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Fall mit Luftwiderstand Der ist die Fallbewegung eines Körpers zum Beispiel die eines Fallschirmspringers bei der der Lu

Fall mit Luftwiderstand

Der Fall mit Luftwiderstand ist die Fallbewegung eines Körpers, zum Beispiel die eines Fallschirmspringers, bei der der Luftwiderstand die Bewegung nicht als freien Fall ablaufen lässt.

Unterschied zum freien Fall Bearbeiten

Ohne Luftwiderstand nimmt bei einem Fall in Erdnähe die Geschwindigkeit des fallenden Körpers um 9,81 m/s pro Sekunde zu. Damit ist der Fall eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Das heißt, die Geschwindigkeit nimmt linear mit der verstreichenden Fallzeit zu. Die Beschleunigung ist dabei die Erdbeschleunigung. Nach einer Sekunde hat der fallende Körper gegenüber der Erdoberfläche eine Geschwindigkeit von 35 km/h, nach zwei Sekunden 71 km/h und nach drei Sekunden 106 km/h. Ein Fallschirmspringer hätte nach einer Minute im freien Fall eine Geschwindigkeit von über 2100 km/h erreicht.

Tatsächlich wirkt auf einen Fallschirmspringer jedoch auch der Luftwiderstand, welcher quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt. Die resultierende Beschleunigung entspricht daher nur am Anfang der Erdbeschleunigung, nachher nimmt sie ab, bis nach etwa sieben Sekunden die Beschleunigung Null wird — der Fallschirmspringer fällt nun mit der Fallgrenzgeschwindigkeit des menschlichen Körpers von ca. 55 m/s (ca. 198 km/h). Diese Geschwindigkeit ist allerdings nicht die maximal erreichbare Geschwindigkeit, sondern diejenige, die bei Einnahme der stabilen, quer zum Fall ausgerichteten Lage mit gespreizten Armen und Beinen erreicht wird. In einer geraden, senkrechten Haltung mit dem Kopf voran ist der Luftwiderstand(skoeffizient) deutlich geringer. In tiefer also relativ dichter Atmosphäre werden Geschwindigkeiten knapp über 500 km/h erreicht. Bei sehr hohen Absprung aus der Stratosphäre kann in großer Höhe sogar Schallgeschwindigkeit erreicht werden.

Berechnung mit Differentialgleichungen Bearbeiten

Der freie Fall betrachtet den Fall eines Körpers in einem Schwerefeld ohne Einfluss eines umgebenden Mediums bzw. Atmosphäre. Dies ist bei geringen Geschwindigkeiten häufig eine vernünftige Näherung. Soll die Beschleunigung jedoch exakt ermittelt werden, müssen der Auftrieb, die Stokes-Reibung und die Newton-Reibung berücksichtigt werden.

Fall mit Auftrieb Bearbeiten

Das umgebende Medium wirkt mit einer Kraft auf den Körper, die der Gewichtskraft der Masse des verdrängten Mediums entspricht und dieser entgegengesetzt gerichtet ist. Der Auftrieb ist vernachlässigbar, wenn das Verhältnis gilt, wobei die Dichte ist.

Beispielsweise lässt sich der Auftrieb von Luftballons in der Luft oder von Menschen im Wasser nicht vernachlässigen.

Die Auftriebskraft ist:

wobei das Volumen des Körpers ist, seine Dichte und die Dichte des verdrängten Mediums. Wir definieren

als Auftriebsbeschleunigung. Damit erhalten wir für die gesamte Kraft:

wobei

als angepasste Fallbeschleunigung bezeichnet wird. Die Lösung für diese Differentialgleichung ist dann analog zum freien Fall:

Zu beachten ist, dass auch negativ sein kann, falls .

Fall mit Stokes-Reibung Bearbeiten

Kräfte am fallenden Körper mit Stokes-Reibung

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit:

mit einem Reibungskoeffizienten . Die Bewegungsgleichung in z-Richtung (vertikal) lautet daher

bzw.

