Die Kreiszahl, auch Ludolphsche Zahl, Ludolfsche Zahl oder Archimedes-Konstante, abgekürzt mit dem griechischen Kleinbuchstaben (Pi), ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von ihrer Größe. Die dezimale Darstellung der Kreiszahl beträgt
wobei in der Praxis oft nur drei signifikante Stellen verwendet werden (3,14), deren Genauigkeit für einfache Anwendungen ausreicht. Seit dem 8. Juni 2022 sind 100 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt.
Die Kreiszahl hat etliche interessante Eigenschaften.
- Vor allem ist sie keine rationale Zahl, kann also nicht exakt durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden.
- Sie ist sogar eine transzendente Zahl, ist also nicht Nullstelle eines vom Nullpolynom verschiedenen Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten (s. u. Irrationalität und Transzendenz).
Die Kreiszahl tritt nicht nur bei Kreisberechnungen in der Geometrie auf, sondern hat auch in anderen mathematischen Teilgebieten und Theorien Bedeutung. Beispielsweise lässt sich durch sie die Lösung des klassischen Basler Problems mit der Theorie der Fourierreihen verknüpfen.
Geschichte der Bezeichnung
Die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi () erfolgt nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περίμετρος – perímetros, „Umfang“ oder περιφέρεια – zu lateinisch peripheria, „Randbereich“. Das Pi () wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er mit das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. . Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. Im Jahr 1697 nahm David Gregory für das Verhältnis von Umfang zu Radius.
59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken. Erst im 18. Jahrhundert wurde durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals für die Kreiszahl, nachdem er zuvor verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.
Definition
Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl zu definieren.
- Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser des Kreises. Die Kreiszahl entspricht demnach dem Quotienten und Proportionalitätsfaktor .
- Der zweite geometrische Ansatz fußt auf dem Vergleich des Flächeninhalts eines Kreises mit dem Flächeninhalt des Quadrats über seinem Kreisradius (auch: Halbmesser) , also seinem halben Durchmesser. Aus Gründen der Ähnlichkeit sind diese beiden Flächeninhalte ebenfalls proportional. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als der Quotient bzw. der Proportionalitätsfaktor . Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie verhält.
- In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen.
- Weitere analytische Ansätze gehen auf John Wallis und Leonhard Euler zurück.
Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius. Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl .
Eigenschaften
Irrationalität und Transzendenz
Die Zahl ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen , also nicht als Bruch , dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.
Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzem Zahlen aus erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.
Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.
Die ersten 100 Nachkommastellen
Da eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung
ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).
Darstellung zu anderen Zahlenbasen
Im Binärsystem ausgedrückt ist
In OEIS sind auch die Zahlen der Darstellungen zu den Basen 3 bis 16 und 60 angegeben.
Kettenbruchentwicklung
Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch. Der reguläre Kettenbruch der Kreiszahl beginnt so:
Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch (Folge A280135 in OEIS):
Anders als bei der Eulerschen Zahl konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.
Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von , bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:
Näherungsbrüche der Kreiszahl
Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler Folge A002485 in OEIS bzw. Nenner Folge A002486 in OEIS) die folgenden:
| Schritt | Kettenbruch | Näherungsbruch | Dezimaldarstellung (falsche Ziffern in rot) | Absoluter Fehler bei der Umfangsberechnung eines Kreises von 1000 km Durchmesser |
|---|---|---|---|---|
| −141,59 km | ||||
| +1,26 km | ||||
| −83,22 m | ||||
| +26,68 cm | ||||
| −0,58 mm | ||||
| +0,33 mm | ||||
| −0,4 µm (Wellenlänge blauen Lichts) | ||||
| −2,6·10−16 m (kleiner als ein Proton) |
Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden km Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.
Sphärische Geometrie
In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.
Normalität
Es ist noch ungeklärt, ob eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.
Wenn eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).
Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.
Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als ab.
Feynman-Punkt
Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762-sten Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt bei der 193.034-sten Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.
Entwicklung von Berechnungsverfahren
Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag: Man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Buchhalter und Wissenschaftler, vor allem Mathematiker und Astronomen, seit der Antike nach immer genaueren Näherungswerten für die Kreiszahl. Wesentliche Beiträge lieferten etwa ägyptische, babylonische und griechische Wissenschaftler, im Mittelalter vor allem chinesische und persische Wissenschaftler, in der Neuzeit französische, englische, schottische, deutsche und schweizerische Wissenschaftler. In der jüngeren Geschichte gerieten die Bestrebungen zur größtmöglichen Annäherung an phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.
