Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen werden unter Tangens Begriffsklarung aufgefuhrt Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle Der Tangens des Winkels x displaystyle x wird mit tan x displaystyle tan x bezeichnet der Kotangens des Winkels x displaystyle x mit cot x displaystyle cot x In alterer Literatur findet man auch die Schreibweisen tg x displaystyle operatorname tg x fur den Tangens und ctg x displaystyle operatorname ctg x fur den Kotangens Schaubild der Tangensfunktion Argument x im Bogenmass Schaubild der Kotangensfunktion Argument x im Bogenmass Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Historisch geometrisch 1 2 Analytische Definition 1 2 1 Beziehung zu Taylorreihen 1 2 2 Beziehung zur Exponentialfunktion 1 3 Formal mit Definitions und Wertebereich 2 Eigenschaften 2 1 Periodizitat 2 2 Monotonie 2 3 Symmetrien 2 4 Nullstellen 2 5 Polstellen 2 6 Wendestellen 2 7 Differenzierbarkeit 3 Wichtige Funktionswerte 4 Umkehrfunktionen 5 Asymptoten 6 Reihenentwicklung 6 1 Summenreihen 6 2 Zentralbinomialkoeffizient und Produktreihen 7 Ableitung 8 Stammfunktionen 9 Komplexes Argument 10 Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des Ko Tangens 11 Rationale Parametrisierung 12 Additionstheoreme 13 Tangenssummen und Tangensdifferenzen 13 1 Definitionen der Tangensoperatoren 13 2 Anwendung bei elliptischen Funktionen 14 Anwendung Tangens und Steigungswinkel 15 Anwendung in der Physik 16 Differentialgleichung 17 Siehe auch 18 Weblinks 19 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenHistorisch geometrisch Bearbeiten nbsp Definition am Einheitskreis D T tan b E K cot b displaystyle overline DT tan b overline EK cot b nbsp Ersten Gebrauch der Tangensfunktion machte der persische Mathematiker Abu al Wafa 940 998 Die Bezeichnung Tangens stammt von dem Mathematiker Thomas Finck 1561 1656 der sie 1583 einfuhrte Die Bezeichnung Kotangens entwickelte sich aus complementi tangens also Tangens des Komplementarwinkels 1 Die Wahl des Namens Tangens erklart sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis Die Funktionswerte entsprechen der Lange eines Tangentenabschnitts D T tan b E K cot b displaystyle overline DT tan b qquad qquad overline EK cot b nbsp nbsp Ein rechtwinkliges Dreieck mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel a am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt CIn einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels a displaystyle alpha nbsp das Langenverhaltnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Langenverhaltnis von Ankathete zu Gegenkathete tan a l Gegenkathete l Ankathete a b sin a cos a cot a l Ankathete l Gegenkathete b a cos a sin a displaystyle begin aligned tan alpha amp frac l text Gegenkathete l text Ankathete frac a b frac sin alpha cos alpha cot alpha amp frac l text Ankathete l text Gegenkathete frac b a frac cos alpha sin alpha end aligned nbsp Daraus folgt unmittelbar cot a 1 tan a sec a csc a tan a 1 cot a csc a sec a displaystyle begin aligned cot alpha amp frac 1 tan alpha frac sec alpha csc alpha tan alpha amp frac 1 cot alpha frac csc alpha sec alpha end aligned nbsp siehe auch Sekans und Kosekans sowie tan a cot b cot 90 a displaystyle tan alpha cot beta cot 90 circ alpha nbsp Analytische Definition Bearbeiten Sinus und Kosinus konnen auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden weshalb fur den Tangens und Kotangens das Gleiche gilt Komplexe Argumente werden durch analytische Definition erlaubt Dabei gilt eine Surjektivitat von Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion Daraus resultierend sind Tangens und Kotangens als komplexwertige Funktion ebenso surjektiv Beziehung zu Taylorreihen Bearbeiten Tangens und Kotangens konnen als Quotienten von je zwei Taylorreihen dargestellt werden Beruhend auf diesen Reihen lassen sich auch Arkustangens und Arkuskotangens als Quotienten von je zwei Taylorreihen darstellen siehe Reihenentwicklung Beziehung zur Exponentialfunktion Bearbeiten Tangens und Kotangens sind als Trigonometrische