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Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi Die Produktformel von Vieta von 1593 1 ist eine der ersten historisch nachgew

Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi

Die Produktformel von Vieta von 1593 ist eine der ersten historisch nachgewiesenen analytischen Darstellungen für die Kreiszahl . Sie ist ein unendliches Produkt mit geschachtelten Wurzeln.

Darstellungen von π Bearbeiten

Formel von Vieta Bearbeiten

Mit der durch

rekursiv definierten Zahlenfolge gilt:

Ausgeschrieben mit den ersten Faktoren lautet das unendliche Produkt also:

Beziehung zur Darstellung nach Euler Bearbeiten

Die Produktformel von Vieta ergibt sich als Spezialfall aus folgendem Resultat von Euler (s. Beweis unten) durch Einsetzen von :

Insbesondere resultiert hieraus folgende alternative, direkte Darstellung für die Glieder der Zahlenfolge (s. o.):

Produktfreie Darstellung Bearbeiten

Die folgende Darstellung ist äquivalent zur Produktformel von Vieta und hat eine einfache geometrische Interpretation (vgl. zum Beispiel). Mit der rekursiv definierten Folge

sowie darauf aufbauend den Folgen und

gilt:

Die ersten Glieder der Folge lauten:

Die Folgenglieder sind jeweils gerade die Seitenlänge und die Folgenglieder entsprechend der halbe Umfang des regelmäßigen -Ecks. Wegen und der damit verbundenen numerischen Auslöschung in ist die Darstellung von durch die Folge zur numerischen Berechnung nicht geeignet.

Beweise Bearbeiten

Analytischer Beweis Bearbeiten

Der im Folgenden skizzierte Beweis basiert auf Additionstheoremen aus der Trigonometrie und einer elementaren Grenzwertbetrachtung. Aus

folgt einerseits durch Verwenden des bekannten Grenzwertes

Andererseits erhält man durch iteratives Anwenden der Verdopplungsformel für den Sinus:

Zusammenfassen dieser beiden Aussagen führt dann auf die Darstellung von Euler:

Also speziell für :

Induktiv lässt sich nun leicht zeigen, dass die Kosinus-Terme mit den Gliedern der rekursiv definierten Folge übereinstimmen:

Für folgt die Gleichheit unmittelbar aus dem bekannten speziellen Wert des Kosinus und für (Induktionsschritt) verwendet man die Halbierungsformel für den Kosinus.

Historische Argumentation nach Vieta Bearbeiten

Der obige analytische Beweis für Vietas Produktformel beruht auf der Darstellung für , einem Resultat, das Euler erst über 100 Jahre später kannte und welches Vieta noch nicht zur Verfügung stand. Seine Argumentation ist geometrischer Natur und ist eine Variation des Exhaustionsverfahren zur Berechnung der Kreisfläche, welches auf Archimedes zurückgeht. Ausgehend von einem Quadrat () verwendet Vieta eine Folge von regelmäßigen -Ecken, die dem Einheitskreis einbeschrieben sind und sukzessive den Flächeninhalt approximieren. Die bei der Verdopplung benötigten Längen und Verhältnisse erhält Vieta durch elementare geometrische Überlegungen (zum Beispiel mittels des Satzes von Pythagoras).

Beweis für die produktfreie Darstellung Bearbeiten

Durch Kehrwertbildung und Multiplikation mit 2 folgt aus der Vietaschen Produktformel unmittelbar folgende Produktformel für :

Die Behauptung für die produktfreie Darstellung ist offensichtlich wahr, wenn für die Zahlenfolge

gilt. Dies lässt sich durch vollständige Induktion leicht zeigen (hierbei gehen lediglich die Definitionen der Folgen , , und ein, vgl.).

