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Trigonometrie Die griechisch τρίγωνον trígonon Dreieck und μέτρον métron Maß ist ein Teilgebiet der Geometrie und somit

Trigonometrie

Die Trigonometrie (griechisch τρίγωνον trígonon ‚Dreieck‘ und μέτρον métron ‚Maß‘) ist ein Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik. Soweit Fragestellungen der ebenen Geometrie (Planimetrie) trigonometrisch behandelt werden, spricht man von ebener Trigonometrie; daneben gibt es die sphärische Trigonometrie, die sich mit Kugeldreiecken (sphärischen Dreiecken) befasst, und die hyperbolische Trigonometrie. Die folgenden Ausführungen beziehen sich im Wesentlichen auf das Gebiet der ebenen Trigonometrie.

Abbildungen zur Trigonometrie in einem Buch aus dem Jahr 1687

In der Trigonometrie werden die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken untersucht. Durch die Kenntnis und Anwendung dieser Beziehungen (Formeln) können dann mit gegebenen Größen eines Dreiecks (Seitenlängen, Winkelgrößen, Längen von Dreieckstransversalen usw.) andere fehlende Größen des Dreiecks berechnet werden. Als Hilfsmittel werden die trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen, Kreisfunktionen, goniometrischen Funktionen) Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kotangens (cot), Sekans (sec) und Kosekans (csc) verwendet. Trigonometrische Berechnungen können sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen, beispielsweise auf Polygone (Vielecke), auf Probleme der Stereometrie (Raumgeometrie) und auf Fragen vieler anderer Gebiete (siehe unten).

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Bearbeiten

Rechtwinkliges Dreieck

Besonders einfach ist die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks. Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt, ist der rechte Winkel eines solchen Dreiecks der größte Innenwinkel. Ihm liegt die längste Seite (als Hypotenuse bezeichnet) gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks nennt man Katheten. Wenn man sich auf einen der beiden kleineren Winkel bezieht, ist es sinnvoll, zwischen der Gegenkathete (dem gegebenen Winkel gegenüber) und der Ankathete (benachbart zum gegebenen Winkel) zu unterscheiden. Man definiert nun:

Diese Definitionen sind sinnvoll, da verschiedene rechtwinklige Dreiecke mit dem gegebenen Winkel untereinander ähnlich sind, sodass sie in ihren Seitenverhältnissen übereinstimmen. Beispielsweise könnte ein Dreieck doppelt so lange Seiten haben wie ein anderes. Die Brüche der genannten Definitionsgleichungen hätten in diesem Fall die gleichen Werte. Diese Werte hängen also nur vom gegebenen Winkel ab. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, von Funktionen der Winkel zu sprechen.

Beispiel: Berechnung einer Seitenlänge Bearbeiten

Die folgenden Zahlenwerte sind abgerundet. In einem Dreieck ABC sind folgende Größen gegeben:

Aus diesen Angaben soll die Seitenlänge c ermittelt werden. Da die Ankathete von bekannt und die Hypotenuse gesucht ist, wird die Kosinus-Funktion verwendet.

Beispiel: Berechnung einer Winkelgröße Bearbeiten

Von einem Dreieck ABC ist bekannt:

Gesucht ist der Winkel . Die beiden gegebenen Seiten und sind die Ankathete und die Gegenkathete von . Daher ist es sinnvoll, die Tangens-Funktion einzusetzen.

Während im letzten Beispiel für einen bekannten Winkel der Kosinuswert zu berechnen war, ist hier die Situation umgekehrt. Aus einem bekannten Tangenswert soll der zugehörige Winkel bestimmt werden. Man benötigt hierfür die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion, die so genannte Arcustangens-Funktion (arctan), oder ein Tabellenwerk, aus dem Winkel und zugehöriger Tangenswert abgelesen werden können. Damit erhält man:

Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis Bearbeiten

Einheitskreis
Alle trigonometrischen Funktionen des Winkels θ können geometrisch im Einheitskreis mit Zentrum O konstruiert werden.

Die bisher verwendeten Definitionen sind nur für Winkel unter 90° brauchbar. Für viele Zwecke ist man jedoch an trigonometrischen Werten größerer Winkel interessiert. Der Einheitskreis, das ist ein Kreis mit Radius 1, erlaubt eine solche Erweiterung der bisherigen Definition. Zum gegebenen Winkel wird der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt. Die x-Koordinate dieses Punkts ist der Kosinuswert des gegebenen Winkels, die y-Koordinate der Sinuswert.