Funktionen eng mit der Exponentialfunktion verbunden wie auch der Sinus Kosinus Sekans und Kosekans wobei aus e i x k 0 i x k k l 0 i x 2 l 2 l l 0 i x 2 l 1 2 l 1 l 0 1 l x 2 l 2 l cos x i l 0 1 l x 2 l 1 2 l 1 sin x e i x cos x i sin x sin x e i x e i x 2 i csc x 2 i e i x e i x cos x e i x e i x 2 sec x 2 e i x e i x displaystyle begin aligned mathrm e mathrm i x amp sum k 0 infty frac mathrm i x k k sum l 0 infty frac mathrm i x 2l 2l sum l 0 infty frac mathrm i x 2l 1 2l 1 amp underbrace sum l 0 infty 1 l frac x 2l 2l cos x mathrm i underbrace sum l 0 infty 1 l frac x 2l 1 2l 1 sin x mathrm e mathrm i x amp cos x mathrm i sin x rightarrow sin x amp frac mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x 2 mathrm i rightarrow csc x frac 2 mathrm i mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x rightarrow cos x amp frac mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x 2 rightarrow sec x frac 2 mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x end aligned nbsp fur den Tangens mit tan x sin x cos x displaystyle tan x tfrac sin x cos x nbsp und Kotangens mit cot x cos x sin x displaystyle cot x tfrac cos x sin x nbsp tan x e i x e i x i e i x e i x cot x i e i x e i x e i x e i x displaystyle begin aligned tan x amp frac mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x mathrm i left mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x right cot x amp frac mathrm i left mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x right mathrm e mathrm i x mathrm e mathrm i x end aligned nbsp resultiert Formal mit Definitions und Wertebereich Bearbeiten Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus und Kosinusfunktionen durch tan D tan W displaystyle tan colon D tan to W nbsp mit tan x sin x cos x displaystyle tan x frac sin x cos x nbsp definiert werden 2 wobei der Wertebereich W displaystyle W nbsp je nach Anwendung die reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp oder die komplexen Zahlen C displaystyle mathbb C nbsp sind Um zu verhindern dass der Nenner cos x displaystyle cos x nbsp Null wird werden beim Definitionsbereich D tan displaystyle D tan nbsp die Nullstellen der Cosinus Funktion weggelassen D tan R k p p 2 k Z displaystyle D tan mathbb R setminus Big k pi frac pi 2 Big k in mathbb Z Big nbsp im Reellen bzw D tan C k p p 2 k Z displaystyle D tan mathbb C setminus Big k pi frac pi 2 Big k in mathbb Z Big nbsp im Komplexen Der Kotangens kann analog dazu durch cot D cot W displaystyle cot colon D cot to W nbsp mit cot x cos x sin x displaystyle cot x frac cos x sin x nbsp definiert werden wobei sich fur dessen Definitionsbereich D cot R k p k Z displaystyle D cot mathbb R setminus k pi mid k in mathbb Z nbsp im Reellen bzw D cot C k p k Z displaystyle D cot mathbb C setminus k pi mid k in mathbb Z nbsp im Komplexen ergibt wenn gewahrleistet werden soll dass der Nenner sin x displaystyle sin x nbsp ungleich Null ist Fur den gemeinsamen Definitionsbereich von tan displaystyle tan nbsp und cot displaystyle cot nbsp C k p 2 k Z displaystyle mathbb C setminus Big frac k pi 2 Big k in mathbb Z Big nbsp gilt cot x 1 tan x displaystyle cot x frac 1 tan x nbsp Eigenschaften Bearbeiten nbsp Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im EinheitskreisPeriodizitat Bearbeiten Der Tangens und der Kotangens sind periodische Funktionen mit der Periode p displaystyle pi nbsp es gilt also tan x p tan x displaystyle tan x pi tan x nbsp Monotonie Bearbeiten Der Tangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton steigend Der Kotangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton fallend Symmetrien Bearbeiten Tangens und Kotangens sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung tan x tan x displaystyle tan x tan x nbsp cot x cot x displaystyle cot x cot x nbsp Nullstellen Bearbeiten Tangens x n p n Z displaystyle x n cdot pi quad n in mathbb Z nbsp Kotangens x 1 2 n p n Z displaystyle x left frac 1 2 n right cdot pi quad n in mathbb Z nbsp Polstellen Bearbeiten Tangens x 1 2 n p n Z displaystyle