Literatur Bearbeiten

  • P. Beckmann: A History of Pi, St. Martin's Press, New York, New York, 1971, ISBN 978-0312381851
  • L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein:L Pi: A source book, Second Edition, Springer Verlag, New York, 2000, ISBN 978-0387949246
  • Aaron Levin: A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for , The Ramanujan Journal, Volume 10, Number 3, December 2005, pp. 305–324(20), doi:10.1007/s11139-005-4852-z
  • T. J. Osler: The united Vieta's and Wallis's products for , American Mathematical Monthly, 106 (1999), pp. 774–776.
  • T. J. Osler und M. Wilhelm: Variations on Vieta's and Wallis's products for pi, Mathematics and Computer Education, 35(2001), pp. 225–232.
  • Heinrich Quillmann: Exercises using the Pythagorean Theorem for calculating . (Übungen mit dem Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Kreiszahl.) (German), PM Prax. Math. Sch. 45, No. 6, 285 (2003).
  • Franciscus Vieta: Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII, (1593) in: Francisci Vietae Opera Mathematica, (reprinted) Georg Olms Verlag, Hildesheim, New York, 1970, pp. 398–400 and 436–446. (Onlineversion des Gesamtwerkes Francisci Vietae Opera Mathematica erhältlich auf der Website der ETH-Bibliothek Zürich)

