbrace 2 ldots 2 k 1 tfrac 1 4 right nbsp fur k 1 displaystyle k geq 1 nbsp wobei m F n a 1 a m b 1 b n x displaystyle m F n a 1 ldots a m b 1 ldots b n x nbsp die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion bezeichnet vgl 5 Auch die entsprechenden alternierenden Reihen konvergieren und zwar zu folgenden Grenzwerten n 1 1 n CBC n 1 25 5 4 5 arcsch 2 0 372 16357638560161555577 n 1 1 n n CBC n 2 5 5 arcsch 2 0 430 408940964 n 1 1 n n 2 CBC n 2 arcsch 2 2 0 463 129641154 n 1 1 n n 3 CBC n 2 5 z 3 0 480 82276126 displaystyle begin aligned sum n 1 infty frac 1 n operatorname CBC n amp frac 1 25 left 5 4 sqrt 5 cdot operatorname arcsch 2 right amp amp 0 37216357638560161555577 ldots sum n 1 infty frac 1 n n operatorname CBC n amp frac 2 5 sqrt 5 cdot operatorname arcsch 2 amp amp 0 430408940964 ldots sum n 1 infty frac 1 n n 2 operatorname CBC n amp 2 left operatorname arcsch 2 right 2 amp amp 0 463129641154 ldots sum n 1 infty frac 1 n n 3 operatorname CBC n amp frac 2 5 zeta 3 amp amp 0 48082276126 ldots end aligned nbsp vgl Folge A086465 in OEIS Folge A086466 in OEIS Folge A086467 in OEIS Folge A086468 in OEIS Analog lasst sich allgemein schreiben n 1 1 n n k CBC n 1 2 k 1 F k 1 1 k 1 3 2 2 2 k 1 1 4 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n n k operatorname CBC n frac 1 2 cdot k 1 F k left underbrace 1 ldots 1 k 1 tfrac 3 2 underbrace 2 ldots 2 k 1 tfrac 1 4 right nbsp Vandermondesche Identitat Bearbeiten Die Vandermondesche Identitat lautet wie folgt a 0 k m a n k a m n k displaystyle sum a 0 k binom m a binom n k a binom m n k nbsp Im kombinatorischen Kugelmodell der Binomialkoeffizienten entspricht die rechte Seite der Formel der Anzahl von k displaystyle k nbsp elementigen Teilmengen einer m n displaystyle m n nbsp elementigen Menge von Kugeln Im Folgenden wird ein Modell mit m displaystyle m nbsp roten Kugeln und n displaystyle n nbsp grunen Kugeln aufgestellt Eine k displaystyle k nbsp elementige Teilmenge besteht dann aus einer gewissen Anzahl a displaystyle a nbsp von roten Kugeln und k a displaystyle k a nbsp vielen grunen Fur jedes mogliche a displaystyle a nbsp gibt der entsprechende Summand auf der linken Seite die Anzahl der Moglichkeiten fur solch eine Aufteilung in rote und grune Kugeln an Die Summe liefert die Gesamtzahl Eine weitere Veranschaulichung liefert der Binomischen Lehrsatz direkt 1 x n k 0 n n k x k displaystyle 1 x n sum k 0 n binom n k x k nbsp Die zweite von den drei standardisierten Potenzgesetzen wird im Folgenden angewendet 1 x m 1 x n 1 x m n displaystyle 1 x m 1 x n 1 x m n nbsp Durch Aufsummandisierung entstehen die Binomialkoeffizienten vor den x Potenzen an den jeweiligen Summanden Wenn zwei Summen miteinander multipliziert werden dann entsteht die Summe aller Einzelprodukte bei welchen jeweils ein Faktor des betroffenen Einzelproduktes als Summand aus dem einen Summenprodukt und der andere Faktor desselben Einzelproduktes analog als Summand aus dem anderen Summenprodukt genommen wird Im Spezialfall k m n displaystyle k m n nbsp ergibt sich aus der Vandermondeschen Identitat folgende Formel fur die Quadratsummen a 0 n n a 2 2 n n CBC n displaystyle sum a 0 n binom n a 2 binom 2n n operatorname CBC n nbsp Mit dem Kurzel CBC displaystyle operatorname CBC nbsp wird der Mittlere Binomialkoeffizient Zentralbinomialkoeffizient Central Binomial Coefficient gekennzeichnet Verwandte Begriffe BearbeitenEng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die Catalan Zahlen C n displaystyle C n nbsp Sie sind gegeben durch C n 1 n 1 2 n n 2 n n 2 n n 1 displaystyle C n frac 1 n 1 2n choose n 2n choose n 2n choose n 1 nbsp Verallgemeinerung BearbeitenIm Pascalschen Dreieck haben nur die Zeilen mit geradzahligem Index einen eindeutigen mittleren Eintrag die Zeilen mit ungeradzahligem Index haben dagegen zwei in der Mitte liegende Eintrage Da diese beiden Eintrage jedoch stets ubereinstimmen werden sie gelegentlich in die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten mit einbezogen sie lautet dann m m 2 displaystyle m choose lfloor frac m 2 rfloor nbsp fur m N 0 displaystyle m in mathbb N 0 nbsp Die erste Definition erhalt man wenn man hier die geraden Zahlen m displaystyle m nbsp betrachtet Siehe auch BearbeitenEulersche Betafunktion Gammafunktion FakultatLiteratur BearbeitenBeeler M et al Item 140 in Beeler M Gosper R W and Schroeppel R HAKMEM Cambridge MA MIT Artificial Intelligence Laboratory Memo AIM 239 p 69 Feb 1972 http www inwap com pdp10 hbaker hakmem pi html item140 Borwein J M Borwein P B and Bailey D H Ramanujan Modular Equations and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi Amer Math Monthly 96 201 219 1989 Borwein J and Bailey D Mathematics by Experiment Plausible Reasoning in the 21st Century Wellesley MA A K Peters 2003 Bailey D H Borwein J M Calkin N J Girgensohn R Luke D R and Moll V H Experimental Mathematics in Action Wellesley MA A K Peters 2007 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Central Binomial Coefficients In MathWorld englisch O Schlomilch Einiges uber die Eulerischen Integrale der zweiten Art Archiv der Mathematik und Physik 4 1844 S 171 Einzelnachweise Bearbeiten Wang s bounds on the central binomial coefficient 13 Juli 2018 abgerufen am 26 Dezember 2022 amerikanisches Englisch Thomas Koshy The Central Binomial Coefficient 9 November 2008 doi 10 1093 acprof oso 9780195334548 003 0002 oup com abgerufen am 26 Dezember 2022 Archiv der Mathematik und Physik B G Teubner 1844 google de abgerufen am 30 Januar 2023 V H Moll Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals MAA Short Course San Antonio TX Jan 2006 Archivierte Kopie Memento vom 2 April 2008 im Internet Archive S Plouffe The Art of Inspired Guessing Memento vom 29 Marz 2008 im Internet Archive In lacim uqam ca 7 August 1998 abgerufen am 30 Januar 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mittlerer Binomialkoeffizient amp oldid 235363039