Die oben gegebene Definition von Sinus- und Kosinuswert durch x- und y-Koordinate lässt sich problemlos auf Winkel über 90° ausdehnen. Man erkennt dabei, dass für Winkel zwischen 90° und 270° die x-Koordinate und damit auch der Kosinus negativ ist, entsprechend für Winkel zwischen 180° und 360° die y-Koordinate und somit auch der Sinus. Auch auf Winkel, die größer als 360° sind, sowie auf negative Winkel lässt sich die Definition ohne Weiteres übertragen.

Man beachte, dass in der modernen Herangehensweise die Beziehung zwischen Winkel und Sinus bzw. Kosinus dazu benutzt wird, um den Winkel zu definieren. Die Sinus- und Kosinusfunktion selbst werden über ihre Reihendarstellung eingeführt.

Die weiteren vier trigonometrischen Funktionen sind definiert durch:

Trigonometrie im allgemeinen Dreieck Bearbeiten

Auch für allgemeine Dreiecke wurden etliche Formeln entwickelt, die es gestatten, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu bestimmen. Zu nennen wären hier insbesondere der Sinussatz und der Kosinussatz. Die Verwendung des Sinussatzes

ist nützlich, wenn von einem Dreieck entweder zwei Seiten und einer der beiden gegenüber liegenden Winkel oder eine Seite und zwei Winkel bekannt sind. Der Kosinussatz

ermöglicht es, entweder aus drei gegebenen Seiten die Winkel auszurechnen oder aus zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel die gegenüber liegende Seite. Weitere Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten, sind der Tangenssatz, der Halbwinkelsatz (Kotangenssatz) und die mollweideschen Formeln.

Eigenschaften und Formeln Bearbeiten

Figur 1
Figur 2

Die Artikel über die sechs trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Secans, Kosecans) und die Formelsammlung Trigonometrie enthalten zahlreiche Eigenschaften dieser Funktionen und Formeln zum Rechnen mit diesen. Besonders häufig gebraucht werden die Komplementärformeln für Sinus und Kosinus

sowie der „trigonometrische Pythagoras“

Wichtig sind auch die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen und die Folgerungen daraus. Es geht dabei um trigonometrische Werte von Summen oder Differenzen von Winkeln. So gilt beispielsweise für alle und :

Zu Figur 2:

Weitere Additionstheoreme:

Weitere Identitäten finden sich in der Formelsammlung Trigonometrie.

Anwendungsgebiete Bearbeiten

Historische Abbildung zur Vermessung eines Geländes mit Hilfe eines Dreiecks (1667)

Trigonometrie spielt in vielen Bereichen eine entscheidende Rolle:

In der Geodäsie (Vermessung) spricht man von Triangulation, wenn man von Punkten bekannter Position aus andere Punkte anpeilt (Winkelmessung) und daraus trigonometrisch die Positionen der neuen Punkte bestimmt. In der Astronomie lassen sich auf entsprechende Weise die Entfernungen von Planeten, Monden und nahe gelegenen Fixsternen ermitteln. Ähnlich groß ist die Bedeutung der Trigonometrie für die Navigation von Flugzeugen und Schiffen und für die sphärische Astronomie, insbesondere für die Berechnung von Stern- und Planetenpositionen.

In der Physik dienen Sinus- und Kosinus-Funktion dazu, Schwingungen und Wellen mathematisch zu beschreiben. Entsprechendes gilt für den zeitlichen Verlauf von elektrischer Spannung und elektrischer Stromstärke in der Wechselstromtechnik.

Geschichte Bearbeiten

Vorläufer der Trigonometrie gab es bereits während der Antike in der griechischen Mathematik. Aristarchos von Samos nutzte die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke zur Berechnung der Entfernungsverhältnisse zwischen Erde und Sonne bzw. Mond. Von den Astronomen Hipparch und Ptolemäus ist bekannt, dass sie mit Sehnentafeln arbeiteten, also mit Tabellen für die Umrechnung von Mittelpunktswinkeln (Zentriwinkeln) in Sehnenlängen und umgekehrt. Die Werte solcher Tabellen hängen unmittelbar mit der Sinus-Funktion zusammen: Die Länge einer Kreissehne ergibt sich aus dem Kreisradius und dem Mittelpunktswinkel gemäß

