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Riccatische Differentialgleichung en oder Riccati Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse nichtlinearer gewöh

Riccatische Differentialgleichung

Riccatische Differentialgleichungen oder Riccati-Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Sie besitzen die Form

mit gegebenen Funktionen , und .

Sie sind nach dem Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt, einem italienischen Grafen (1676–1754), der sich intensiv mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.

Eine allgemeine Lösung einer Riccati-Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht möglich, jedoch kann eine solche angegeben werden, falls eine spezielle Lösung bekannt ist.

Denselben Namen riccatische Differentialgleichung tragen noch zwei andere Gleichungstypen, die für verschiedene Themen von angewandter Mathematik bis zur Finanzwissenschaft von Bedeutung sind.

Transformation im Falle einer bekannten Lösung Bearbeiten

Angenommen, man hätte bereits eine Lösung (etwa durch Raten) gefunden. Dann lässt sich die riccatische Differentialgleichung vollständig lösen, da das Auffinden der übrigen Lösungen sich nun auf eine bernoullische Differentialgleichung reduziert, welche leicht gelöst werden kann.

Formulierung des Transformationssatzes Bearbeiten

Es seien sowie eine Lösung der riccatischen Differentialgleichung

und eine Lösung der bernoullischen Differentialgleichung

Dann ist

die Lösung der riccatischen Differentialgleichung

Beweis Bearbeiten

Es gilt

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Umformung auf lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung Bearbeiten

Im Allgemeinen, unabhängig davon, ob man eine spezielle Lösung gefunden hat, lässt sich die riccatische Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten transformieren. Sollten zufälligerweise die Koeffizienten konstant sein, lässt sich diese transformierte Gleichung mit Hilfe der charakteristischen Gleichung leicht vollständig lösen. Im Fall nicht-konstanter Koeffizienten kann auch die lineare Form der riccatischen Differentialgleichung nur sehr schwer lösbar sein.

Formulierung des Transformationssatzes Bearbeiten

Es seien sowie stetig differenzierbar und eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

mit für alle . Dann ist

die Lösung der riccatischen Differentialgleichung

Beweis Bearbeiten

Der Übersicht halber werden die Argumente nicht mitgeschrieben. Nach der Quotientenregel gilt

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

Transformation auf ein lineares Differentialgleichungssystem Bearbeiten

Neben der Umformung der Riccati-Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung ist auch eine Transformation auf ein lineares Differentialgleichungssystem möglich. Damit eröffnen sich weitere Lösungsmöglichkeiten. So wird beispielsweise im Fall konstanter Koeffizienten mit der Matrixexponentialfunktion eine analytische Lösung der ursprünglichen Riccati-Differentialgleichung erhalten.

Die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (Vgl. Formulierung des Transformationssatzes)

lässt sich mit der Substitution und auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen. Es folgt das lineare homogene Differentialgleichungssystem

mit der Koeffizientenmatrix

und dem Vektor

Ist die Koeffizientenmatrix eine stetige Funktion von (d. h. auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten), dann hat das zugehörige Anfangswertproblem mit den Anfangswerten stets eine eindeutig bestimmte Lösung, die für alle erklärt ist. Darüber hinaus kann die Lösung in Matrixschreibweise über die Matrixexponentialfunktion auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten angegeben werden.

Literatur Bearbeiten

  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2
  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2000, ISBN 3-540-67642-2