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Beweis der Produktformel von Vieta und verwandter Aussagen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. siehe Originalarbeit Franciscus Vieta, Variorum de Rebus Mathematics Reponsorum Liber VII, (1593) in: Francisci Vietae Opera Mathematica, (reprinted) Georg Olms Verlag, Hildesheim, New York, 1970, pp. 398–400 and 436–446. (Onlineversion des Gesamtwerkes Francisci Vietae Opera Mathematica erhältlich auf der Website der ETH-Bibliothek Zürich)
  2. siehe dazu zum Beispiel P. Beckmann, A History of Pi, St. Martin's Press, New York, New York, 1971, ISBN 978-0312381851
  3. L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A source book, Second Edition, Springer Verlag, New York, 2000, ISBN 978-0387949246
  4. ↑ Heinrich Quillmann: Exercises using the Pythagorean Theorem for calculating . (Übungen mit dem Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Kreiszahl.) (German), PM Prax. Math. Sch. 45, No. 6, 285 (2003)
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Veröffentlichungsdatum:
Die Produktformel von Vieta von 1593 1 ist eine der ersten historisch nachgewiesenen 2 3 analytischen Darstellungen fur die Kreiszahl p displaystyle pi Sie ist ein unendliches Produkt mit geschachtelten Wurzeln Inhaltsverzeichnis 1 Darstellungen von p 1 1 Formel von Vieta 1 2 Beziehung zur Darstellung nach Euler 1 3 Produktfreie Darstellung 2 Beweise 2 1 Analytischer Beweis 2 2 Historische Argumentation nach Vieta 2 3 Beweis fur die produktfreie Darstellung 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDarstellungen von p BearbeitenFormel von Vieta Bearbeiten Mit der durch a 1 1 2 2 a n 1 2 2 2 a n 1 n 2 displaystyle begin aligned a 1 amp frac 1 2 sqrt 2 a n amp frac 1 2 sqrt 2 2a n 1 qquad n geq 2 end aligned nbsp rekursiv definierten Zahlenfolge a n displaystyle a n nbsp gilt lim n j 1 n a j a 1 a 2 a 3 2 p displaystyle lim n to infty prod j 1 n a j a 1 cdot a 2 cdot a 3 cdots frac 2 pi nbsp Ausgeschrieben mit den ersten Faktoren lautet das unendliche Produkt also 2 p 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 displaystyle frac 2 pi left frac 1 2 sqrt 2 right cdot left frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 right cdot left frac 1 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 right cdots nbsp Beziehung zur Darstellung nach Euler Bearbeiten Die Produktformel von Vieta ergibt sich als Spezialfall aus folgendem Resultat von Euler s Beweis unten durch Einsetzen von x p 2 displaystyle x tfrac pi 2 nbsp sin x x lim n j 1 n cos x 2 j cos x 2 cos x 4 cos x 8 2 p lim n j 1 n cos p 2 j 1 cos p 4 cos p 8 cos p 16 displaystyle begin aligned frac sin x x amp lim n to infty prod j 1 n cos left frac x 2 j right cos left frac x 2 right cdot cos left frac x 4 right cdot cos left frac x 8 right cdots frac 2 pi amp lim n to infty prod j 1 n cos left frac pi 2 j 1 right cos left frac pi 4 right cdot cos left frac pi 8 right cdot cos left frac pi 16 right cdots end aligned nbsp Insbesondere resultiert hieraus folgende alternative direkte Darstellung fur die Glieder der Zahlenfolge a n displaystyle a n nbsp s o a n cos p 2 n 1 f u r n 1 displaystyle a n cos left frac pi 2 n 1 right qquad qquad mathrm f ddot u r n geq 1 nbsp Produktfreie Darstellung Bearbeiten Die folgende Darstellung ist aquivalent zur Produktformel von Vieta und hat eine einfache geometrische Interpretation vgl zum Beispiel 4 Mit der rekursiv definierten Folge r n displaystyle r n nbsp r 0 0 r n 2 r n 1 f u r n 1 displaystyle begin aligned r 0 amp 0 r n amp sqrt 2 r n 1 qquad qquad mathrm f ddot u r n geq 1 end aligned nbsp sowie darauf aufbauend den Folgen s n displaystyle s n nbsp und u n displaystyle u n nbsp s n 2 r n 1 displaystyle s n sqrt 2 r n 1 nbsp u n 2 n s n 2 n 2 r n 1 displaystyle u n 2 n s n 2 n sqrt 2 r n 1 nbsp gilt lim n u n lim n 2 n 2 2 2 2 2 n 1 fache Schachtelung p displaystyle lim n to infty u n lim n to infty 2 n sqrt 2 underbrace sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 cdots sqrt 2 n 1 text fache Schachtelung pi nbsp Die ersten Glieder der Folge u n displaystyle u n nbsp lauten u 1 2 2 u 2 4 2 2 u 3 8 2 2 2 displaystyle begin aligned u 1 amp 2 cdot sqrt 2 u 2 amp 4 cdot sqrt 2 sqrt 2 u 3 amp 8 cdot sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 end aligned nbsp displaystyle vdots qquad qquad vdots qquad qquad vdots nbsp Die Folgenglieder s n displaystyle s n nbsp sind jeweils gerade die Seitenlange und die Folgenglieder u n displaystyle u n nbsp entsprechend der halbe Umfang des regelmassigen 2 n 1 displaystyle 2 n 1 nbsp Ecks Wegen lim n r n 2 displaystyle lim n to infty r n 2 nbsp und der damit verbundenen numerischen Ausloschung in s n displaystyle s n nbsp ist die Darstellung von p displaystyle pi nbsp durch die Folge u n displaystyle u n nbsp zur numerischen Berechnung nicht geeignet Beweise BearbeitenAnalytischer Beweis Bearbeiten Der im Folgenden skizzierte Beweis basiert auf Additionstheoremen aus der Trigonometrie und einer elementaren Grenzwertbetrachtung Aus 2 n sin x 2 n x sin x 2 n x 2 n displaystyle begin aligned 2 n cdot sin left frac x 2 n right amp x cdot left frac sin left frac x 2 n right frac x 2 n right end aligned nbsp folgt einerseits durch Verwenden des bekannten Grenzwertes lim x 0 sin x x 1 displaystyle lim x to 0 tfrac sin x x 1 nbsp lim n 2 n sin x 2 n x displaystyle begin aligned lim n to infty 2 n cdot sin left frac x 2 n right amp x end aligned nbsp Andererseits erhalt man durch iteratives Anwenden der Verdopplungsformel fur den Sinus sin x 2 sin x 2 cos x 2 2 n sin x 2 n j 1 n cos x 2 j displaystyle sin x 2 cdot sin left frac x 2 right cos left frac x 2 right ldots 2 n cdot sin left frac x 2 n right cdot prod j 1 n cos left frac x 2 j right nbsp Zusammenfassen dieser beiden Aussagen fuhrt dann auf die Darstellung von Euler sin x x lim n j 1 n cos x 2 j displaystyle begin aligned frac sin x x amp lim n to infty prod j 1 n cos left frac x 2 j right end aligned nbsp Also speziell fur x p 2 displaystyle x tfrac pi 2 nbsp 2 p lim n j 1 n cos p 2 j 1 displaystyle begin aligned frac 2 pi amp lim n to infty prod j 1 n cos left frac pi 2 j 1 right end aligned nbsp Induktiv lasst sich nun leicht zeigen dass die Kosinus Terme mit den Gliedern der rekursiv definierten Folge a n displaystyle a n nbsp ubereinstimmen Fur n 1 displaystyle n 1 nbsp folgt die Gleichheit unmittelbar aus dem bekannten speziellen Wert des Kosinus cos p 4 1 2 2 displaystyle cos tfrac pi 4 tfrac 1 2 sqrt 2 nbsp und fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp Induktionsschritt verwendet man die Halbierungsformel fur den Kosinus Historische Argumentation nach Vieta Bearbeiten Der obige analytische Beweis fur Vietas Produktformel beruht auf der Darstellung fur sin x x displaystyle tfrac sin x x nbsp einem Resultat das Euler erst uber 100 Jahre spater kannte und welches Vieta noch nicht zur Verfugung stand Seine Argumentation ist geometrischer Natur und ist eine Variation des Exhaustionsverfahren zur Berechnung der Kreisflache welches auf Archimedes zuruckgeht Ausgehend von einem Quadrat n 2 displaystyle n 2 nbsp verwendet Vieta eine Folge von regelmassigen 2 n displaystyle 2 n nbsp Ecken die dem Einheitskreis einbeschrieben sind und sukzessive den Flacheninhalt approximieren Die bei der Verdopplung benotigten Langen und Verhaltnisse erhalt Vieta durch elementare geometrische Uberlegungen zum Beispiel mittels des Satzes von Pythagoras Beweis fur die produktfreie Darstellung Bearbeiten Durch Kehrwertbildung und Multiplikation mit 2 folgt aus der Vietaschen Produktformel unmittelbar folgende Produktformel fur p displaystyle pi nbsp p lim n 2 j 1 n 1 a j displaystyle pi lim n to infty 2 cdot prod j 1 n frac 1 a j nbsp Die Behauptung fur die produktfreie Darstellung ist offensichtlich wahr wenn fur die Zahlenfolge u n displaystyle u n nbsp u n 2 j 1 n 1 a j displaystyle u n 2 cdot prod j 1 n frac 1 a j nbsp gilt Dies lasst sich durch vollstandige Induktion leicht zeigen hierbei gehen lediglich die Definitionen der Folgen a n displaystyle a n nbsp r n displaystyle r n nbsp s n displaystyle s n nbsp und u n displaystyle u n nbsp ein vgl 4 Literatur BearbeitenP Beckmann A History of Pi St Martin s Press New York New York 1971 ISBN 978 0312381851 L Berggren J Borwein P Borwein L Pi A source book Second Edition Springer Verlag New York 2000 ISBN 978 0387949246 Aaron Levin A New Class of Infinite Products Generalizing Viete s Product Formula for p displaystyle pi nbsp The Ramanujan Journal Volume 10 Number 3 December 2005 pp 305 324 20 doi 10 1007 s11139 005 4852 z T J Osler The united Vieta s and Wallis s products for p displaystyle pi nbsp American Mathematical Monthly 106 1999 pp 774 776 T J Osler und M Wilhelm Variations on Vieta s and Wallis s products for pi Mathematics and Computer Education 35 2001 pp 225 232 Heinrich Quillmann Exercises using the Pythagorean Theorem for calculating p displaystyle pi nbsp Ubungen mit dem Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Kreiszahl German PM Prax Math Sch 45 No 6 285 2003 Franciscus Vieta Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII 1593 in Francisci Vietae Opera Mathematica reprinted Georg Olms Verlag Hildesheim New York 1970 pp 398 400 and 436 446 Onlineversion des Gesamtwerkes Francisci Vietae Opera Mathematica erhaltlich auf der Website der ETH Bibliothek Zurich Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beweis der Produktformel von Vieta und verwandter Aussagen Lern und LehrmaterialienEinzelnachweise Bearbeiten siehe Originalarbeit Franciscus Vieta Variorum de Rebus Mathematics Reponsorum Liber VII 1593 in Francisci Vietae Opera Mathematica reprinted Georg Olms Verlag Hildesheim New York 1970 pp 398 400 and 436 446 Onlineversion des Gesamtwerkes Francisci Vietae Opera Mathematica erhaltlich auf der Website der ETH Bibliothek Zurich siehe dazu zum Beispiel P Beckmann A History of Pi St Martin s Press New York New York 1971 ISBN 978 0312381851 L Berggren J Borwein P Borwein Pi A source book Second Edition Springer Verlag New York 2000 ISBN 978 0387949246 a b Heinrich Quillmann Exercises using the Pythagorean Theorem for calculating p displaystyle pi nbsp Ubungen mit dem Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Kreiszahl German PM Prax Math Sch 45 No 6 285 2003 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi amp oldid 236283374