Das wallissche Produkt auch Wallis Produkt ist eine Produktdarstellung der Kreiszahl p displaystyle pi das heisst es handelt sich um ein Produkt mit unendlich vielen Faktoren dessen Grenzwert p displaystyle pi ist Es wurde 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis entdeckt Dazu nutzte er eine schachbrettartige Interpolation zwischen den in ganzen Dimensionen figurierten Zahlenfolgen des Pascalschen Dreiecks zur Bestimmung von 4 p displaystyle pi als mittleren Binomialkoeffizienten zwischen nullter und erster Dimension 1 Im Jahr 2015 wurde erstmals ein Zusammenhang mit quantenmechanischen Berechnungen bezuglich des Wasserstoffatoms festgestellt 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formel 2 Konvergenzgeschwindigkeit 3 Beweisfuhrungen fur das Wallissche Produkt 3 1 Beweis uber Integrale von Wurzelfunktionen 3 2 Beweisskizze uber die Integrale der Sinuspotenzen 4 Analoge Produktreihen 4 1 Elementare Produktreihen 4 2 Elliptische Produktreihen 5 Anwendung bei Beweisen 5 1 Beweis des Glockenkurvenintegrals 5 2 Analoge Beweise mit Wallis Produkten 6 Physik 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseFormel BearbeitenUblich ist die Darstellung des Produktes in der Form p 2 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 displaystyle frac pi 2 frac 2 1 cdot frac 2 3 cdot frac 4 3 cdot frac 4 5 cdot frac 6 5 cdot frac 6 7 cdot dots nbsp Uber eine Umformung ergibt sich die Kurzschreibweise des Wallisproduktes wie folgt p 2 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 i 1 2 i 2 i 2 i 1 2 i 1 i 1 4 i 2 4 i 2 1 i 1 1 1 4 i 2 1 displaystyle frac pi 2 left frac 2 1 cdot frac 2 3 right cdot left frac 4 3 cdot frac 4 5 right cdot left frac 6 5 cdot frac 6 7 right cdot dots prod i 1 infty frac 2i 2i 2i 1 2i 1 prod i 1 infty frac 4 i 2 4 i 2 1 prod i 1 infty left 1 frac 1 4i 2 1 right nbsp Fur den Kehrwert folgt 2 p i 1 1 1 4 i 2 displaystyle frac 2 pi prod i 1 infty bigg 1 frac 1 4 i 2 bigg nbsp Die Konvergenz dieses Produktes folgt aus der Konvergenz der unendlichen Reihe i 1 1 4 i 2 displaystyle sum i 1 infty frac 1 4 i 2 nbsp bzw i 1 1 i 2 displaystyle sum i 1 infty frac 1 i 2 nbsp Eine weitere Darstellung fur das Wallissche Produkt lautet so p 4 a 1 4 a a 1 2 a 1 2 displaystyle frac pi 4 prod a 1 infty frac 4a a 1 2a 1 2 nbsp Konvergenzgeschwindigkeit Bearbeitenn 2 Produkt 2 Produkt Pi relativer Fehler1 2 7 0 85 15 2 2 8 0 91 0 9 3 2 9 0 93 0 7 10 3 07 0 976 0 2 4 100 3 134 0 9975 0 0 25 1000 3 1408 0 99975 0 0 025 10000 3 14151 0 999975 0 0 0025 100000 3 141585 0 9999975 0 0 00025 1000000 3 1415918 0 99999975 0 0 000025 lim n displaystyle lim n to infty nbsp 3 14159265 1 00000000 0 0 Zur effizienten Berechnung einer Naherung von Pi ist die Formel nicht geeignet Berechnet man etwa die ersten 5 Terme des Wallischen Produkts und verdoppelt das Ergebnis so erhalt man als Naherung fur Pi 2 i 1 5 4 i 2 4 i 2 1 3 002 displaystyle 2 cdot prod i 1 5 frac 4 cdot i 2 4 cdot i 2 1 approx 3 002 nbsp Mit dieser Naherung konnte nicht einmal die erste Nachkommastelle korrekt bestimmt werden Nach Ausmultiplizieren der ersten 50 Terme ergibt sich ein Quotient