Ähnliche Tabellen wurden auch in der indischen Mathematik verwendet. Arabische Wissenschaftler übernahmen die Ergebnisse von Griechen und Indern und bauten die Trigonometrie, insbesondere die sphärische Trigonometrie weiter aus. Im mittelalterlichen Europa wurden die Erkenntnisse der arabischen Trigonometrie erst spät bekannt. Die erste systematische Darstellung des Gebiets erfolgte im 15. Jahrhundert. Im Zeitalter der Renaissance erforderten die zunehmenden Problemstellungen der Ballistik und der Hochseeschifffahrt eine Verbesserung der Trigonometrie und des trigonometrischen Tafelwerks. Der deutsche Astronom und Mathematiker Regiomontanus (Johann Müller) fasste Lehrsätze und Methoden der ebenen und sphärischen Trigonometrie in dem fünfbändigen Werk De triangulis omnimodis zusammen. Aufgrund dieser Anwendung waren außer Sinus und Kosinus auch andere Winkelfunktionen gebräuchlich, wie etwa der Sinus versus = 1 − cos.

Der Begriff Trigonometrie wurde durch Bartholomäus Pitiscus in seinem Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus von 1595 eingeführt.

Die heute verwendeten Schreibweisen und die analytische Darstellung der trigonometrischen Funktionen stammen zum größten Teil von Leonhard Euler.

Literatur Bearbeiten

  • Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Ebene Trigonometrie, Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1958.
  • Heinz Pester, Wolfgang Pauli: Lehrbuch und Übungsbuch Mathematik. 21. Auflage. Band II. Planimetrie, Stereometrie und Trigonometrie der Ebene. Fachbuchverlag, Leipzig 1991, ISBN 978-3-446-00755-0.

