Die Bernoullische Differentialgleichung nach Jakob I Bernoulli ist eine nichtlineare gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form y x f x y x g x y a x a 0 1 displaystyle y x f x y x g x y alpha x alpha notin lbrace 0 1 rbrace Durch die Transformation z x y x 1 a displaystyle z x y x 1 alpha kann man sie auf die lineare Differentialgleichung z x 1 a f x z x g x displaystyle z x 1 alpha bigl f x z x g x bigr zuruckfuhren Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli Gleichung der Stromungsmechanik Inhaltsverzeichnis 1 Satz uber die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung 1 1 Beweis 2 Beispiel Logistische Differentialgleichung 3 LiteraturSatz uber die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung BearbeitenSei x 0 a b displaystyle x 0 in a b nbsp und z a b 0 falls a R 1 2 z a b R 0 falls a 2 displaystyle left begin array ll z a b rightarrow 0 infty amp textrm falls alpha in mathbb R setminus 1 2 z a b rightarrow mathbb R setminus 0 amp textrm falls alpha 2 end array right nbsp eine Losung der linearen Differentialgleichung z x 1 a f x z x 1 a g x displaystyle z x 1 alpha f x z x 1 alpha g x nbsp Dann ist y x z x 1 1 a displaystyle y x z x frac 1 1 alpha nbsp die Losung der Bernoullischen Differentialgleichung y x f x y x g x y a x y x 0 y 0 z x 0 1 1 a displaystyle y x f x y x g x y alpha x y x 0 y 0 z x 0 frac 1 1 alpha nbsp Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung fur jedes a gt 0 displaystyle alpha gt 0 nbsp trivialerweise y 0 displaystyle y equiv 0 nbsp als Losung fur y 0 0 displaystyle y 0 0 nbsp Beweis Bearbeiten Es gilt y x 1 1 a z x 1 1 a 1 z x 1 1 a z x 1 1 a 1 1 a f x z x 1 a g x f x z x 1 1 a g x z x a 1 a f x y x g x y a x displaystyle begin array lll y x amp amp frac 1 1 alpha z x frac 1 1 alpha 1 z x amp amp frac 1 1 alpha z x frac 1 1 alpha 1 bigl 1 alpha f x z x 1 alpha g x bigr amp amp f x z x frac 1 1 alpha g x z x frac alpha 1 alpha amp amp f x y x g x y alpha x end array nbsp wahrend der Anfangswert trivialerweise erfullt ist displaystyle Box nbsp Beispiel Logistische Differentialgleichung BearbeitenDie logistische Differentialgleichung y x a y x b y 2 x y 0 y 0 gt 0 a b gt 0 displaystyle y x ay x by 2 x y 0 y 0 gt 0 a b gt 0 nbsp ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit a 2 displaystyle alpha 2 nbsp Lost man daher z x a z x b z 0 1 y 0 displaystyle z x az x b z 0 frac 1 y 0 nbsp ergibt sich z x b a 1 y 0 b a e a x displaystyle z x frac b a left frac 1 y 0 frac b a right e ax nbsp Da z x gt 0 displaystyle z x gt 0 nbsp fur alle x gt x displaystyle x gt x nbsp mit x falls a b y 0 1 a ln 1 a b y 0 falls a lt b y 0 displaystyle x left begin array ll infty amp textrm falls a geq by 0 frac 1 a ln 1 frac a by 0 amp textrm falls a lt by 0 end array right nbsp ist y x 1 z x 1 b a 1 y 0 b a e a x displaystyle y x frac 1 z x frac 1 frac b a left frac 1 y 0 frac b a right e ax nbsp die Losung obiger Gleichung auf x displaystyle x infty nbsp Literatur BearbeitenHarro Heuser Gewohnliche Differentialgleichungen Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden 2004 ISBN 3 519 32227 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bernoullische Differentialgleichung amp oldid 197393498