Diese Gleichung führt zu den Ausdrücken

für die Geschwindigkeit und

für die Höhe. Sowohl die Geschwindigkeit als auch die zurückgelegte Strecke des fallenden Gegenstands hängen von seiner Masse ab, was der Alltagserfahrung entspricht. Die Grenzgeschwindigkeit, welche sich für einen freien Fall mit Stokes-Reibung einstellen würde, beträgt

Kräfte am fallenden Körper mit Newton-Reibung

Fall mit Luftwiderstand: Newton-Reibung Bearbeiten

Ab einer gewissen kritischen Geschwindigkeit (siehe Reynolds-Zahl) geht die laminare Luftströmung am Körper vorbei in eine turbulente über. Dies führt dazu, dass der Luftwiderstand nun quadratisch von der Geschwindigkeit abhängt:

Aus der Bewegungsgleichung für eine Bewegung nach unten (d. h. ) folgt die Differentialgleichung

Diese Differentialgleichung ist vom Riccatischen Typus und somit bei Kenntnis einer partikulären Lösung analytisch lösbar. Eine partikuläre Lösung entspricht dem stationären Zustand

Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit

wobei der Tangens hyperbolicus, der Areatangens hyperbolicus und ist und gelten muss.

Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm (Zeitachsen-Skalierung ist eher symbolisch zu verstehen)

Der Weg ergibt sich dann direkt als Integral der Geschwindigkeit über der Zeit zu

wobei der Logarithmus naturalis, der Cosinus hyperbolicus und ist.

Da die Geschwindigkeit quadratisch in die Bewegungsgleichung eingeht, muss der Vorzeichenwechsel bei Bewegungsumkehr im Reibungsterm explizit durch Fallunterscheidung berücksichtigt werden. Die allgemeine Bewegungsgleichung lautet daher

Die Lösungen für Zeiten mit (momentane Bewegung nach oben) folgen aus obigen Lösungen durch die Substitution . Die Konstante ist von der Form des Körpers und von der Dichte des strömenden Mediums (etwa der Luft) abhängig. Es gilt:

wobei der Widerstandsbeiwert, die Körperquerschnittsfläche und die Dichte des umgebenden Mediums (Luft) ist.

Beispiel: Meteoroid Bearbeiten

Bremsbeschleunigung, die ein in die Erdatmosphäre stürzender Meteor erfährt; bei höherer Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich auch ein höherer Peak (Spitzenwert).
Geschwindigkeitsverlauf des Meteoroiden

Im Folgenden wird angenommen, dass ein kugelförmiger Meteoroid mit dem Querschnitt und der Masse in die Erdatmosphäre eindringt und dabei abgebremst wird. Gesucht sind die Geschwindigkeit und Bremsbeschleunigung des Meteoroiden als Funktion der Höhe über dem Erdboden. Dabei wird von reiner Newton-Reibung ausgegangen, d. h. Effekte durch Überschall, Erhitzung der Luft sowie Druckminderung bis nahe an das Vakuum werden vernachlässigt. Die Gravitationsbeschleunigung der Erde wird mit zunehmender Höhe über der Erdoberfläche kleiner. Es gilt

wobei den Erdradius bezeichnet. Nach der barometrischen Höhenformel beträgt die Luftdichte in dieser Höhe

Dabei ist die Luftdichte am Erdboden, die mittlere molare Masse der Atmosphärengase (0,02896 kg mol−1), die universelle Gaskonstante (8,314 J K−1 mol−1) und die absolute Temperatur. Der Strömungswiderstand der Luft bei der Geschwindigkeit ist von dieser Dichte abhängig:

Die effektive Beschleunigung auf den Meteoroid der Masse m entspricht der Gravitationsbeschleunigung abzüglich der Bremsbeschleunigung:

Setzen wir die obigen Formeln in diese Gleichung ein, so ergibt sich die Bewegungsgleichung des Meteoroiden:

In den nebenstehenden Diagrammen wurde die Bewegungsgleichung für einen Eisenmeteorit mit dem Volumen V = 1 cm³ und der Masse m = 7,874 g numerisch gelöst. Dabei hat der Meteoroid jeweils die Anfangsgeschwindigkeiten v0 1 = 15 km/s, v0 2 = 25 km/s oder v0 3 = 35 km/s. Es stellt sich heraus, dass ein solcher Körper stets im selben Höhenbereich abgebremst wird, wobei eine größere Masse bei gleichbleibender Dichte alle Kurven in den Diagrammen lediglich nach links verschiebt. Da eine Beschleunigung von 1 km/s² etwa der 102-fachen Erdbeschleunigung entspricht, sind schnelle Meteoroiden einer enormen Kraft ausgesetzt, welche diese in Fragmente zerreißt und aufgrund der hohen Reibungswärme verglühen lässt. Das so entstehende Licht macht einen kleinen Teil der Leuchterscheinung einer Sternschnuppe aus.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