aus zwei 160 stelligen Zahlen der aber fur Pi nur die Naherung 3 126 liefert also nicht einmal 2 Nachkommastellen korrekt angibt Da 3 126 3 14159 0 9950 ist ist der relative Fehler etwa 0 5 Die Konvergenzgeschwindigkeit ist langsamer als linear Die nebenstehende Tabelle gibt fur einige ausgewahlte Werte von N displaystyle N nbsp an wie gut die Approximation von Pi ist die man nach Ausmultiplizieren von N displaystyle N nbsp Termen im wallisschen Produkt erhalt Die Tabelle legt die Vermutung nahe dass der Fehler nach Ausmultiplizieren von N displaystyle N nbsp Termen in etwa 25 N displaystyle tfrac 25 N nbsp betragt z B nach 100 Termen 0 25 1 400 displaystyle tfrac 1 400 nbsp Dies kann man auch durch folgende mathematische Uberlegung beweisen Der Quotient zwischen der Approximation und dem gewunschten Wert ist gleich dem unendlichen Produkt i N 1 1 1 4 i 2 displaystyle prod i N 1 infty bigg 1 frac 1 4 i 2 bigg nbsp Mit Hilfe der Rechenregeln fur Logarithmen der Abschatzung log 1 x x displaystyle log 1 x approx x nbsp fur kleine x displaystyle x nbsp sowie durch Approximation einer unendlichen Summe durch ein Integral sieht man dass dieses Produkt ungefahr den folgenden Wert hat exp N log 1 1 4 x 2 d x exp N 1 4 x 2 d x exp 1 4 N 1 1 4 N displaystyle exp left int limits N infty log left 1 frac 1 4 x 2 right dx right approx exp left int limits N infty frac 1 4 x 2 dx right approx exp left frac 1 4 N right approx 1 frac 1 4 N nbsp Damit die ersten beiden Nachkommastellen richtig sind braucht man demzufolge eine Genauigkeit von ca 0 3 3 13 3 14 0 997 also etwa N 60 displaystyle N 60 nbsp Fur 3 Nachkommastellen braucht man N 600 displaystyle N 600 nbsp fur 4 Nachkommastellen N 6000 displaystyle N 6000 nbsp etc Beweisfuhrungen fur das Wallissche Produkt BearbeitenBeweis uber Integrale von Wurzelfunktionen Bearbeiten Im Folgenden werden zwei Integralgleichungen parallel hergeleitet und tabellarisch gegenubergestellt Es gilt folgende Formel 2 n 0 1 x 2 n 1 1 x 2 2 n 1 0 1 x 2 n 1 1 x 2 d x displaystyle 2n int 0 1 frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 2n 1 int 0 1 frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp 0 1 2 n x 2 n 1 1 x 2 2 n 1 x 2 n 1 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 2n frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 2n 1 frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp x 2 n 1 x 2 x 0 x 1 0 displaystyle biggl x 2n sqrt 1 x 2 biggr x 0 x 1 0 nbsp Analog hierzu gilt folgende Formel 2 n 1 0 1 x 2 n 1 x 2 2 n 2 0 1 x 2 n 2 1 x 2 d x displaystyle 2n 1 int 0 1 frac x 2n sqrt 1 x 2 2n 2 int 0 1 frac x 2n 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp 0 1 2 n 1 x 2 n 1 x 2 2 n 2 x 2 n 2 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 2n 1 frac x 2n sqrt 1 x 2 2n 2 frac x 2n 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp x 2 n 1 1 x 2 x 0 x 1 0 displaystyle biggl x 2n 1 sqrt 1 x 2 biggr x 0 x 1 0 nbsp Daraus folgt fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp 0 1 x 2 n 1 1 x 2 d x 2 n 2 n 1 0 1 x 2 n 1 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 mathrm d x frac 2n 2n 1 int 0 1 frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp Daraus folgt fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp 0 1 x 2 n 2 1 x 2 d x 2 n 1 2 n 2 0 1 x 2 n 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 frac x 2n 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x frac 2n 1 2n 2 int 0 1 frac x 2n sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp Somit sind fur alle naturlichen Zahlen folgende zwei Darstellungen uber Produktreihen gultig 0 1 x 2 n 1 1 x 2 d x m 1 n 2 m 2 m 1 0 1 x 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 mathrm d x prod m 1 n frac 2m 2m 1 int 0 1 frac x sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp 0 1 x 2 n 2 1 x 2 d x m 1 n 2 m 1 2 m 2 0 1 x 2 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 frac x 2n 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x prod m 1 n frac 2m 1 2m 2 int 0 1 frac x 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp Folgender Grenzwert der Integrale ist gultig lim n 0 1 x 2 n 2 1 x 2 d x 0 1 x 2 n 1 1 x 2 d x 1 1 displaystyle lim n rightarrow infty biggl int 0 1 frac x 2n 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr biggl int 0 1 frac x 2n 1 sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr 1 1 nbsp Durch Einsetzen kommt folgendes Resultat hervor lim n m 1 n 2 m 1 2 m 2 0 1 x 2 1 x 2 d x m 1 n 2 m 2 m 1 0 1 x 1 x 2 d x 1 1 displaystyle lim n rightarrow infty biggl prod m 1 n frac 2m 1 2m 2 int 0 1 frac x 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr biggl prod m 1 n frac 2m 2m 1 int 0 1 frac x sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr 1 1 nbsp lim n m 1 n 2 m 1 2 m 2 m 1 n 2 m 2 m 1 1 0 1 x 2 1 x 2 d x 0 1 x 1 x 2 d x 1 1 displaystyle biggl lim n rightarrow infty biggl prod m 1 n frac 2m 1 2m 2 biggr biggl prod m 1 n frac 2m 2m 1 biggr 1 biggr biggl int 0 1 frac x 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr biggl int 0 1 frac x sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr 1 1 nbsp m 1 2 m 1 2 2 m 2 m 2 0 1 x 2 1 x 2 d x 0 1 x 1 x 2 d x 1 1 displaystyle prod m 1 infty frac 2m 1 2 2m 2m 2 biggl int 0 1 frac x 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr biggl int 0 1 frac x sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr 1 1 nbsp m 1 2 m 2 m 2 2 m 1 2 0 1 x 2 1 x 2 d x 0 1 x 1 x 2 d x 1 displaystyle prod m 1 infty frac 2m 2m 2 2m 1 2 biggl int 0 1 frac x 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr biggl int 0 1 frac x sqrt 1 x 2 mathrm d x biggr 1 nbsp Es gelten ausserdem diese Integrale aufgrund der im nun Folgenden genannten Ursprungsstammfunktionen 0 1 x 2 1 x 2 d x 1 2 arcsin x 1 2 x 1 x 2 x 0 x 1 p 4 displaystyle int 0 1 frac x 2 sqrt 1 x 2 mathrm d x biggl frac 1 2 arcsin x frac 1 2 x sqrt 1 x 2 biggr x 0 x 1 frac pi 4 nbsp 0 1 x 1 x 2 d x 1 1 x 2 x 0 x 1 1 displaystyle int 0 1 frac x sqrt 1 x 2 mathrm d x biggl 1 sqrt 1 x 2 biggr x 0 x 1 1 nbsp Deswegen gilt m 1 2 m 2 m 2 2 m 1 2 p 4 displaystyle prod m 1 infty frac 2m 2m 2 2m 1 2 frac pi 4 nbsp Direkt daraus folgt i 1 4 i 2 2 i 1 2 i 1 p 2 displaystyle prod i 1 infty frac 4i 2 2i 1 2i 1 frac pi 2 nbsp QUOD ERAT DEMONSTRANDUM Beweisskizze