Erste Näherungen
Berechnungen und Schätzungen in den vorchristlichen Kulturen
Die Kreiszahl und einige ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das altägyptische Rechenbuch des Ahmes aus der Mitte der 16. Jahrhundert v. Chr., nennt den Wert , was vom tatsächlichen Wert nur um rund 0,60 % abweicht.
Als Näherung für benutzten die Babylonier oder einfach nur 3, solange dessen Abweichung von gut 4,5 % nicht ins Gewicht fiel. Den Wert 3 nutzte man auch im alten China, und er findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens, das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:
„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“
In Indien nahm man für die Kreiszahl in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert und wenige Jahrhunderte v. Chr. in der Astronomie den Näherungswert .
Näherungen für den praktischen Alltag
Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber beträgt etwa 0,04 %. In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend.
Eine andere oft genutzte Näherung ist der Bruch , immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von entsprechen, z. B.:
Archimedes von Syrakus
Die Frage, ob die Kreiszahl rational ist
Für den griechischen Mathematiker Archimedes und viele nach ihm war unklar, ob die Berechnung von nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sich als rationale Zahl darstellen lassen, sogar von Kreisteilen eingeschlossene wie die Möndchen des Hippokrates.
Annäherung durch Vielecke
Archimedes gelang es um 250 v. Chr., die Kreiszahl mathematisch einzugrenzen, d. h. eine Ober- und Unterschranke anzugeben. Hierzu näherte er sich wie auch andere Mathematiker mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis an, um Näherungswerte für zu gewinnen. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken, beginnend bei Sechsecken, durch wiederholtes Verdoppeln der Eckenzahl bis zu 96-Ecken, berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als sein müsse, jedoch größer als :
Laut Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:
Wilbur Knorr korrigierte zu:
In den westlichen Kulturen stellten diese Berechnungen von Archimedes über eine sehr lange Zeit – wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen auch – den Status quo in Bezug auf die Genauigkeit der Kenntnis von dar. Erst im 16. Jahrhundert erwachte das Interesse wieder.
4. bis 15. Jahrhundert
Fortschritte in der Annäherung an erzielten in der Zeit des 4. bis 15. Jahrhunderts vor allem chinesische und persische Wissenschaftler:
Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704 sowie später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,1416.
Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (429–500) für die Kreiszahl , also die ersten 7 Dezimalstellen. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von ), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde (Adriaan Metius, deshalb auch Metius-Wert genannt). Im 14. Jahrhundert berechnete Zhao Youqin die Kreiszahl über ein 16384-Eck auf sechs Dezimalstellen genau.
Der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata gibt im Jahre 498 das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser mit an, was nur um rund 0,00023 % zu hoch liegt.
In seinem 1424 abgeschlossenen Werk Abhandlung über den Kreis berechnete der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi mit einem 3×228-Eck bereits auf 16 Stellen genau.
15. bis 19. Jahrhundert
Allgemeiner Verlauf
In Europa gelang es Ludolph van Ceulen 1596, die ersten 35 Dezimalstellen von zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen -Eck fort.
Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener -Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für in Form eines unendlichen Produktes ab:
Der englische Mathematiker John Wallis, der 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt entwickelte, zeigte im gleichen Jahr die Viète-Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:
Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:
Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.
Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen auch ein Spezialfall () der Reihenentwicklung des Arkustangens, die der indische Mathematiker Madhava um ca. 1400 fand und auf die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670er Jahren zurückkam:
Sie war in der Folgezeit Grundlage vieler Approximationen von , die alle lineare Konvergenzgeschwindigkeit haben.
Im Jahr 1706 beschrieb William Jones in seinem Werk Synopsis palmariorum matheseos die von ihm entwickelte Reihe, mit der er 100 Nachkommastellen von bestimmte.
„Let . […] Then , &c.“
Im selben Jahr 1706 berechnete John Machin mit seiner Formel
gleichfalls die ersten 100 Dezimalstellen von . Die Formel ist über das Additionstheorem des Arkustangens zu gewinnen – oder gleichwertig durch Betrachtung der komplexen Zahl, bestehend aus Potenzen ganzzahliger, so genannter Gaußscher Zahlen, mit ganzzahligen Exponenten
und dem Argumentwert; .