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Trigonometrie – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Trigonometrie – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 44
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Veröffentlichungsdatum:
Die Trigonometrie griechisch trigwnon trigonon Dreieck und metron metron Mass ist ein Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik Soweit Fragestellungen der ebenen Geometrie Planimetrie trigonometrisch behandelt werden spricht man von ebener Trigonometrie daneben gibt es die spharische Trigonometrie die sich mit Kugeldreiecken spharischen Dreiecken befasst und die hyperbolische Trigonometrie Die folgenden Ausfuhrungen beziehen sich im Wesentlichen auf das Gebiet der ebenen Trigonometrie Abbildungen zur Trigonometrie in einem Buch aus dem Jahr 1687In der Trigonometrie werden die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln von Dreiecken untersucht Durch die Kenntnis und Anwendung dieser Beziehungen Formeln konnen dann mit gegebenen Grossen eines Dreiecks Seitenlangen Winkelgrossen Langen von Dreieckstransversalen usw andere fehlende Grossen des Dreiecks berechnet werden Als Hilfsmittel werden die trigonometrischen Funktionen Winkelfunktionen Kreisfunktionen goniometrischen Funktionen Sinus sin Kosinus cos Tangens tan Kotangens cot Sekans sec und Kosekans csc verwendet Trigonometrische Berechnungen konnen sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen beispielsweise auf Polygone Vielecke auf Probleme der Stereometrie Raumgeometrie und auf Fragen vieler anderer Gebiete siehe unten Inhaltsverzeichnis 1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck 1 1 Beispiel Berechnung einer Seitenlange 1 2 Beispiel Berechnung einer Winkelgrosse 2 Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis 3 Trigonometrie im allgemeinen Dreieck 4 Eigenschaften und Formeln 5 Anwendungsgebiete 6 Geschichte 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseTrigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Bearbeiten Rechtwinkliges DreieckBesonders einfach ist die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180 betragt ist der rechte Winkel eines solchen Dreiecks der grosste Innenwinkel Ihm liegt die langste Seite als Hypotenuse bezeichnet gegenuber Die beiden kurzeren Seiten des Dreiecks nennt man Katheten Wenn man sich auf einen der beiden kleineren Winkel bezieht ist es sinnvoll zwischen der Gegenkathete dem gegebenen Winkel gegenuber und der Ankathete benachbart zum gegebenen Winkel zu unterscheiden Man definiert nun Sinus von a sin a a c Gegenkathete Hypotenuse Kosinus von a cos a b c Ankathete Hypotenuse Tangens von a tan a a b Gegenkathete Ankathete Kotangens von a cot a b a Ankathete Gegenkathete Sekans von a sec a c b Hypotenuse Ankathete Kosekans von a csc a c a Hypotenuse Gegenkathete displaystyle begin aligned text Sinus von alpha amp sin alpha frac a c frac text Gegenkathete text Hypotenuse 0 5ex text Kosinus von alpha amp cos alpha frac b c frac text Ankathete text Hypotenuse 0 5ex text Tangens von alpha amp tan alpha frac a b frac text Gegenkathete text Ankathete 0 5ex text Kotangens von alpha amp cot alpha frac b a frac text Ankathete text Gegenkathete 0 5ex text Sekans von alpha amp sec alpha frac c b frac text Hypotenuse text Ankathete 0 5ex text Kosekans von alpha amp csc alpha frac c a frac text Hypotenuse text Gegenkathete end aligned Diese Definitionen sind sinnvoll da verschiedene rechtwinklige Dreiecke mit dem gegebenen Winkel untereinander ahnlich sind sodass sie in ihren Seitenverhaltnissen ubereinstimmen Beispielsweise konnte ein Dreieck doppelt so lange Seiten haben wie ein anderes Die Bruche der genannten Definitionsgleichungen hatten in diesem Fall die gleichen Werte Diese Werte hangen also nur vom gegebenen Winkel ab Aus diesem Grund ist es sinnvoll von Funktionen der Winkel zu sprechen Beispiel Berechnung einer Seitenlange Bearbeiten Die folgenden Zahlenwerte sind abgerundet In einem Dreieck ABC sind folgende Grossen gegeben b 5 5 cm a 29 g 90 displaystyle b 5 5 mbox cm quad alpha 29 circ quad gamma 90 circ Aus diesen Angaben soll die Seitenlange c ermittelt werden Da die Ankathete von a displaystyle alpha bekannt und die Hypotenuse gesucht ist wird die Kosinus Funktion verwendet cos a b c displaystyle cos alpha frac b c c b cos a 5 5 cm cos 29 6 3 cm displaystyle c frac b cos alpha frac 5 5 mbox cm cos 29 circ 6 3 mbox cm Beispiel Berechnung einer Winkelgrosse Bearbeiten Von einem Dreieck ABC ist bekannt a 3 1 cm b 5 5 cm g 90 displaystyle a 3 1 mbox cm quad b 5 5 mbox cm quad gamma 90 circ Gesucht ist der Winkel b displaystyle beta Die beiden gegebenen Seiten a displaystyle a und b displaystyle b sind die Ankathete und die Gegenkathete von b displaystyle beta Daher ist es sinnvoll die Tangens