uber die Integrale der Sinuspotenzen Bearbeiten Man definiert C n x 0 x sin n t d t displaystyle C n x int limits 0 x sin n t dt nbsp fur welche die Rekursionsformel n 1 C n 1 x cos x sin n x n C n 1 x displaystyle n 1 C n 1 x cos x sin n x nC n 1 x nbsp gilt Insbesondere erhalt man fur c n C n p 2 displaystyle c n C n pi 2 nbsp die Formel c n 1 n n 1 c n 1 displaystyle c n 1 frac n n 1 c n 1 nbsp Man berechnet c 2 m p 2 1 4 m 2 m m displaystyle c 2m frac pi 2 frac 1 4 m binom 2m m nbsp und c 2 m 1 4 m 2 m 1 2 m m displaystyle c 2m 1 frac 4 m 2m 1 binom 2m m nbsp Nun gilt n n 1 c n 1 c n c n c n 1 lt c n 1 c n lt 1 displaystyle frac n n 1 frac c n 1 c n frac c n c n 1 lt frac c n 1 c n lt 1 nbsp und daher 1 lt c 2 m c 2 m 1 p m 1 2 2 m m 2 4 2 m lt 1 1 2 m displaystyle 1 lt frac c 2m c 2m 1 pi m frac 1 2 binom 2m m 2 4 2m lt 1 frac 1 2m nbsp Insbesondere also p lim m 1 m 2 4 2 m 1 3 2 m 1 lim m 1 m 2 m 2 m 1 displaystyle sqrt pi lim m rightarrow infty frac 1 sqrt m frac 2 cdot 4 cdot cdot cdot 2m 1 cdot 3 cdot cdot cdot 2m 1 lim m to infty frac 1 sqrt m frac 2m 2m 1 nbsp aus der man durch quadrieren die ubliche Formel erhalt Analoge Produktreihen BearbeitenElementare Produktreihen Bearbeiten Gegeben ist das Standardprodukt nach Wallis in diesem Muster n 1 4 n 2 2 n 1 2 n 1 n 1 4 n 2 4 n 2 1 1 2 p displaystyle prod n 1 infty frac 4n 2 2n 1 2n 1 prod n 1 infty frac 4n 2 4n 2 1 frac 1 2 pi nbsp Analog ergibt sich mit oben beschriebenen Herleitungsverfahren n 1 9 n 2 3 n 1 3 n 1 n 1 9 n 2 9 n 2 1 2 9 3 p displaystyle prod n 1 infty frac 9n 2 3n 1 3n 1 prod n 1 infty frac 9n 2 9n 2 1 frac 2 9 sqrt 3 pi nbsp n 1 16 n 2 4 n 1 4 n 1 n 1 16 n 2 16 n 2 1 1 4 2 p displaystyle prod n 1 infty frac 16n 2 4n 1 4n 1 prod n 1 infty frac 16n 2 16n 2 1 frac 1 4 sqrt 2 pi nbsp Generell gilt n 1 z 2 n 2 z n 1 z n 1 n 1 z 2 n 2 z 2 n 2 1 p z csc p z 1 si p z displaystyle prod n 1 infty frac z 2 n 2 zn 1 zn 1 prod n 1 infty frac z 2 n 2 z 2 n 2 1 frac pi z csc bigl frac pi z bigr frac 1 operatorname si pi z nbsp Mit dem Ausdruck si wird der Kardinalsinus dargestellt Wenn bei der gezeigten Produktreihe der Grenzwert fur z gegen Unendlich berechnet wird dann erscheint an allen Stellen dieser Gleichungskette der Wert Eins Elliptische Produktreihen Bearbeiten Fur alle Wallisschen Produkte des folgenden Musters gilt in Bezug auf die Eulersche Betafunktion diese Identitat m 1 z m z m 2 z m 1 2 1 2 z b 1 z P 1 z 2 P 2 z displaystyle prod m 1 infty frac zm zm 2 zm 1 2 frac 1 2z beta bigl frac 1 z bigr frac Pi 1 z 2 Pi 2 z nbsp Der Buchstabe P auf der rechten Seite der Gleichungskette stellt die Gausssche Pifunktion dar Gegeben ist nun das Standardprodukt nach Wallis in nachfolgendem Muster m 1 2 m 2 m 2 2 m 1 2 p 4 displaystyle prod m 1 infty frac 2m 2m 2 2m 1 2 frac pi 4 nbsp Wenn die Zahl Zwei durch die Zahl Drei ersetzt wird dann entsteht folgender Aquianharmonisch elliptischer Wert m 1 3 m 3 m 2 3 m 1 2 1 3 2 3 3 4 K sin 1 12 p w 2 3 displaystyle prod m 1 infty frac 3m 3m 2 3m 1 2 frac 1 3 sqrt 3 2 sqrt 4 3 K bigl sin bigl frac 1 12 pi bigr bigr omega 2 sqrt 3 nbsp Auch ein aquianharmonischer Wert entsteht