Im Laufe der Zeit wurden viele Formeln dieser Art gefunden. Eine Formel mit sehr guter Konvergenz der taylorschen Reihen stammt von Carl Størmer (1896):
welche gleichbedeutend damit ist, dass Real- und Imaginärteil der Gaußschen Zahl
gleich sind.
Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):
Irrationalität
Johann Heinrich Lambert bewies 1761/1767 die Irrationalität der Kreiszahl. Damit stand erstmalig fest, dass eine exakte oder abschließende Berechnung nicht möglich ist.
1770 publizierte Lambert einen Kettenbruch, der heute meist in der Form
geschrieben wird. Bei der Berechnung der Kreiszahl liefert er pro Schritt im Mittel etwa 0,76555 Dezimalstellen, im Vergleich zu anderen Kettenbrüchen relativ viel.
Numerische Verfahren ab dem 20. Jahrhundert
Neue Algorithmen
Im 20. Jahrhundert wurden Iterationsverfahren entwickelt, die eine deutlich effizientere Berechnung „neuer“ Nachkommastellen von gestatten.
1914 fand der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan bei Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen die folgende Formel:
Die ersten Iterationen dieses Verfahrens liefern folgende Ergebnisse:
| Iterationen | ergibt Ausdruck () | entspricht dezimal (falsche Ziffern in rot) |
|---|---|---|
Es wird also die Quadratwurzel aus 2 mit immer „längeren“ Näherungsbrüchen multipliziert. Pro Iteration liefert dieses Verfahren etwa 8 weitere korrekte Nachkommastellen.
Diese hocheffizienten Verfahren wurden erst mit der Entwicklung von Computern mit Langzahlarithmetik interessant, durch die der reine Rechenaufwand immer weniger ins Gewicht fiel, so dass komplizierte Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz praktisch durchführbar wurden.
Chudnovsky-Algorithmus
Der 1988 veröffentlichte Chudnovsky-Algorithmus ist das schnellste derzeit bekannte Verfahren und wurde in allen aktuellen Rekordberechnungen eingesetzt. Er wurde aus dem Ramanujan-Ansatz entwickelt, arbeitet jedoch etwa 50 Prozent schneller, und basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:
Eine technische Implementation beider Iterationsverfahren (Ramanujan und Chudnovsky) bietet die Software y-cruncher.
BBP-Reihen
1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey eine neuartige Reihendarstellung für :
Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die -te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von zu berechnen, ohne dass zuvor die vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.
Später wurden für weitere BBP-Reihen gefunden:
Tröpfelalgorithmus
Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von fand Stanley Rabinowitz. Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von gefunden worden.
Methode von Gauß, Brent und Salamin
Die Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate über elliptische Integrale und deren Approximation über das Arithmetisch-geometrische Mittel nach Gauß liefert das schnell konvergierende Verfahren von Salamin und Brent zur numerischen Berechnung. Grundlage hierfür ist die folgende zuerst von Gauß vermutete Darstellung von :
Letzteres Integral ist auch als lemniskatische Konstante bekannt. Es gilt dann
wobei sich das arithmetisch-geometrische Mittel über die Iteration
mit zwei initialen Argumenten berechnet und gesetzt wird.
Nichtnumerische Berechnungsverfahren
Berechnung mittels Flächenformel
Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.
Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius lautet
der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge errechnet sich als
Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also
Damit lässt sich als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben:
Programm
Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der näherungsweise berechnet werden kann.
Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von hängt von der Gitterweite ab und wird mittels kontrolliert. Mit erhält man z. B. 3,16 und mit bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.
r = 10000 kreistreffer = 0 quadrattreffer = r ^ 2 for i = 0 to r - 1 x = i + 0.5 for j = 0 to r - 1 y = j + 0.5 if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then kreistreffer = kreistreffer + 1 return 4 * kreistreffer / quadrattreffer Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes marginal.
Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.