Funktion einzusetzen tan b b a 5 5 cm 3 1 cm 1 8 displaystyle tan beta frac b a frac 5 5 mbox cm 3 1 mbox cm 1 8 Wahrend im letzten Beispiel fur einen bekannten Winkel der Kosinuswert zu berechnen war ist hier die Situation umgekehrt Aus einem bekannten Tangenswert soll der zugehorige Winkel bestimmt werden Man benotigt hierfur die Umkehrfunktion der Tangens Funktion die so genannte Arcustangens Funktion arctan oder ein Tabellenwerk aus dem Winkel und zugehoriger Tangenswert abgelesen werden konnen Damit erhalt man b 61 0 displaystyle beta 61 0 circ Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis Bearbeiten Einheitskreis Alle trigonometrischen Funktionen des Winkels 8 konnen geometrisch im Einheitskreis mit Zentrum O konstruiert werden Die bisher verwendeten Definitionen sind nur fur Winkel unter 90 brauchbar Fur viele Zwecke ist man jedoch an trigonometrischen Werten grosserer Winkel interessiert Der Einheitskreis das ist ein Kreis mit Radius 1 erlaubt eine solche Erweiterung der bisherigen Definition Zum gegebenen Winkel wird der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt Die x Koordinate dieses Punkts ist der Kosinuswert des gegebenen Winkels die y Koordinate der Sinuswert Die oben gegebene Definition von Sinus und Kosinuswert durch x und y Koordinate lasst sich problemlos auf Winkel uber 90 ausdehnen Man erkennt dabei dass fur Winkel zwischen 90 und 270 die x Koordinate und damit auch der Kosinus negativ ist entsprechend fur Winkel zwischen 180 und 360 die y Koordinate und somit auch der Sinus Auch auf Winkel die grosser als 360 sind sowie auf negative Winkel lasst sich die Definition ohne Weiteres ubertragen Man beachte dass in der modernen Herangehensweise die Beziehung zwischen Winkel und Sinus bzw Kosinus dazu benutzt wird um den Winkel zu definieren Die Sinus und Kosinusfunktion selbst werden uber ihre Reihendarstellung eingefuhrt Die weiteren vier trigonometrischen Funktionen sind definiert durch tan a sin a cos a displaystyle tan alpha frac sin alpha cos alpha cot a 1 tan a cos a sin a displaystyle cot alpha frac 1 tan alpha frac cos alpha sin alpha sec a 1 cos a displaystyle sec alpha frac 1 cos alpha csc a 1 sin a displaystyle csc alpha frac 1 sin alpha Graphen der wichtigsten trigonometrischen Funktionen Winkel im Bogenmass d h p 180 Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans KosekansTrigonometrie im allgemeinen Dreieck BearbeitenAuch fur allgemeine Dreiecke wurden etliche Formeln entwickelt die es gestatten unbekannte Seitenlangen oder Winkelgrossen zu bestimmen Zu nennen waren hier insbesondere der Sinussatz und der Kosinussatz Die Verwendung des Sinussatzes a sin a b sin b c sin g displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta frac c sin gamma ist nutzlich wenn von einem Dreieck entweder zwei Seiten und einer der beiden gegenuber liegenden Winkel oder eine Seite und zwei Winkel bekannt sind Der Kosinussatz a 2 b 2 c 2 2 b c cos a displaystyle a 2 b 2 c 2 2bc cos alpha b 2 a 2 c 2 2 a c cos b displaystyle b 2 a 2 c 2 2ac cos beta c 2 a 2 b 2 2 a b cos g displaystyle c 2 a 2 b 2 2ab cos gamma ermoglicht es entweder aus drei gegebenen Seiten die Winkel auszurechnen oder aus zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel die gegenuber liegende Seite Weitere Formeln die fur beliebige Dreiecke gelten sind der Tangenssatz der Halbwinkelsatz Kotangenssatz und die mollweideschen Formeln Eigenschaften und Formeln Bearbeiten Figur 1 Figur 2Die Artikel uber die sechs trigonometrischen Funktionen Sinus Kosinus Tangens Kotangens Secans Kosecans und die Formelsammlung Trigonometrie enthalten zahlreiche Eigenschaften dieser Funktionen und Formeln zum Rechnen mit diesen Besonders haufig gebraucht werden die Komplementarformeln fur Sinus und Kosinus sin 90 a cos a displaystyle sin 90 circ alpha cos alpha cos 90 a sin a displaystyle cos 90 circ alpha sin alpha sowie der trigonometrische Pythagoras sin 2 a cos 2 a 1 displaystyle sin 2 alpha cos 2 alpha 1 Wichtig sind auch die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen und die Folgerungen daraus Es geht dabei um trigonometrische Werte von Summen oder Differenzen von Winkeln So gilt beispielsweise fur alle a displaystyle alpha und b displaystyle beta sin a b sin a cos b cos a sin b displaystyle sin alpha pm beta sin alpha cdot cos beta pm cos alpha cdot sin beta cos a b cos a cos b sin a sin b displaystyle cos alpha pm beta cos alpha cdot cos beta mp sin alpha cdot sin beta Geometrische Herleitungen zu diesen vier Additionstheoremen sind in Figur 1 und Figur 2 veranschaulicht 1 dd Zu Figur 1 sin a b sin a cos b cos a sin b displaystyle sin alpha beta sin alpha cdot cos beta cos alpha cdot sin beta cos a b cos a cos b sin a sin b displaystyle cos alpha beta cos alpha cdot cos beta sin alpha cdot sin beta dd Zu Figur 2 sin