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2000, S. 94.
  2. W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2000, S. 305.
  3. T. Möller: Symbolic mathematics-based simulation of cylinder spaces for regenerative gas cycles. In: Int J Energy Environ Eng. Springer, Berlin/ Heidelberg, Feb. 2015. (link.springer.com)
  4. G. Merziger, Th. Wirth: Repetitorium der höheren Mathematik. Binomi Verlag, Hannover 2006.
  5. S. Blanes, F. Casas, J. A. Oteo, J. Ros: The Magnus expansion and some of its applications. In: Physics Reports. Band 470, Cornell University Library, 2009. (arxiv.org)
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Riccatische Differentialgleichungen oder Riccati Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse nichtlinearer gewohnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung Sie besitzen die Form y x f x y 2 x g x y x h x displaystyle y x f x y 2 x g x y x h x mit gegebenen Funktionen f displaystyle f g displaystyle g und h displaystyle h Sie sind nach dem Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt einem italienischen Grafen 1676 1754 der sich intensiv mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Verringerung der Ordnung von Gleichungen entwickelte Eine allgemeine Losung einer Riccati Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht moglich jedoch kann eine solche angegeben werden falls eine spezielle Losung bekannt ist Denselben Namen riccatische Differentialgleichung tragen noch zwei andere Gleichungstypen die fur verschiedene Themen von angewandter Mathematik bis zur Finanzwissenschaft von Bedeutung sind Inhaltsverzeichnis 1 Transformation im Falle einer bekannten Losung 1 1 Formulierung des Transformationssatzes 1 2 Beweis 2 Umformung auf lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung 2 1 Formulierung des Transformationssatzes 2 2 Beweis 3 Transformation auf ein lineares Differentialgleichungssystem 4 Literatur 5 EinzelnachweiseTransformation im Falle einer bekannten Losung BearbeitenAngenommen man hatte bereits eine Losung u displaystyle u nbsp etwa durch Raten gefunden Dann lasst sich die riccatische Differentialgleichung vollstandig losen da das Auffinden der ubrigen Losungen sich nun auf eine bernoullische Differentialgleichung reduziert welche leicht gelost werden kann 1 Formulierung des Transformationssatzes Bearbeiten Es seien x 0 a b displaystyle x 0 in a b nbsp sowie u a b R displaystyle u colon a b rightarrow mathbb R nbsp eine Losung der riccatischen Differentialgleichung u x f x u 2 x g x u x h x displaystyle u x f x u 2 x g x u x h x nbsp und z displaystyle z nbsp eine Losung der bernoullischen Differentialgleichung z x f x z x 2 2 u x f x g x z x displaystyle z x f x z x 2 Big 2u x f x g x Big z x nbsp Dann ist y x z x u x displaystyle y x z x u x nbsp die Losung der riccatischen Differentialgleichung y x f x y 2 x g x y x h x y x 0 y 0 z x 0 u x 0 displaystyle y x f x y 2 x g x y x h x y x 0 y 0 z x 0 u x 0 nbsp Beweis Bearbeiten Es gilt y x z x u x f x z x 2 2 u x f x g x z x f x u 2 x g x u x h x f x z x 2 2 u x z x u 2 x g x z x u x h x f x y 2 x g x y x h x displaystyle begin array lll y x amp amp z x u x amp amp f x z x 2 Big 2u x f x g x Big z x f x u 2 x g x u x h x amp amp f x Big z x 2 2u x z x u 2 x Big g x Big z x u x Big h x amp amp f x y 2 x g x y x h x end array nbsp wahrend der Anfangswert trivialerweise erfullt ist Umformung auf lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung BearbeitenIm Allgemeinen unabhangig davon ob man eine spezielle Losung gefunden hat lasst sich die riccatische Differentialgleichung auf eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten transformieren 2 Sollten zufalligerweise die Koeffizienten konstant sein lasst sich diese transformierte Gleichung mit Hilfe der charakteristischen Gleichung leicht vollstandig losen Im Fall nicht konstanter Koeffizienten kann auch die lineare Form der riccatischen Differentialgleichung nur sehr schwer losbar sein Formulierung des Transformationssatzes Bearbeiten Es seien x 0 a b displaystyle x 0 in a b nbsp sowie f a b R 0 displaystyle f colon a b rightarrow mathbb R setminus 0 nbsp stetig differenzierbar und z displaystyle z nbsp eine Losung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung z x g x f x f x z x f x h x z x 0 displaystyle z x left g x frac f x f x right cdot z x Big f x h x Big cdot z x 0 nbsp mit z x 0 displaystyle z x neq 0 nbsp fur alle x a b displaystyle x in a b nbsp Dann ist y x z x f x z x displaystyle y x frac z x f x z x nbsp die Losung der riccatischen Differentialgleichung y x f x y 2 x g x y x h x y x 0 y 0 z x 0 f x 0 z x 0 displaystyle y x 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eindeutig bestimmte Losung die fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp erklart ist Daruber hinaus kann die Losung in Matrixschreibweise uber die Matrixexponentialfunktion auch im Fall nicht konstanter Koeffizienten angegeben werden 5 Literatur BearbeitenHarro Heuser Gewohnliche Differentialgleichungen Vieweg Teubner 2009 6 Auflage ISBN 978 3 8348 0705 2 Wolfgang Walter Gewohnliche Differentialgleichungen 7 Auflage Springer Berlin Heidelberg 2000 ISBN 3 540 67642 2Einzelnachweise Bearbeiten W Walter Gewohnliche Differentialgleichungen 2000 S 94 W Walter Gewohnliche Differentialgleichungen 2000 S 305 T Moller Symbolic mathematics based simulation of cylinder spaces for regenerative gas cycles In Int J Energy Environ Eng Springer Berlin Heidelberg Feb 2015 link springer com G Merziger Th Wirth Repetitorium der hoheren Mathematik Binomi Verlag Hannover 2006 S Blanes F Casas J A Oteo J Ros The Magnus expansion and some of its applications In Physics Reports Band 470 Cornell University Library 2009 arxiv org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Riccatische Differentialgleichung amp oldid 201694603