  • Freier Fall mit und ohne Luftwiderstand (PDF; 484 kB) mit Herleitung des Luftwiderstands.
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Der Fall mit Luftwiderstand ist die Fallbewegung eines Korpers zum Beispiel die eines Fallschirmspringers bei der der Luftwiderstand die Bewegung nicht als freien Fall ablaufen lasst Inhaltsverzeichnis 1 Unterschied zum freien Fall 2 Berechnung mit Differentialgleichungen 2 1 Fall mit Auftrieb 2 2 Fall mit Stokes Reibung 2 3 Fall mit Luftwiderstand Newton Reibung 2 3 1 Beispiel Meteoroid 3 Siehe auch 4 WeblinksUnterschied zum freien Fall BearbeitenOhne Luftwiderstand nimmt bei einem Fall in Erdnahe die Geschwindigkeit v displaystyle v nbsp des fallenden Korpers um 9 81 m s pro Sekunde zu Damit ist der Fall eine gleichmassig beschleunigte Bewegung Das heisst die Geschwindigkeit nimmt linear mit der verstreichenden Fallzeit zu Die Beschleunigung ist dabei die Erdbeschleunigung Nach einer Sekunde hat der fallende Korper gegenuber der Erdoberflache eine Geschwindigkeit von 35 km h nach zwei Sekunden 71 km h und nach drei Sekunden 106 km h Ein Fallschirmspringer hatte nach einer Minute im freien Fall eine Geschwindigkeit von uber 2100 km h erreicht Tatsachlich wirkt auf einen Fallschirmspringer jedoch auch der Luftwiderstand welcher quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt Die resultierende Beschleunigung entspricht daher nur am Anfang der Erdbeschleunigung nachher nimmt sie ab bis nach etwa sieben Sekunden die Beschleunigung Null wird der Fallschirmspringer fallt nun mit der Fallgrenzgeschwindigkeit des menschlichen Korpers von ca 55 m s ca 198 km h Diese Geschwindigkeit ist allerdings nicht die maximal erreichbare Geschwindigkeit sondern diejenige die bei Einnahme der stabilen quer zum Fall ausgerichteten Lage mit gespreizten Armen und Beinen erreicht wird In einer geraden senkrechten Haltung mit dem Kopf voran ist der Luftwiderstand skoeffizient deutlich geringer In tiefer also relativ dichter Atmosphare werden Geschwindigkeiten knapp uber 500 km h erreicht Bei sehr hohen Absprung aus der Stratosphare kann in grosser Hohe sogar Schallgeschwindigkeit erreicht werden Berechnung mit Differentialgleichungen BearbeitenDer freie Fall betrachtet den Fall eines Korpers in einem Schwerefeld ohne Einfluss eines umgebenden Mediums bzw Atmosphare Dies ist bei geringen Geschwindigkeiten haufig eine vernunftige Naherung Soll die Beschleunigung jedoch exakt ermittelt werden mussen der Auftrieb die Stokes Reibung und die Newton Reibung berucksichtigt werden Fall mit Auftrieb Bearbeiten Siehe auch Statischer Auftrieb Das umgebende Medium wirkt mit einer Kraft auf den Korper die der Gewichtskraft der Masse des verdrangten Mediums entspricht und dieser entgegengesetzt gerichtet ist Der Auftrieb ist vernachlassigbar wenn das Verhaltnis r Korper r Medium 1 displaystyle rho text Korper rho text Medium gg 1 nbsp gilt wobei r displaystyle rho nbsp die Dichte ist Beispielsweise lasst sich der Auftrieb von Luftballons in der Luft oder von Menschen im Wasser nicht vernachlassigen Die Auftriebskraft ist F A r 0 V g r K V r 0 r K g m r 0 r K g displaystyle F mathrm A rho 0 cdot V cdot g rho mathrm K cdot V cdot left frac rho 0 rho mathrm K cdot g right m cdot left frac rho 0 rho mathrm K cdot g right nbsp wobei V displaystyle V nbsp das Volumen des Korpers ist r K displaystyle rho mathrm K nbsp seine Dichte und r 0 displaystyle rho 0 nbsp die Dichte des verdrangten Mediums Wir definieren g A r 0 r K g displaystyle g mathrm A frac rho 0 rho mathrm K cdot g nbsp als Auftriebsbeschleunigung Damit erhalten wir fur die gesamte Kraft F F G F A m g m g A m g g A m g displaystyle F F mathrm G F mathrm A m cdot g m cdot g mathrm A m cdot g g mathrm A m cdot