x left frac 1 2 n right cdot pi quad n in mathbb Z nbsp Kotangens x n p n Z displaystyle x n cdot pi quad n in mathbb Z nbsp Wendestellen Bearbeiten Tangens x n p n Z displaystyle x n cdot pi quad n in mathbb Z nbsp Kotangens x 1 2 n p n Z displaystyle x left frac 1 2 n right cdot pi quad n in mathbb Z nbsp Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten aber weder Sprungstellen noch Extrema Differenzierbarkeit Bearbeiten Tangens und Kotangens sind beliebig oft differenzierbar 3 Tangens Kotangensf displaystyle f nbsp tan x displaystyle tan x nbsp cot x displaystyle cot x nbsp f displaystyle f nbsp sec 2 x displaystyle sec 2 x nbsp csc 2 x displaystyle csc 2 x nbsp f displaystyle f nbsp 2 sec 2 x tan x displaystyle 2 sec 2 x tan x nbsp 2 cot x csc 2 x displaystyle 2 cot x csc 2 x nbsp f displaystyle f nbsp 4 sec 2 x tan 2 x 2 sec 4 x displaystyle 4 sec 2 x tan 2 x 2 sec 4 x nbsp 2 csc 2 x csc 2 x 2 cot 2 x displaystyle 2 csc 2 x left csc 2 x 2 cot 2 x right nbsp Wichtige Funktionswerte BearbeitenTangens Kotangens Ausdruck num Werttan 0 displaystyle tan 0 circ nbsp cot 90 displaystyle cot 90 circ nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0tan 15 displaystyle tan 15 circ nbsp cot 75 displaystyle cot 75 circ nbsp 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 nbsp 0 2679491 tan 18 displaystyle tan 18 circ nbsp cot 72 displaystyle cot 72 circ nbsp 1 2 5 5 displaystyle sqrt 1 textstyle frac 2 5 sqrt 5 nbsp 0 3249196 tan 22 5 displaystyle tan 22 5 circ nbsp cot 67 5 displaystyle cot 67 5 circ nbsp 2 1 displaystyle sqrt 2 1 nbsp 0 4142135 tan 30 displaystyle tan 30 circ nbsp cot 60 displaystyle cot 60 circ nbsp 1 3 displaystyle 1 sqrt 3 nbsp 0 5773502 tan 36 displaystyle tan 36 circ nbsp cot 54 displaystyle cot 54 circ nbsp 5 2 5 displaystyle sqrt 5 2 sqrt 5 nbsp 0 7265425 tan 45 displaystyle tan 45 circ nbsp cot 45 displaystyle cot 45 circ nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1tan 60 displaystyle tan 60 circ nbsp cot 30 displaystyle cot 30 circ nbsp 3 displaystyle sqrt 3 nbsp 1 7320508 tan 67 5 displaystyle tan 67 5 circ nbsp cot 22 5 displaystyle cot 22 5 circ nbsp 2 1 displaystyle sqrt 2 1 nbsp 2 4142135 tan 75 displaystyle tan 75 circ nbsp cot 15 displaystyle cot 15 circ nbsp 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 nbsp 3 7320508 lim a 90 tan a displaystyle lim alpha nearrow 90 circ tan alpha nbsp lim a 0 cot a displaystyle lim alpha searrow 0 circ cot alpha nbsp displaystyle infty nbsp Polstelle 4 Umkehrfunktionen BearbeitenDurch passende Einschrankung der Definitionsbereiche erhalt man folgende Bijektionen Tangens tan p 2 p 2 R displaystyle tan colon left frac pi 2 frac pi 2 right to mathbb R nbsp Die Umkehrfunktion arctan R p 2 p 2 displaystyle arctan colon mathbb R to left frac pi 2 frac pi 2 right nbsp heisst Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv Kotangens cot 0 p R displaystyle cot colon 0 pi to mathbb R nbsp Die Umkehrfunktion arccot R 0 p displaystyle operatorname arccot colon mathbb R to 0 pi nbsp heisst Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv Asymptoten BearbeitenAus den einseitigen Grenzwerten 5 lim x p 2 tan x displaystyle lim x uparrow pi 2 tan x infty nbsp und lim x p 2 tan x displaystyle lim x downarrow pi 2 tan x infty nbsp resp 6 lim x 0 cot x displaystyle lim x downarrow 0 cot x infty nbsp und lim x p cot x displaystyle lim x uparrow pi cot x infty nbsp leiten sich die Grenzwerte 5 lim y arctan y p 2 displaystyle lim y to infty arctan y tfrac pi 2 nbsp und lim y arctan y p 2 displaystyle lim y to infty arctan y tfrac pi 2 nbsp resp 6 lim y arccot y 0 displaystyle lim y to infty operatorname arccot y 0 nbsp und lim y arccot y p displaystyle lim y to infty operatorname arccot y pi nbsp her Somit kann man nach der Einschrankung auf die Intervalle p 2 p 2 displaystyle left tfrac pi 2 tfrac pi 2 right nbsp resp 0 p displaystyle 0 pi nbsp die Definitionsbereiche wenigstens um die Endpunkte p 2 p 2 displaystyle tfrac pi 2 tfrac pi 2 nbsp resp 0 p displaystyle 0 pi nbsp der Intervalle wieder erweitern und unter Anpassung der Wertebereiche die beiden Funktionen stetig fortsetzen zu tan p 2 p 2 R displaystyle widetilde tan colon left tfrac pi 2 tfrac pi 2 right to overline mathbb R nbsp resp cot 0 p R displaystyle widetilde cot colon 0 pi to overline mathbb R nbsp mit R R displaystyle overline mathbb R mathbb R cup infty infty nbsp als den erweiterten reellen Zahlen Die so erweiterten Funktionen sind ebenfalls stetig umkehrbar Reihenentwicklung Bearbeiten nbsp Tangens fur x lt p im Bogenmass Summenreihen Bearbeiten TangensDie Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x 0 displaystyle x 0 nbsp Maclaurinsche Reihe lautet fur x lt p 2 displaystyle x lt tfrac pi 2 colon nbsp 7 tan x n 1 1 n 1 2 2 n 2 2 n 1 B 2 n 2 n x 2 n 1 n 1 2 2 n 1 p 2 n l 2 n x 2 n 1 x 1 3 x 3 2 15 x 5 17 315 x 7 62 2835 x 9 1382 155925 x 11 displaystyle begin aligned tan x amp sum n 1 infty frac 1 n 1 cdot 2 2n cdot left 2 2n 1 right cdot B 2n 2n x 2n 1 sum n 1 infty frac 2 2n 1 pi 2n cdot lambda 2n cdot x 2n 1 amp x frac 1 3 x 3 frac 2 15 x 5 frac 17 315 x 7 frac 62 2835 x 9 frac 1382 155925 x 11 dotsb end aligned nbsp Dabei sind mit B n displaystyle B n nbsp die Bernoulli Zahlen und mit l x displaystyle lambda x nbsp die Dirichletsche Lambda Funktion bezeichnet Aus der Reihendarstellung folgt fur 0 lt x lt p 2 displaystyle 0 lt x lt tfrac pi 2 nbsp tan x gt x displaystyle tan x gt x nbsp und tan x x displaystyle frac tan x x nbsp ist streng monoton steigend mit lim x 0 tan x x 1 displaystyle lim x to 0 frac tan x x 1 nbsp Ersetzt man in der Reihendarstellung x displaystyle x nbsp durch 1 x displaystyle tfrac 1 x nbsp ergibt sich fur x gt 2 p displaystyle x gt tfrac 2 pi nbsp x tan 1 x displaystyle x tan tfrac 1 x nbsp ist streng monoton fallend und lim x x tan 1 x 1 displaystyle lim x to infty x tan tfrac 1 x 1 nbsp KotangensDie Laurent Reihe lautet fur 0 lt x lt p displaystyle 0 lt x lt pi nbsp 8 cot x n 0 1 n 2 2 n B 2 n 2 n x 2 n 1 1 x 1 3 x 1 45 x 3 2 945 x 5 1 4725 x 7 2 93555 x 9 displaystyle begin aligned cot x amp sum n 0 infty 1 n frac 2 2n B 2n 2n x 2n 1 amp frac 1 x frac 1 3 x frac 1 45 x 3 frac 2 945 x 5 frac 1 4725 x 7 frac 2 93555 x 9 dotsb end aligned nbsp Damit hat man fur 1 x cot x displaystyle frac 1 x cot x nbsp im Konvergenzbereich p lt x lt p displaystyle pi lt x lt pi nbsp die Taylor Reihe 1 x cot x i L i x n 1 2 p 2 n z 2 n x 2 n 1 displaystyle frac 1 x cot x mathrm i L mathrm i x sum n 1 infty frac 2 pi 2n cdot zeta 2n cdot x 2n 1 nbsp wobei L displaystyle L nbsp die Langevin Funktion bezeichnet Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet fur x C Z displaystyle x in mathbb C setminus mathbb Z nbsp p cot p x 1 x k 1 1 x k 1 x k 1 x k 1 2 x x 2 k 2 displaystyle begin aligned pi cot pi x amp frac 1 x sum k 1 infty left frac 1 x k frac 1 x k right amp frac 1 x sum k 1 infty frac 2x x 2 k 2 end aligned nbsp Die Partialbruchzerlegung des Kotangens stammt von Leonhard Euler Introductio in Analysin Infinitorum 1748 Paragraph 178 und wurde als eines seiner schonsten Resultate bezeichnet 9 Ein einfacher Beweis benutzt den Herglotz Trick 10 11 Eine Folgerung aus der Formel ist die Ableitung der Werte der Riemannschen Zetafunktion an den geraden naturlichen Zahlen Zentralbinomialkoeffizient und Produktreihen Bearbeiten Die Tangensfunktion lasst sich fur alle komplexen Zahlen x C displaystyle x in mathbb C nbsp durch den Zentralbinomialkoeffizienten CBC displaystyle operatorname CBC nbsp ausdrucken tan p x p x 1 x 2 4 x CBC x CBC 1 x displaystyle tan pi x frac pi x 1 x 2 4 x operatorname CBC x operatorname CBC 1 x nbsp und die Kotangensfunktion durch cot p x p 1 2 x 1 2 x 16 x CBC 1 2 x CBC 1 2 x displaystyle cot pi x frac pi 1 2 x 1 2 x 16 x operatorname CBC biggl frac 1 2 x biggr operatorname CBC biggl frac 1 2 x biggr nbsp 12 Der Zentralbinomialkoeffizient hat folgende gleichwertige Definitionen CBC x 2 x x 2 x x 2 P 2 x P x 2 n 1 1 x n 2 1 2 x n 1 displaystyle operatorname CBC x 2x choose x frac 2x x 2 frac Pi 2x Pi x 2 prod n 1 infty biggl biggl 