Alternatives Programm
Dieses Programm summiert die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen. Es verwendet die Gleichungen
und sowie .
n := 1000000 // Halbe Anzahl der Streifen s := 0 // Summe der Flächeninhalte for x := -1 to +1 step 1/n: // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren. // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen. // Die 2 steht für die obere plus die untere Hälfte. // Der Faktor 1/n ist die Breite des Streifens. s += 2 * sqrt(1 - x*x) * 1/n pi := s Die x-Koordinaten der untersuchten Fläche gehen von bis . Da Kreise rund sind und dieser Kreis sein Zentrum auf den Koordinaten hat, liegen die y-Koordinaten ebenfalls im Bereich von bis . Das Programm teilt die zu untersuchende Fläche in 2 Millionen schmale Streifen auf. Jeder dieser Streifen hat dieselbe Breite, nämlich . Die Oberkante eines jeden Streifens ist jedoch unterschiedlich und ergibt sich aus der obigen Formel zu , im Code wird das als sqrt(1 - x*x) geschrieben. Die Höhe eines jeden Streifens geht von der Oberkante bis zur Unterkante. Da die beiden Kanten bei Kreisen gleich weit von der Mittellinie entfernt sind, ist die Höhe genau das Doppelte der Kantenlänge, daher die 2 im Code.
Nach dem Durchlaufen der for-Schleife befindet sich in der Variablen s der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1. Um aus dieser Zahl den Wert von Pi zu ermitteln, muss diese Zahl gemäß der Formel noch durch geteilt werden. In diesem Beispiel ist , daher ist das im Programmcode weggelassen.
Statistische Bestimmung
Berechnung mit einem Monte-Carlo-Algorithmus
Eine Methode zur Bestimmung von ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist approximiert .
Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von lässt sich daher nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.
Der Algorithmus für diese Bestimmung ist:
function approximiere_pi(tropfenzahl) innerhalb := 0 // Zählt die Tropfen innerhalb des Kreises // So oft wiederholen, wie es Tropfen gibt: for i := 1 to tropfenzahl do // Zufälligen Tropfen im Quadrat [0,0] bis (1,1) erzeugen x := random(0.0 ..< 1.0) y := random(0.0 ..< 1.0) // Wenn der Tropfen innerhalb des Kreises liegt … if x * x + y * y <= 1.0 innerhalb++ // Zähler erhöhen return 4.0 * innerhalb / tropfenzahl Die 4.0 im Code ergibt sich daraus, dass in der Tröpfchensimulation nur die Anzahl für einen Viertelkreis berechnet wurde. Um daraus die (hochgerechnete) Anzahl für einen ganzen Kreis zu bekommen, muss die berechnete Anzahl noch mit 4 multipliziert werden. Da die Zahl Pi das Verhältnis zwischen der Kreisfläche und dem Quadrat des Radius ist, muss die so erhaltene Zahl noch durch das Quadrat des Radius geteilt werden. Der Radius ist in diesem Fall 1, daher kann das Teilen weggelassen werden.
Buffonsches Nadelproblem
Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem, von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1733 vorgetragen, 1777 veröffentlicht). Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen, aber konstanten Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl der Nadelwürfe durch die Zahl der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, nähert sich (stochastisch) mit zunehmender Zahl der Würfe an die Formel
an, wobei die Länge der Nadeln und den Abstand der Linien auf dem Papier bezeichnet. Daraus ergibt sich leicht eine Näherung für . Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von .