tilde g nbsp wobei g g g A 1 r 0 r K g displaystyle tilde g g g mathrm A left 1 frac rho 0 rho mathrm K right cdot g nbsp als angepasste Fallbeschleunigung bezeichnet wird Die Losung fur diese Differentialgleichung ist dann analog zum freien Fall z t 1 2 g t 2 v 0 t z 0 displaystyle z t frac 1 2 tilde g t 2 v 0 t z 0 nbsp Zu beachten ist dass g displaystyle tilde g nbsp auch negativ sein kann falls r K lt r 0 displaystyle rho mathrm K lt rho 0 nbsp Fall mit Stokes Reibung Bearbeiten nbsp Krafte am fallenden Korper mit Stokes ReibungSiehe auch Stokes Reibung Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit F R b v displaystyle F mathrm R beta v nbsp mit einem Reibungskoeffizienten b displaystyle beta nbsp Die Bewegungsgleichung in z Richtung vertikal lautet daher m z m g b z displaystyle m ddot z mg beta dot z nbsp bzw m v m g b v displaystyle m dot v mg beta v nbsp Diese Gleichung fuhrt zu den Ausdrucken v t m g b 1 e b t m v 0 e b t m displaystyle v t frac mg beta left 1 e beta t m right v 0 e beta t m nbsp fur die Geschwindigkeit und z t v 0 m g b m b 1 e b t m m g b t z 0 displaystyle z t left v 0 frac mg beta right left frac m beta right left 1 e beta t m right frac mg beta t z 0 nbsp fur die Hohe Sowohl die Geschwindigkeit als auch die zuruckgelegte Strecke des fallenden Gegenstands hangen von seiner Masse ab was der Alltagserfahrung entspricht Die Grenzgeschwindigkeit welche sich fur einen freien Fall mit Stokes Reibung einstellen wurde betragt lim t v t v m g b displaystyle lim t to infty v t v infty frac mg beta nbsp nbsp Krafte am fallenden Korper mit Newton ReibungFall mit Luftwiderstand Newton Reibung Bearbeiten Siehe auch Newton Reibung Ab einer gewissen kritischen Geschwindigkeit siehe Reynolds Zahl geht die laminare Luftstromung am Korper vorbei in eine turbulente uber Dies fuhrt dazu dass der Luftwiderstand nun quadratisch von der Geschwindigkeit abhangt F W k v 2 displaystyle F W kv 2 nbsp Aus der Bewegungsgleichung m z m g k v 2 displaystyle m ddot z mg kv 2 nbsp fur eine Bewegung nach unten d h v lt 0 displaystyle v lt 0 nbsp folgt die Differentialgleichung m v m g k v 2 displaystyle m dot v mg kv 2 nbsp Diese Differentialgleichung ist vom Riccatischen Typus und somit bei Kenntnis einer partikularen Losung analytisch losbar Eine partikulare Losung entspricht dem stationaren Zustand v t v m g k displaystyle v t rightarrow infty v infty sqrt mg k nbsp Daraus ergibt sich fur die Geschwindigkeit v t v tanh g t v artanh v 0 v displaystyle v t v infty tanh left frac gt v infty operatorname artanh left frac v 0 v infty right right nbsp wobei tanh x displaystyle tanh x nbsp der Tangens hyperbolicus artanh x displaystyle operatorname artanh x nbsp der Areatangens hyperbolicus und v 0 v t 0 displaystyle v 0 v t 0 nbsp ist und v 0 lt v displaystyle v 0 lt v infty nbsp gelten muss nbsp Zeit Geschwindigkeitsdiagramm Zeitachsen Skalierung ist eher symbolisch zu verstehen Der Weg ergibt sich dann direkt als Integral der Geschwindigkeit uber der Zeit zu z t v 2 g ln 1 v 0 2 v 2 cosh g t v artanh v 0 v z 0 displaystyle z t frac v infty 2 g ln Biggl sqrt 1 frac v 0 2 v infty 2 cosh left frac gt v infty operatorname artanh left frac v 0 v infty right right Biggr z 0 nbsp wobei ln x displaystyle ln x nbsp der Logarithmus naturalis cosh x displaystyle cosh x nbsp der Cosinus hyperbolicus und z 0 z t 0 displaystyle z 0 z t 0 nbsp ist Da die Geschwindigkeit quadratisch in die Bewegungsgleichung eingeht muss der Vorzeichenwechsel bei Bewegungsumkehr im Reibungsterm explizit durch Fallunterscheidung berucksichtigt werden Die allgemeine Bewegungsgleichung lautet daher m z m g sgn v k v 2 displaystyle m ddot z mg operatorname sgn v kv 2 nbsp Die Losungen fur Zeiten mit v t gt 0 