a b sin a cos b cos a sin b displaystyle sin alpha beta sin alpha cdot cos beta cos alpha cdot sin beta cos a b cos a cos b sin a sin b displaystyle cos alpha beta cos alpha cdot cos beta sin alpha cdot sin beta dd dd Weitere Additionstheoreme cos a cos b 2 cos a b 2 cos a b 2 displaystyle cos alpha cos beta 2 cos frac alpha beta 2 cos frac alpha beta 2 cos a cos b 2 sin a b 2 sin a b 2 displaystyle cos alpha cos beta 2 sin frac alpha beta 2 sin frac alpha beta 2 sin a sin b 2 sin a b 2 cos a b 2 displaystyle sin alpha sin beta 2 sin frac alpha beta 2 cos frac alpha beta 2 sin a sin b 2 cos a b 2 sin a b 2 displaystyle sin alpha sin beta 2 cos frac alpha beta 2 sin frac alpha beta 2 Weitere Identitaten finden sich in der Formelsammlung Trigonometrie Anwendungsgebiete Bearbeiten Historische Abbildung zur Vermessung eines Gelandes mit Hilfe eines Dreiecks 1667 Trigonometrie spielt in vielen Bereichen eine entscheidende Rolle In der Geodasie Vermessung spricht man von Triangulation wenn man von Punkten bekannter Position aus andere Punkte anpeilt Winkelmessung und daraus trigonometrisch die Positionen der neuen Punkte bestimmt In der Astronomie lassen sich auf entsprechende Weise die Entfernungen von Planeten Monden und nahe gelegenen Fixsternen ermitteln Ahnlich gross ist die Bedeutung der Trigonometrie fur die Navigation von Flugzeugen und Schiffen und fur die spharische Astronomie insbesondere fur die Berechnung von Stern und Planetenpositionen In der Physik dienen Sinus und Kosinus Funktion dazu Schwingungen und Wellen mathematisch zu beschreiben Entsprechendes gilt fur den zeitlichen Verlauf von elektrischer Spannung und elektrischer Stromstarke in der Wechselstromtechnik Geschichte BearbeitenVorlaufer der Trigonometrie gab es bereits wahrend der Antike in der griechischen Mathematik Aristarchos von Samos nutzte die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke zur Berechnung der Entfernungsverhaltnisse zwischen Erde und Sonne bzw Mond Von den Astronomen Hipparch und Ptolemaus ist bekannt dass sie mit Sehnentafeln arbeiteten also mit Tabellen fur die Umrechnung von Mittelpunktswinkeln Zentriwinkeln in Sehnenlangen und umgekehrt Die Werte solcher Tabellen hangen unmittelbar mit der Sinus Funktion zusammen Die Lange einer Kreissehne ergibt sich aus dem Kreisradius r displaystyle r und dem Mittelpunktswinkel a displaystyle alpha gemass s 2 r sin a 2 displaystyle s 2r sin frac alpha 2 Ahnliche Tabellen wurden auch in der indischen Mathematik verwendet Arabische Wissenschaftler ubernahmen die Ergebnisse von Griechen und Indern und bauten die Trigonometrie insbesondere die spharische Trigonometrie weiter aus Im mittelalterlichen Europa wurden die Erkenntnisse der arabischen Trigonometrie erst spat bekannt Die erste systematische Darstellung des Gebiets erfolgte im 15 Jahrhundert Im Zeitalter der Renaissance erforderten die zunehmenden Problemstellungen der Ballistik und der Hochseeschifffahrt eine Verbesserung der Trigonometrie und des trigonometrischen Tafelwerks Der deutsche Astronom und Mathematiker Regiomontanus Johann Muller fasste Lehrsatze und Methoden der ebenen und spharischen Trigonometrie in dem funfbandigen Werk De triangulis omnimodis zusammen Aufgrund dieser Anwendung waren ausser Sinus und Kosinus auch andere Winkelfunktionen gebrauchlich wie etwa der Sinus versus 1 cos Der Begriff Trigonometrie wurde durch Bartholomaus Pitiscus in seinem Trigonometria sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus von 1595 eingefuhrt Die heute verwendeten Schreibweisen und die analytische Darstellung der trigonometrischen Funktionen stammen zum grossten Teil von Leonhard Euler Literatur BearbeitenTheophil Lambacher Wilhelm Schweizer Hrsg Ebene Trigonometrie Mathematisches Unterrichtswerk fur hohere Schulen Ernst Klett Verlag Stuttgart 1958 Heinz Pester Wolfgang Pauli Lehrbuch und Ubungsbuch Mathematik 21 Auflage Band II Planimetrie Stereometrie und Trigonometrie der Ebene Fachbuchverlag Leipzig 1991 ISBN 978 3 446 00755 0 Weblinks Bearbeiten Wiktionary Trigonometrie Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Wikibooks Trigonometrie Lern und Lehrmaterialien Hilfen zur Trigonometrie Dynamische Dokumente zum Verstandnis der trigonometrischen Funktionen Zusammenfassung Trigonometrie fur Gymnasium Landesbildungsserver Baden Wurttemberg Einfache trigonometrische Gleichungen Musteraufgaben mit Losungstipps Landesbildungsserver Baden Wurttemberg Trigonometrische Java applets Trigonometrie fur Schuler im Online Mathematikbuch Zur Geschichte der Trigonometrie Trigonometrische Funktionen Trigonometry Web App Trigonometrische Berechnungen in EchtzeitEinzelnachweise Bearbeiten Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 44 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trigonometrie amp oldid 231171553