Rekorde der Berechnung von π
| durchgeführt von | Jahr | Dezimalstellen | Methode / Hilfsmittel | Rechenzeit |
|---|---|---|---|---|
| Archimedes | ca. 250 v. Chr. | 2 | 96-Eck | |
| Liu Hui | nach 263 | 5 | 3072-Eck | |
| Zu Chongzhi | ca. 480 | 6 | ||
| Dschamschid Masʿud al-Kaschi | ca. 1424 | 15 | 3·228-Eck | |
| Ludolph van Ceulen | 1596 | 20 | ||
| Ludolph van Ceulen | 1610 | 35 | 262-Eck | |
| William Jones | 1706 | 100 | Reihenentwicklung | |
| John Machin | 1706 | 100 | Reihenentwicklung | |
| Jurij Vega | 1794 | 126 | ||
| William Shanks | 1853 | (527) | Reihenentwicklung von und . Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von von Hand. Im Jahr 1945 stellte John W. Wrench fest, dass die letzten 180 Stellen falsch waren. | |
| Levi B. Smith, John W. Wrench | 1949 | 1.120 | mechanische Rechenmaschine | |
| G. Reitwiesner | 1949 | 2.037 | mit dem Röhren-Rechner ENIAC | 70 h |
| S.C. Nicholson, J. Jeenel | 1954 | 3.093 | Naval Ordnance Research Calculator | 0:13 h |
| George E. Felton | 1957 | 7.480 | Pegasus | 33 h |
| F. Genuys | 1958 | 10.000 | mit dem Magnetkernspeicher-Rechner IBM 704, per Machin-Formel | 10 h |
| George E. Felton | 1958 | 10.021 | Pegasus | 33 h |
| Jean Guilloud | 1959 | 16.167 | IBM 704 | 4:18 h |
| Daniel Shanks, John W. Wrench | 1961 | 100.265 | mit dem Transistoren-Computer IBM 7090 | 8:43 h |
| Jean Guilloud, J. Filliatre | 1966 | 250.000 | IBM 7030 | 41:55 h |
| Jean Guilloud, M. Dichampt | 1967 | 500.000 | CDC 6600 | 28:10 h |
| Jean Guilloud, Martin Boyer | 1973 | 1.001.250 | CDC 7600 | 23:18 h |
| Kazunori Miyoshi, Yasumasa Kanada | 1981 | 2.000.036 | FACOM M-200 | 137:18 h |
| Jean Guilloud | 1981 | 2.000.050 | ||
| Yoshiaki Tamura | 1982 | 2.097.144 | MELCOM 900II | 7:14 h |
| Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada | 1982 | 4.194.288 | HITAC M-280H | 2:21 h |
| Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada | 1982 | 8.388.576 | HITAC M-280H | 6:52 h |
| Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura | 1982 | 16.777.206 | HITAC M-280H | <30 h |
| Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo | 1987 | 134.217.700 | ||
| David und Gregory Chudnovsky | 1989 | 1.011.196.691 | ||
| Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi | 1997 | 51.539.600.000 | ||
| Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi | 1999 | 206.158.430.000 | ||
| Yasumasa Kanada | 2002 | 1.241.100.000.000 | Berechnung: Verifikation: | |
| Daisuke Takahashi | 2009 | 2.576.980.370.000 | Berechnung: Gauß-Legendre-Algorithmus | |
| Fabrice Bellard | 2010 | 2.699.999.990.000 | Berechnung: TachusPi Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Bellards Formel | 131 d |
| Shigeru Kondo, Alexander Yee | 2010 | 5.000.000.000.000 | Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Plouffes und Bellards Formel | 90 d |
| Shigeru Kondo, Alexander Yee | 2011 | 10.000.000.000.050 | 191 d | |
| Shigeru Kondo, Alexander Yee | 2013 | 12.100.000.000.050 | Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Bellards Formel | 82 d |
| Sandon Van Ness (Houkouonchi) | 2014 | 13.300.000.000.000 | 208 d | |
| Peter Trüb / DECTRIS | 2016 | 22.459.157.718.361 | 105 d | |
| Emma Haruka Iwao / Google LLC | 2019 | 31.415.926.535.897 | Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Plouffes und Bellards Formel | 121 d |
| Timothy Mullican | 2020 | 50.000.000.000.000 | 303 d | |
| FH Graubünden | 2021 | 62.831.853.071.796 | 108 d | |
| Google LLC | 2022 | 100.000.000.000.000 | 157 d |
Geometrische Konstruktionen
Aufgrund der Transzendenz von ist es nicht möglich, durch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit der exakten Länge von Längeneinheiten zu erstellen. Es existieren jedoch sowohl eine Reihe von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen, die sehr gute Näherungen liefern, als auch Konstruktionen, die dank eines weiteren Hilfsmittels – zusätzlich zu Zirkel und Lineal – eine exakte Konstruktion ermöglichen. Als ein solches weiteres Hilfsmittel kommen dabei insbesondere als Quadratrizes bezeichnete Kurven zum Einsatz, die z. B. mit Hilfe einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) erzeugt und als Ausdruck u. a. auf Papier Verwendung finden. Zudem gibt es einige spezielle mechanische Zeichengeräte und eventuell eigens angefertigte Kurvenlineale, mit denen sich solche Kurven zeichnen lassen.
Ohne direktischen praktischen Nutzen, doch geometrisch anschaulich, lässt sich als Flächeninhalt eines angepassten Sierpinski-Teppiches konstruieren.