displaystyle v t gt 0 nbsp momentane Bewegung nach oben folgen aus obigen Losungen durch die Substitution k k displaystyle k rightarrow k nbsp Die Konstante k displaystyle k nbsp ist von der Form des Korpers und von der Dichte des stromenden Mediums etwa der Luft abhangig Es gilt k 1 2 c w A r displaystyle k frac 1 2 c mathrm w A rho nbsp wobei c w displaystyle c mathrm w nbsp der Widerstandsbeiwert A displaystyle A nbsp die Korperquerschnittsflache und r displaystyle rho nbsp die Dichte des umgebenden Mediums Luft ist Beispiel Meteoroid Bearbeiten nbsp Bremsbeschleunigung die ein in die Erdatmosphare sturzender Meteor erfahrt bei hoherer Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich auch ein hoherer Peak Spitzenwert nbsp Geschwindigkeitsverlauf des MeteoroidenIm Folgenden wird angenommen dass ein kugelformiger Meteoroid mit dem Querschnitt A displaystyle A nbsp und der Masse m displaystyle m nbsp in die Erdatmosphare eindringt und dabei abgebremst wird Gesucht sind die Geschwindigkeit und Bremsbeschleunigung des Meteoroiden als Funktion der Hohe uber dem Erdboden Dabei wird von reiner Newton Reibung ausgegangen d h Effekte durch Uberschall Erhitzung der Luft sowie Druckminderung bis nahe an das Vakuum werden vernachlassigt Die Gravitationsbeschleunigung der Erde wird mit zunehmender Hohe h t displaystyle h t nbsp uber der Erdoberflache kleiner Es gilt a g r a v g r r h t 2 displaystyle a mathrm grav g cdot left frac r r h t right 2 nbsp wobei r displaystyle r nbsp den Erdradius bezeichnet Nach der barometrischen Hohenformel betragt die Luftdichte in dieser Hohe r h r 0 e M g R T h t displaystyle rho h rho 0 cdot e frac Mg RT h t nbsp Dabei ist r 0 displaystyle rho 0 nbsp die Luftdichte am Erdboden M displaystyle M nbsp die mittlere molare Masse der Atmospharengase 0 02896 kg mol 1 R displaystyle R nbsp die universelle Gaskonstante 8 314 J K 1 mol 1 und T displaystyle T nbsp die absolute Temperatur Der Stromungswiderstand der Luft F L displaystyle F L nbsp bei der Geschwindigkeit v t displaystyle v t nbsp ist von dieser Dichte abhangig F L 1 2 r h C w A v 2 t displaystyle F L frac 1 2 rho h C w Av 2 t nbsp Die effektive Beschleunigung auf den Meteoroid der Masse m entspricht der Gravitationsbeschleunigung abzuglich der Bremsbeschleunigung a e f f h t a g r a v F L m displaystyle a mathrm eff ddot h t a mathrm grav frac F L m nbsp Setzen wir die obigen Formeln in diese Gleichung ein so ergibt sich die Bewegungsgleichung des Meteoroiden h t g r r h t 2 1 2 m r 0 e M g R T h t C w A h 2 t 0 displaystyle ddot h t g left frac r r h t right 2 frac 1 2m rho 0 cdot e frac Mg RT h t C w A cdot dot h 2 t 0 nbsp In den nebenstehenden Diagrammen wurde die Bewegungsgleichung fur einen Eisenmeteorit mit dem Volumen V 1 cm und der Masse m 7 874 g numerisch gelost Dabei hat der Meteoroid jeweils die Anfangsgeschwindigkeiten v0 1 15 km s v0 2 25 km s oder v0 3 35 km s Es stellt sich heraus dass ein solcher Korper stets im selben Hohenbereich abgebremst wird wobei eine grossere Masse bei gleichbleibender Dichte alle Kurven in den Diagrammen lediglich nach links verschiebt Da eine Beschleunigung von 1 km s etwa der 102 fachen Erdbeschleunigung entspricht sind schnelle Meteoroiden einer enormen Kraft ausgesetzt welche diese in Fragmente zerreisst und aufgrund der hohen Reibungswarme vergluhen lasst Das so entstehende Licht macht einen kleinen Teil der Leuchterscheinung einer Sternschnuppe aus Siehe auch BearbeitenMethode der kleinen Schritte Wurfparabel mit Luftwiderstand EndgeschwindigkeitWeblinks BearbeitenFreier Fall mit und ohne Luftwiderstand PDF 484 kB mit Herleitung des Luftwiderstands Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fall mit Luftwiderstand amp oldid 239473835