1 frac x n biggr 2 biggl 1 frac 2x n biggr 1 biggr nbsp Die Fakultatsfunktion auch Gausssche Pifunktion genannt ist definiert durch die Produktreihe x P x G x 1 exp g x n 1 1 x n 1 exp x n displaystyle x Pi x Gamma x 1 exp gamma x prod n 1 infty biggl biggl 1 frac x n biggr 1 exp biggl frac x n biggr biggr nbsp mit g displaystyle gamma nbsp als der Euler Mascheroni Konstanten Ableitung BearbeitenBei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebrauchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf d d x tan x 1 tan 2 x 1 cos 2 x sec 2 x displaystyle frac mathrm d mathrm d x tan x 1 tan 2 x frac 1 cos 2 x sec 2 x nbsp d d x cot x 1 cot 2 x 1 sin 2 x csc 2 x displaystyle frac mathrm d mathrm d x cot x 1 cot 2 x frac 1 sin 2 x csc 2 x nbsp Die n displaystyle n nbsp ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrucken d n d x n tan x ps n 1 2 x p 1 n ps n 1 2 x p p n 1 displaystyle frac mathrm d n mathrm d x n tan x frac psi n tfrac 1 2 tfrac x pi 1 n psi n tfrac 1 2 tfrac x pi pi n 1 nbsp d n d x n cot x 1 n ps n 1 x p ps n x p p n 1 displaystyle frac mathrm d n mathrm d x n cot x frac 1 n psi n 1 tfrac x pi psi n tfrac x pi pi n 1 nbsp Stammfunktionen BearbeitenTangens tan x d x ln cos x C displaystyle int tan x mathrm d x ln cos x C nbsp mit x 2 k 1 p 2 displaystyle x neq 2k 1 frac pi 2 nbsp k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp Mithilfe der Logarithmengesetze lasst sich die Stammfunktion ln cos x displaystyle ln cos x nbsp wie folgt darstellen ln cos x ln cos x 1 ln 1 cos x ln sec x displaystyle ln cos x ln cos x 1 ln left frac 1 cos x right ln sec x nbsp Dabei bezeichnet sec x displaystyle sec x nbsp den Sekans Kotangens cot x d x ln sin x C displaystyle int cot x mathrm d x ln sin x C nbsp mit x k p displaystyle x neq k pi nbsp k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp Komplexes Argument Bearbeitentan x i y sin 2 x cos 2 x cosh 2 y i sinh 2 y cos 2 x cosh 2 y displaystyle tan x mathrm i cdot y frac sin 2x cos 2x cosh 2y mathrm i frac sinh 2y cos 2x cosh 2y nbsp mit x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp cot x i y sin 2 x cos 2 x cosh 2 y i sinh 2 y cos 2 x cosh 2 y displaystyle cot x mathrm i cdot y frac sin 2x cos 2x cosh 2y mathrm i frac sinh 2y cos 2x cosh 2y nbsp mit x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des Ko Tangens BearbeitenDie Auflosung der bereits aus dem obigen Abschnitt Ableitung bekannten Identitaten 1 sin 2 x 1 cot 2 x displaystyle frac 1 sin 2 x 1 cot 2 x nbsp 1 cos 2 x 1 tan 2 x displaystyle frac 1 cos 2 x 1 tan 2 x nbsp nach sin x displaystyle sin x nbsp bzw cos x displaystyle cos x nbsp ergibt bei Beschrankung auf den ersten Quadranten zunachst einmal Einfaches sin x 1 1 cot 2 x displaystyle sin x frac 1 sqrt 1 cot 2 x nbsp fur 0 lt x p 2 displaystyle 0 lt x leq tfrac pi 2 nbsp cos x 1 1 tan 2 x displaystyle cos x frac 1 sqrt 1 tan 2 x nbsp fur 0 x lt p 2 displaystyle 0 leq x lt tfrac pi 2 nbsp Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp lassen sich entweder kompakt als Grenzwert mit Hilfe der Floor Funktion x x displaystyle x mapsto lfloor x rfloor nbsp oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen sin x lim t x 1 t p 1 cot 2 t 1 1 cot 2 x wenn k Z 2 k p lt x lt 2 k 1 p 1 1 cot 2 x wenn k Z 2 k 1 p lt x lt 2 k p 0 wenn k Z x k p displaystyle sin x lim t to x frac 1 left lfloor frac t pi right rfloor sqrt 1 cot 2 t begin cases frac 1 sqrt 1 cot 2 x amp text wenn exists k in mathbb Z colon 2k pi lt x lt 2k 1 pi frac 1 sqrt 1 cot 2 x amp text wenn exists k in mathbb Z colon 2k 1 pi lt x lt 2k pi 0 amp text wenn exists k in mathbb Z colon x k pi end cases nbsp cos x lim t x 1 t p 1 2 1 tan 2 t 1 1 tan 2 x wenn k Z 4 k 1 p 2 lt x lt 4 k 1 p 2 1 1 tan 2 x wenn k Z 4 k 1 p 2 lt x lt 4 k 3 p 2 0 wenn k Z x 2 k 1 p 2 displaystyle cos x lim t to x frac 1 left lfloor frac t pi frac 1 2 right rfloor sqrt 1 tan 2 t begin cases frac 1 sqrt 1 tan 2 x amp text wenn exists k in mathbb Z colon 4k 1 frac pi 2 lt x lt 4k 1 frac pi 2 frac 1 sqrt 1 tan 2 x amp text wenn exists k in mathbb Z colon 4k 1 frac pi 2 lt x lt 4k 3 frac pi 2 0 amp text wenn exists k in mathbb Z colon x 2k 1 frac pi 2 end cases nbsp Rationale Parametrisierung BearbeitenDer Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrucke zu beschreiben Ist t tan a 2 displaystyle t tan frac alpha 2 nbsp so ist sin a 2 t 1 t 2 cos a 1 t 2 1 t 2 tan a 2 t 1 t 2 displaystyle sin alpha frac 2t 1 t 2 quad cos alpha frac 1 t 2 1 t 2 quad tan alpha frac 2t 1 t 2 nbsp Insbesondere ist R R 2 t 1 t 2 1 t 2 2 t 1 t 2 displaystyle mathbb R to mathbb R 2 quad t mapsto left frac 1 t 2 1 t 2 frac 2t 1 t 2 right nbsp eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes 1 0 displaystyle 1 0 nbsp der dem Parameter t displaystyle t infty nbsp entspricht Einem Parameterwert t displaystyle t nbsp entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von 1 0 displaystyle 1 0 nbsp und 1 2 t displaystyle 1 2t nbsp mit dem Einheitskreis s a Einheitskreis Rationale Parametrisierung Additionstheoreme BearbeitenDie Additionstheoreme fur Tangens und Kotangens lauten tan x y tan x tan y 1 tan x tan y cot x y cot x cot y 1 cot y cot x displaystyle tan x pm y frac tan x pm tan y 1 mp tan x tan y qquad cot x pm y frac cot x cot y mp 1 cot y pm cot x nbsp Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere fur doppelte Winkel tan 2 x 2 tan x 1 tan 2 x cot 2 x cot 2 x 1 2 cot x displaystyle tan 2x frac 2 tan x 1 tan 2 x qquad cot 2x frac cot 2 x 1 2 cot x nbsp Tangenssummen und Tangensdifferenzen BearbeitenDefinitionen der Tangensoperatoren Bearbeiten Zum Zwecke der vereinfachten Schreibweise und fur eine vielseitige Anwendung wurden die Tangenssumme und die Tangensdifferenz eingefuhrt a b tan arctan a arctan b a b 1 a b displaystyle a oplus b tan bigl arctan a arctan b bigr frac a b 1 ab nbsp c d tan arctan c arctan d c d 1 c d displaystyle c ominus d tan bigl arctan c arctan d bigr frac c d 1 cd nbsp Hierbei stehen die einzelnen Buchstaben fur die Tangenswerte Mit der Verkettung der Theoreme kann diese Fortsetzung fur drei Tangenssummanden durchgefuhrt werden p q r tan arctan p arctan q arctan r p q r p q r 1 p q p r q r displaystyle p oplus q oplus r tan bigl arctan p arctan q arctan r bigr frac p q r pqr 1 pq pr qr nbsp Und fur vier Tangenssummanden sieht die Tangenssumme so aus p q r s p q r s p q r p q s p r s q r s 1 p q p r p s q r q s r s p q r s displaystyle p oplus q oplus r oplus s frac p q r s pqr pqs prs qrs 1 pq pr ps qr qs rs pqrs nbsp Uber diese Muster kann ebenso erklart werden warum die Vervielfachungstheoreme des Tangens die Binomialkoeffizienten in den Zahlern und Nennern der Bruchausdrucke enthalten tan 3 arctan x 3 x x 3 1 3 x 2 displaystyle tan bigl 3 arctan x bigr frac 3x x 3 1 3x 2 nbsp tan 4 arctan x 4 x 4 x 3 1 6 x 2 x 4 displaystyle tan bigl 4 arctan x bigr frac 4x 4x 3 1 6x 2 x 4 nbsp tan 5 arctan x 5 x 10 x 3 x 5 1 10 x 2 5 x 4 displaystyle tan bigl 5 arctan x bigr frac 5x 10x 3 x 5 1 10x 2 5x 4 nbsp tan 6 arctan x 6 x 20 x 3 6 x 5 1 15 x 2 15 x 4 x 6 displaystyle tan bigl 6 arctan x bigr frac 6x 20x 3 6x 5 1 15x 2 15x 4 x 6 nbsp tan 7 arctan x 7 x 35 x 3 21 x 5 x 7 1 21 x 2 35 x 4 7 x 6 displaystyle tan bigl 7 arctan x bigr frac 7x 35x 3 21x 5 x 7 1 21x 2 35x 4 7x 6 nbsp Ein paar sehr bekannte Rechenbeispiele sollen fur die Tangensaddition und die Tangenssubtraktion angefuhrt werden Tangentielle Gegenstucke mit einander tangensaddiert ergeben Eins 1 2 1 3 1 displaystyle frac 1 2 oplus frac 1 3 1 nbsp 1 3 1 7 1 2 displaystyle frac 1 3 oplus frac 1 7 frac 1 2 nbsp 1 3 1 3 1 7 1 displaystyle frac 1 3 oplus frac 1 3 oplus frac 1 7 1 nbsp Tangentielle Gegenstucke haben die Eigenschaft dass ihre Nachfolger miteinander multipliziert stets den Wert Zwei ergeben Kehrwerte von zueinander benachbarten Fibonacci Zahlen stehen uber Tangensdifferenzen miteinander in Beziehung 1 3 1 5 1 8 displaystyle frac 1 3 ominus frac 1 5 frac 1 8 nbsp 1 8 1 13 1 21 displaystyle frac 1 8 ominus frac 1 13 frac 1 21 nbsp 1 21 1 34 1 55 displaystyle frac 1 21 ominus frac 1 34 frac 1 55 nbsp Auch sehr bekannt ist die folgende Formel mit welcher eine sehr scharf konvergierende Reihe fur die Kreiszahl erstellt werden kann 1 5 1 5 1 5 1 5 1 239 1 displaystyle frac 1 5 oplus frac 1 5 oplus frac 1 5 oplus frac 1 5 ominus frac 1 239 1 nbsp Anwendung bei elliptischen Funktionen Bearbeiten Sehr viele Zusammenhange bei elliptischen Funktionen konnen stark vereinfacht uber die Tangenssumme und die Tangensdifferenz dargestellt werden Im Folgenden sollen ein paar Beispiele fur diese vereinfachten Darstellungen exemplarisch beschrieben beziehungsweise genannt werden Theoreme der Lemniskatischen Funktionen sl und cl sind Tangensbilanzen aus Produkten von jeweils zwei dieser lemniskatischen Funktionen sl x y sl x cl y cl x sl y displaystyle operatorname sl x y operatorname sl x operatorname cl y oplus operatorname cl x operatorname sl y nbsp cl x y cl x cl y sl x sl y displaystyle operatorname cl x y operatorname cl x operatorname cl y ominus operatorname sl x operatorname sl y nbsp sl x y sl x cl y cl x sl y displaystyle operatorname sl x y operatorname sl x operatorname cl y ominus operatorname cl x operatorname sl y nbsp cl x y cl x cl y sl x sl y displaystyle operatorname cl x y operatorname cl x operatorname cl y oplus operatorname sl x operatorname sl y nbsp Bezuglich der Elliptisch numerischen Exzentrizitat k verallgemeinert gelten fur die Jacobische elliptische Funktion sc diese Darstellung des Additionstheorems mittels Tangenssumme beziehungsweise Tangensdifferenz und mit Hilfe des Delta Amiplitudinis sc x y k sc x k dn y k sc y k dn x k displaystyle operatorname sc x y k operatorname sc x k operatorname dn y k oplus operatorname sc y k operatorname dn x k nbsp sc x y k sc x k dn y k sc y k dn x k displaystyle operatorname sc x y k operatorname sc x k operatorname dn y k ominus operatorname sc y k operatorname dn x k nbsp Diese Identitaten zwischen den Jacobischen Thetafunktionen und den Rogers Ramanujan Kettenbruchen R und S dargestellt uber Tangensbilanzen sind fur alle Elliptischen Nomina mit dem Kriterium 0 lt q lt 1 displaystyle 0 lt q lt 1 nbsp gultig ϑ 00 q 1 5 2 ϑ 00 q 2 5 ϑ 00 q 5 2 ϑ 00 q 2 S q R q 2 displaystyle frac vartheta 00 q 1 5 2 vartheta 00 q 2 5 vartheta 00 q 5 2 vartheta 00 q 2 S q oplus R q 2 nbsp ϑ 01 q 2 ϑ 01 q 1 5 2 5 ϑ 01 q 5 2 ϑ 01 q 2 R q R q 2 displaystyle frac vartheta 01 q 2 vartheta 01 q 1 5 2 5 vartheta 01 q 5 2 vartheta 01 q 2 R q ominus R q 2 nbsp Anwendung Tangens und Steigungswinkel Bearbeiten nbsp Beispiel fur eine SteigungDer Tangens liefert eine wichtige Kennzahl fur lineare Funktionen Jede lineare Funktion f R R x m x c displaystyle f colon mathbb R to mathbb R x mapsto mx c nbsp besitzt als Graphen eine Gerade Der Tangens des orientierten Winkels a displaystyle alpha nbsp zwischen der positiven x Richtung und der Geraden ist die Steigung m displaystyle m nbsp der Geraden d h m tan a displaystyle m tan alpha nbsp Dabei ist es egal welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wahlt Auch unter der Steigung einer Strasse versteht man den Tangens des Steigungswinkels Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5 7 mit dem Tangens von 0 1 Anwendung in der Physik BearbeitenTangens und Kotangens konnen benutzt werden um die zeitliche Abhangigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Korpers nach oben zu beschreiben wenn fur den Stromungswiderstand der Luft eine turbulente Stromung angesetzt wird Newton Reibung Das Koordinatensystem werde so gelegt dass die Ortsachse nach oben zeigt Fur die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form v g k v 2 displaystyle dot v g kv 2 nbsp mit der Schwerebeschleunigung g displaystyle g nbsp und einer Konstanten k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp Dann ergibt sich v t v g cot g k t c mit c arccot v 0 v g gt 0 displaystyle v t v g cdot cot left sqrt gk t c right quad text mit quad c operatorname arccot frac v 0 v g gt 0 nbsp wobei v g g k displaystyle v g sqrt tfrac g k nbsp die Grenzgeschwindigkeit ist die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhange zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhangigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrucken v t v g tan g k t c mit c arctan v 0 v g gt 0 displaystyle v t v g cdot tan left sqrt gk t c right quad text mit quad c arctan frac v 0 v g gt 0 nbsp Diese Losung gilt bis der Korper den hochsten Punkt seiner Bahn erreicht hat also wenn v 0 displaystyle v 0 nbsp ist das heisst fur t p 2 c g k c g k displaystyle t tfrac pi 2 c sqrt gk tfrac c sqrt gk nbsp daran anschliessend muss man den Tangens hyperbolicus verwenden um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben Differentialgleichung BearbeitenDer Tangens ist eine Losung der Riccati Gleichung w 1 w 2 displaystyle w 1 w 2 nbsp Faktorisiert man die rechte Seite so erhalt man w 1 w 2 w i w i displaystyle w 1 w 2 w mathrm i w mathrm i nbsp mit der imaginaren Einheit i displaystyle mathrm i nbsp Der Tangens als komplexe Funktion hat die Ausnahmewerte i displaystyle mathrm i nbsp i displaystyle mathrm i nbsp Diese Werte werden niemals angenommen da die konstanten Funktionen i displaystyle mathrm i nbsp und i displaystyle mathrm i nbsp Losungen der Differentialgleichung sind und der Existenz und Eindeutigkeitssatz ausschliesst dass zwei verschiedene Losungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen Siehe auch BearbeitenSinus und Kosinus Sekans und Kosekans Formelsammlung TrigonometrieWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Tangensfunktion Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary tan Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Wikiversity Tangens und Kotangens KursmaterialienEinzelnachweise Bearbeiten Josef Laub Hrsg Lehrbuch der Mathematik fur die Oberstufe der allgemeinbildenden hoheren Schulen 2 Band 2 Auflage Holder Pichler Tempsky Wien 1977 ISBN 3 209 00159 6 S 223 Per Dreisatz ist sin cos tan 1 Differenzierbarkeit In Uni kiel de Abgerufen am 11 April 2022 Fur den grossten gemeinsamen Teiler 1 5 p 120 displaystyle 1 5 circ tfrac pi 120 nbsp dieser Winkel gilt tan 1 5 tan p 120 2 3 2 2 3 3 2 5 2 3 2 5 3 5 2 2 3 5 2 15 2 5 2 5 3 7 5 2 5 2 3 2 5 2 5 2 2 3 5 2 3 5 1 2 5 5 0 026 1859 displaystyle begin aligned tan 1 5 circ amp tan frac pi 120 2 3 sqrt 2 2 3 sqrt 3 2 sqrt 5 sqrt 2 sqrt 3 sqrt 2 sqrt 5 sqrt 3 sqrt 5 2 sqrt 2 sqrt 3 sqrt 5 2 amp quad left 15 2 5 sqrt 2 5 sqrt 3 7 sqrt 5 2 5 sqrt 2 sqrt 3 2 5 sqrt 2 sqrt 5 2 2 sqrt 3 sqrt 5 sqrt 2 sqrt 3 sqrt 5 right sqrt 1 2 sqrt 5 5 amp 0 0261859 ldots end aligned nbsp a b Die Geraden x p 2 displaystyle x pi 2 nbsp und x p 2 displaystyle x pi 2 nbsp sind senkrechte Asymptoten der Tangensfunktion y tan x displaystyle y tan x nbsp wie auch waagrechte der Umkehrfunktion x arctan y displaystyle x arctan y nbsp a b Die Geraden x 0 displaystyle x 0 nbsp und x p displaystyle x pi nbsp sind senkrechte Asymptoten der Kotangensfunktion y cot x displaystyle y cot x nbsp wie auch waagrechte der Umkehrfunktion x arccot y displaystyle x operatorname arccot y nbsp Milton Abramowitz Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions Dover Publications New York 1964 ISBN 0 486 61272 4 4 3 67 Memento des Originals vom 31 Marz 2009 im Internet Archive nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot www math hkbu edu hk Milton Abramowitz Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions Dover Publications New York 1964 ISBN 0 486 61272 4 4 3 70 Memento des Originals vom 31 Marz 2009 im Internet Archive nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot www math hkbu edu hk Aigner Ziegler Das Buch der Beweise Springer 2018 S 207 Dargestellt in Aigner Ziegler Das Buch der Beweise 2018 S 207 ff Kapitel 26 Jurgen Elstrodt Partialbruchzerlegung des Kotangens Herglotz Trick und die Weierstrasssche stetige nirgends differenzierbare Funktion Mathematische Semesterberichte Band 45 1998 S 207 220 Derrick Henry Lehmer Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient Volume 92 1985 Seite 452Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tangens und Kotangens amp oldid 237789282