dann wenn die Zahl Drei durch die Zahl Sechs ersetzt wird m 1 6 m 6 m 2 6 m 1 2 1 6 4 3 27 4 K sin 1 12 p w 2 4 3 displaystyle prod m 1 infty frac 6m 6m 2 6m 1 2 frac 1 6 sqrt 3 4 sqrt 4 27 K bigl sin bigl frac 1 12 pi bigr bigr omega 2 sqrt 3 4 nbsp Wenn die Zahl Zwei durch die Zahl Vier ersetzt wird dann entsteht folgender Lemniskatisch elliptischer Wert m 1 4 m 4 m 2 4 m 1 2 1 2 K 1 2 2 1 4 2 ϖ displaystyle prod m 1 infty frac 4m 4m 2 4m 1 2 frac 1 2 K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr frac 1 4 sqrt 2 varpi nbsp Auch ein lemniskatischer Wert entsteht dann wenn die Zahl Vier durch die Zahl Zwolf ersetzt wird m 1 12 m 12 m 2 12 m 1 2 1 12 3 4 32 6 3 1 K 1 2 2 1 12 2 3 3 4 3 1 ϖ displaystyle prod m 1 infty frac 12m 12m 2 12m 1 2 frac 1 12 sqrt 4 3 sqrt 6 32 sqrt 3 1 K bigl frac 1 2 sqrt 2 bigr frac 1 12 sqrt 3 2 sqrt 4 3 sqrt 3 1 varpi nbsp Wenn jedoch die Zahlen Acht Zwanzig oder Vierundzwanzig eingesetzt wird dann entstehen die elliptischen K Integrale aus anderen ebenso elementar darstellbaren Modulen m 1 8 m 8 m 2 8 m 1 2 1 2 2 4 K 2 1 displaystyle prod m 1 infty frac 8m 8m 2 8m 1 2 frac 1 2 sqrt 4 2 K bigl sqrt 2 1 bigr nbsp m 1 20 m 20 m 2 20 m 1 2 2 3 20 5 3 8 5 1 1 4 cos 1 20 p K sin 1 2 arcsin 5 2 displaystyle prod m 1 infty frac 20m 20m 2 20m 1 2 2 3 20 5 3 8 sqrt 5 1 1 4 cos bigl frac 1 20 pi bigr K bigl sin bigl frac 1 2 arcsin bigl sqrt 5 2 bigr bigr bigr nbsp m 1 24 m 24 m 2 24 m 1 2 2 13 12 3 1 4 2 1 3 1 K 2 3 3 2 displaystyle prod m 1 infty frac 24m 24m 2 24m 1 2 2 13 12 3 1 4 sqrt 2 1 sqrt 3 1 K bigl bigl 2 sqrt 3 bigr bigl sqrt 3 sqrt 2 bigr bigr nbsp Das Vollstandige elliptische Integral erster Art ist so definiert K e 0 p 2 1 1 e 2 sin f 2 d f displaystyle K varepsilon int 0 pi 2 frac 1 sqrt 1 varepsilon 2 sin varphi 2 mathrm d varphi nbsp Deswegen gilt auch K e 0 1 2 x 2 1 2 4 e 2 x 2 d x displaystyle K varepsilon int 0 1 frac 2 sqrt x 2 1 2 4 varepsilon 2 x 2 mathrm d x nbsp Wenn ein solches Produkt nach dem Schema des Wallisschen Produktes als elementares Vielfaches vom K Integral eines elementaren elliptischen Moduls dargestellt werden kann dann ist der elliptische Modul 3 selbst immer ein Elliptischer Lambda Stern Wert von einer rationalen Zahl Das K Integral 4 selbst von solch einem Modul wird immer im Deutschen als Singularer Elliptischer Integralwert und im Englischen als Elliptic Integral Singular Value bezeichnet Diese Darstellung solcher Produktreihen nach dem gezeigten Schema mit dem K Integral funktioniert jedoch nicht fur alle Zahlen als gezeigte Vorfaktoren in der Produktreihe Denn wenn statt der Zahlen 2 3 4 6 8 12 20 und 24 andere Zahlen wie beispielsweise 5 oder 7 eingesetzt werden dann ist die Darstellung in diesem Muster nicht moglich Anwendung bei Beweisen BearbeitenBeweis des Glockenkurvenintegrals Bearbeiten Das Integral der Gaussschen Glockenkurve kann mit Hilfe des Wallisschen Produktes bewiesen werden Hierfur kann folgende Beweisfuhrung formuliert werden Es gilt folgende Formel 2 n 0 x 2 n 1 exp x 2 d x 2 0 x 2 n 1 exp x 2 d x displaystyle 2n int 0 infty x 2n 1 exp x 2 mathrm d x 2 int 0 infty x 2n 1 exp x 2 mathrm d x nbsp 0 2 n x 2 n 1 exp x 2 2 x 2 n 1 exp x 2 d x displaystyle int 0 infty 2n x 2n 1 exp x 2 2x 2n 1 exp x 2 mathrm d x nbsp x 2 n exp x 2 x 0 x 0 displaystyle biggl x 2n exp x 2 biggr x 0 x infty 0 nbsp Analog hierzu gilt folgende Formel 2 n 1 0 x 2 n exp x 2 d x 2 0 x 2 n 2 exp x 2 d x displaystyle 2n 1 int 0 infty x 2n exp x 2 mathrm d x 2 int 0 infty x 2n 2 exp x 2 mathrm d x nbsp 0 2 n 1 x 2 n exp x 2 2 x 2 n 2 exp x 2 d x displaystyle int 0 infty 2n 1 x 2n exp x 2 2x 2n 2 exp x 2 mathrm d x nbsp x 2 n 1 exp x 2 x 0 x 0 displaystyle biggl x 2n 1 exp x 2 biggr x 0 x infty 0 nbsp Daraus folgt fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp 0 x 2 n 1 exp x 2 d x n 0 x 2 n 1 exp x 2 d x displaystyle int 0 infty x 2n 1 exp x 2 mathrm d x n int 0 infty x 2n 1 exp x 2 mathrm d x nbsp Daraus folgt fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp 0 x 2 n 2 exp x 2 d x 1 2 2 n 1 0 x 2 n exp x 2 d x displaystyle int 0 infty x 2n 2 exp x 2 mathrm d x frac 1 2 2n 1 int 0 infty x 2n exp x 2 mathrm d x nbsp Ausserdem gilt 0 exp x 2 2 x 2 exp x 2 d x x exp x 2 x 0 x 0 displaystyle int 0 infty exp x 2 2x 2 exp x 2 mathrm d x biggl x exp x 2 biggr x 0 x infty 0 nbsp 0 x 2 exp x 2 d x 1 2 0 exp x 2 d x displaystyle int 0 infty x 2 exp x 2 mathrm d x frac 1 2 int 0 infty exp x 2 mathrm d x nbsp Somit sind fur alle naturlichen Zahlen folgende Darstellungen uber Produktreihen gultig 0 x 2 n 1 exp x 2 d x m 1 n m 0 x exp x 2 d x displaystyle int 0 infty x 2n 1 exp x 2 mathrm d x prod m 1 n m int 0 infty x exp x 2 mathrm d x nbsp 0 x 2 n 2 exp x 2 d x m 1 n 1 2 2 m 1 0 x 2 exp x 2 d x displaystyle int 0 infty x 2n 2 exp x 2 mathrm d x prod m 1 n frac 1 2 2m 1 int 0 infty x 2 exp x 2 mathrm d x nbsp 0 x 2 n exp x 2 d x m 1 n 1 2 2 m 1 0 exp x 2 d x displaystyle int 0 infty x 2n exp x 2 mathrm d x prod m 1 n frac 1 2 2m 1 int 0 infty exp x 2 mathrm d x nbsp Folgender Grenzwert der Integrale ist gultig lim n 0 x 2 n exp x 2 d x 0 x 2 n 2 exp x 2 d x 0 x 2 n 1 exp x 2 d x 2 1 displaystyle lim n rightarrow infty biggl int 0 infty x 2n exp x 2 mathrm d x biggr biggl int 0 infty x 2n 2 exp x 2 mathrm d x biggr biggl int 0 infty x 2n 1 exp x 2 mathrm d x biggr 2 1 nbsp Durch Einsetzen kommt folgendes Resultat hervor lim n m 1 n 1 2 2 m 1 0 exp x 2 d x m 1 n 1 2 2 m 1 0 x 2 exp x 2 d x m 1 n m 0 x exp x 2 d x 2 1 displaystyle lim n rightarrow infty biggl prod m 1 n frac 1 2 2m 1 int 0 infty exp x 2 mathrm d x biggr biggl prod m 1 n frac 1 2 2m 1 int 0 infty x 2 exp x 2 mathrm d x biggr biggl prod m 1 n m int 0 infty x exp x 2 mathrm d x biggr 2 1 nbsp m 1 2 m 1 2 m 1 4 m 2 0 exp x 2 d x 0 x 2 exp x 2 d x 0 x exp x 2 d x 2 1 displaystyle prod m 1 infty frac 2m 1 2m 1 4m 2 biggl int 0 infty exp x 2 mathrm d x biggr biggl int 0 infty x 2 exp x 2 mathrm d x biggr biggl int 0 infty x exp x 2 mathrm d x biggr 2 1 nbsp m 1 2 m 1 2 m 1 4 m 2 0 exp x 2 d x 2 0 x exp x 2 d x 2 2 displaystyle prod m 1 infty frac 2m 1 2m 1 4m 2 biggl int 0 infty exp x 2 mathrm d x biggr 2 biggl int 0 infty x exp x 2 mathrm d x biggr 2 2 nbsp 0 exp x 2 d x 2 0 x exp x 2 d x 2 2 m 1 4 m 2 2 m 1 2 m 1 p displaystyle biggl int 0 infty exp x 2 mathrm d x biggr 2 biggl int 0 infty x exp x 2 mathrm d x biggr 2 2 prod m 1 infty frac 4m 2 2m 1 2m 1 pi nbsp Ausserdem gilt dieses Integral 0 x exp x 2 d x 1 2 1 2 exp x 2 x 0 x 1 2 displaystyle int 0 infty x exp x 2 mathrm d x biggl frac 1 2 frac 1 2 exp x 2 biggr x 0 x infty frac 1 2 nbsp Soergibt sich diese Fortfuhrung der Gleichungsliste 0 exp x 2 d x 2 0 x exp x 2 d x 2 p displaystyle biggl int 0 infty exp x 2 mathrm d x biggr 2 biggl int 0 infty x exp x 2 mathrm d x biggr 2 pi nbsp 0 exp x 2 d x 2 1 2 2 p displaystyle biggl int 0 infty exp x 2 mathrm d x biggr 2 bigl frac 1 2 bigr 2 pi nbsp 0 exp x 2 d x 1 2 p displaystyle int 0 infty exp x 2 mathrm d x frac 1 2 sqrt pi nbsp QUOD ERAT DEMONSTRANDUM Analoge Beweise mit Wallis Produkten Bearbeiten Auch fur weitere Integrale nach dem Schema der Gaussschen Glockenkurve konnen die Wallisschen Produkte herangezogen werden Mit dem soeben beschriebenen Mechanismus konnen auch analoge weitere Integrale zu Wallisschen Produkten umgeformt werden So sind im Anschluss auch Umformungen zu Integralprodukten aus Integralen mit elliptisch darstellbaren Stammfunktionen moglich 0 exp x 3 d x 1 3 n 1 3 n 3 3 n 2 3 n 1 2 1 3 displaystyle int 0 infty exp x 3 mathrm d x biggl frac 1 3 prod n 1 infty frac 3n 3 3n 2 3n 1 2 biggr 1 3 nbsp 0 exp x 4 d x 1 4 n 1 4 n 4 4 n 3 4 n 1 3 1 4 displaystyle int 0 infty exp x 4 mathrm d x biggl frac 1 4 prod n 1 infty frac 4n 4 4n 3 4n 1 3 biggr 1 4 nbsp 0 exp x 5 d x 1 5 n 1 5 n 5 5 n 4 5 n 1 4 1 5 displaystyle int 0 infty exp x 5 mathrm d x biggl frac 1 5 prod n 1 infty frac 5n 5 5n 4 5n 1 4 biggr 1 5 nbsp Und generell kann auf der gezeigten Beweisfuhrung im vorherigen Abschnitt so auch diese Formel genannt werden 0 exp x a d x 1 a n 1 a n a a n 1 a a n 1 a 1 1 a displaystyle int 0 infty exp x a mathrm d x biggl frac 1 a prod n 1 infty frac an a an 1 a an 1 a 1 biggr 1 a nbsp Fur alle naturlichen Zahlen a ist diese Formel gultig So ist ein Zugang zur Umformung von den Exponentialfunktionsintegralen zu den Wurzelfunktionsintegralen ermoglicht Generell lasst sich basierend auf der durch Leonhard Euler gegebenen Definition diese Formel direkt aufstellen 0 exp x n d x P 1 n displaystyle int 0 infty exp x n mathrm d x Pi bigl frac 1 n bigr nbsp Diese Formel uber die Gausssche Pifunktion ist fur alle naturlichen Zahlen n gultig Und es gilt auch P 1 n 2 P 2 n m 1 n m n m 2 n m 1 2 0 1 1 x n 1 2 n d x displaystyle frac Pi 1 n 2 Pi 2 n prod m 1 infty frac n m n m 2 n m 1 2 int 0 1 frac 1 x n 1 2 n mathrm d x nbsp Wenn fur den Wert a der Nachfolger einer Zweierpotenz gewahlt wird dann kann darauf basierend sogar stets eine vereinfachende Integralfaktorisation durchgefuhrt werden 0 exp x 3 d x P 1 3 P 1 3 P 2 3 P 1 3 2 P 2 3 1 3 2 9 p csc 1 3 p P 1 3 2 P 2 3 1 3 2 9 p csc 1 3 p 0 1 1 x 3 1 2 3 d x 1 3 displaystyle int 0 infty exp x 3 mathrm d x Pi tfrac 1 3 biggl Pi tfrac 1 3 Pi tfrac 2 3 frac Pi tfrac 1 3 2 Pi tfrac 2 3 biggr 1 3 biggl tfrac 2 9 pi csc bigl tfrac 1 3 pi bigr frac Pi tfrac 1 3 2 Pi tfrac 2 3 biggr 1 3 biggl tfrac 2 9 pi csc bigl tfrac 1 3 pi bigr biggl int 0 1 frac 1 x 3 1 2 3 mathrm d x biggr biggr 1 3 nbsp 0 exp x 5 d x P 1 5 P 1 5 P 4 5 P 1 5 4 P 2 5 2 P 2 5 2 P 4 5 1 5 4 25 p csc 1 5 p P 1 5 4 P 2 5 2 P 2 5 2 P 4 5 1 5 displaystyle int 0 infty exp x 5 mathrm d x Pi tfrac 1 5 biggl Pi tfrac 1 5 Pi tfrac 4 5 frac Pi tfrac 1 5 4 Pi tfrac 2 5 2 frac Pi tfrac 2 5 2 Pi tfrac 4 5 biggr 1 5 biggl tfrac 4 25 pi csc bigl tfrac 1 5 pi bigr frac Pi tfrac 1 5 4 Pi tfrac 2 5 2 frac Pi tfrac 2 5 2 Pi tfrac 4 5 biggr 1 5 nbsp 4 25 p csc 1 5 p 0 1 1 x 5 1 2 5 d x 2 0 1 1 x 5 2 1 4 5 d x 1 5 displaystyle biggl tfrac 4 25 pi csc bigl tfrac 1 5 pi bigr biggl int 0 1 frac 1 x 5 1 2 5 mathrm d x biggr 2 biggl int 0 1 frac 1 x 5 2 1 4 5 mathrm d x biggr biggr 1 5 nbsp 0 exp x 9 d x P 1 9 P 1 9 P 8 9 P 1 9 8 P 2 9 4 P 2 9 4 P 4 9 2 P 4 9 2 P 8 9 1 9 8 81 p csc 1 9 p P 1 9 8 P 2 9 4 P 2 9 4 P 4 9 2 P 4 9 2 P 8 9 1 9 displaystyle int 0 infty exp x 9 mathrm d x Pi tfrac 1 9 biggl Pi tfrac 1 9 Pi tfrac 8 9 frac Pi tfrac 1 9 8 Pi tfrac 2 9 4 frac Pi tfrac 2 9 4 Pi tfrac 4 9 2 frac Pi tfrac 4 9 2 Pi tfrac 8 9 biggr 1 9 biggl tfrac 8 81 pi csc bigl tfrac 1 9 pi bigr frac Pi tfrac 1 9 8 Pi tfrac 2 9 4 frac Pi tfrac 2 9 4 Pi tfrac 4 9 2 frac Pi tfrac 4 9 2 Pi tfrac 8 9 biggr 1 9 nbsp 8 81 p csc 1 9 p 0 1 1 x 9 1 2 9 d x 4 0 1 1 x 9 2 1 4 9 d x 2 0 1 1 x 9 4 1 8 9 d x 1 9 displaystyle biggl tfrac 8 81 pi csc bigl tfrac 1 9 pi bigr biggl int 0 1 frac 1 x 9 1 2 9 mathrm d x biggr 4 biggl int 0 1 frac 1 x 9 2 1 4 9 mathrm d x biggr 2 biggl int 0 1 frac 1 x 9 4 1 8 9 mathrm d x biggr biggr 1 9 nbsp Physik BearbeitenVon Tamar Friedmann C R Hagen und Studenten der Uni Rochester USA wurde 2015 eine Anwendung dieses Produkts bei der Berechnung des Fehlers der quantenmechanischen Variationsrechnung der Energieeigenzustande im angeregten Wasserstoffatom relativ zur Losung im Bohr schen Atommodell entdeckt 5 Literatur BearbeitenJohn Wallis The arithmetic of infinitesimals Ubersetzung vom Latein ins Englische mit einem Vorwort von Jacqueline A Stedall 1 Auflage Springer Verlag Heidelberg Berlin New York 2004 ISBN 0 387 20709 0 Kurt Endl Wolfgang Luh Analysis Eine integrierte Darstellung Studienbuch fur Studierende der Mathematik Physik und anderer Naturwissenschaften ab 1 Semester Band 2 7 uberarbeitete Auflage Aula Verlag Wiesbaden 1989 ISBN 3 89104 455 0 S 343 Fridtjof Toenniessen Das Geheimnis der transzendenten Zahlen Eine etwas andere Einfuhrung in die Mathematik Springer 2009 ISBN 978 3 8274 2274 3 S 321 322 Auszug Google Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Herleitung des Wallis Produktes Lern und Lehrmaterialien Johan Wastlund An Elementary Proof of the Wallis Product Formula for Pi PDF 59 kB MAA Monthly Dezember 2007 Eric W Weisstein Wallis Formula In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten alphagalileo org Memento des Originals vom 22 November 2015 im Internet Archive nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot www alphagalileo org phys org Elliptic Lambda Function Abgerufen am 28 November 2022 Elliptic Integral Singular Value Abgerufen am 28 November 2022 scinexx de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wallissches Produkt amp oldid 228943512