Näherungskonstruktionen
Zur geometrischen Konstruktion der Zahl gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański aus dem Jahr 1685, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.
Der Flächeninhalt des ergänzten Dreiecks (hellblau) ist nahezu gleich dem des Kreises.
143 Jahre später, nämlich 1828, veröffentlichte C. G. Specht seine Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Für die Annäherung fand er den Wert
Halbiert man diesen Wert, ergibt sich eine Dezimalzahl, bei der sieben Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl übereinstimmen:
Bei einem Kreis mit Radius ist dieser Wert auch gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks , mit anderen Worten, der Flächeninhalt des Dreiecks ist nahezu gleich dem des Kreises.
Beachtenswert ist, erst im Jahr 1914, d. h. 86 Jahre später, verbesserte Srinivasa Ramanujan – in seiner zweiten Quadratur des Kreises – die Genauigkeit des nahezu flächengleichen Quadrats um eine auf acht gemeinsame Nachkommastellen mit der Kreiszahl .
Eine zeichnerische Darstellung wird in dem oben angeführten Journal nicht erfasst; hierzu die Anmerkung des Herausgebers:
„Es wird dem Leser leicht sein, die Figur nach der Beschreibung zu entwerfen.“
Die nachfolgende Beschreibung der nebenstehenden Konstruktion ist eine Anlehnung an das Original der Konstruktionsbeschreibung.
Zeichne zuerst den Einheitskreis um den Punkt und dann ab eine gerade Linie; dabei ergibt sich . Anschließend wird in eine Senkrechte zur Geraden errichtet; sie erzeugt . Es folgen auf der Geraden ab hintereinander vier Halbkreise mit dem Radius jeweils um den sich neu ergebenden Schnittpunkt, dabei entstehen die Punkte und . Nach der Dreiteilung der Strecken in und sowie in und , wird nun der Punkt mit verbunden. Die dabei entstandene Strecke auf die Senkrechte ab abgetragen ergibt . Verbinde auch den Punkt mit und übertrage die neue Strecke ab auf die Senkrechte; es ergibt sich . Es geht weiter mit den Verbindungen der Punkte mit sowie mit . Beim Übertragen der Strecke auf die Strecke ab ergibt sich . Abschließend zeichne ab eine Parallele zur Strecke , die in schneidet. Die somit entstandene Strecke entspricht annähernd dem Wert .
Die Annäherung an die Kreiszahl kann z. B. auf folgende Art und Weise verdeutlicht werden:
Wäre der Durchmesser eines Kreises , würde sein angenäherter Umfang nur um ca. kürzer als sein theoretischer Wert sein.
Mithilfe der Quadratrix des Hippias
Die nebenstehende Darstellung zeigt die Kreiszahl als Strecke, erstellt mit Hilfe der Quadratrix des Hippias.
Es beginnt mit einer Geraden ab dem Punkt und einer Senkrechten auf diese Gerade durch . Anschließend wird der Halbkreis mit dem Radius um gezogen; dabei ergeben sich die Schnittpunkte und . Nun konstruiert man das Quadrat mit der Seitenlänge 1. Es folgt die Festlegung der Quadratrix, ohne „Lücke“ auf der -Achse. Hierfür wird der Bezug der Kurve nicht auf die -Achse, sondern auf die -Achse gewählt. Die Quadratrix (rot) verläuft somit durch und . Für diese Lage der Quadratrix () gilt die kartesische Gleichung:
Die Quadratrix schneidet nach dem Satz des Dinostratos die Seite ihres zugehörigen Quadrates im Punkt und generiert damit auf der Geraden, nun als Zahlengerade genutzt, den Wert . Das Errichten der Senkrechten auf die Strecke ab bis zum Halbkreis ergibt den Schnittpunkt . Nach der Verlängerung der Strecke über hinaus und dem Zeichnen einer geraden Linie ab durch bis zur Verlängerung ergibt sich der Schnittpunkt . Eine Möglichkeit u. a. ist nun, die Länge der Strecke mit Hilfe des Strahlensatzes zu bestimmen. In der Zeichnung ist ersichtlich, dass der Strecke entspricht. Infolgedessen sind nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte
umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich
Nun wird der Kreisbogen mit dem Radius wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele