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Reynolds Zahl Physikalische KennzahlName Formelzeichen R e displaystyle mathit Re Dimension 1 displaystyle mathsf 1 Defi

Reynolds-Zahl

Physikalische Kennzahl
Name Reynolds-Zahl
Formelzeichen
Dimension
Definition
Dichte
Strömungsgeschwindigkeit
charakteristische Länge
dynamische Viskosität
Benannt nach Osborne Reynolds
Anwendungsbereich viskose Strömungen

Die Reynolds-Zahl (Formelzeichen: ) ist eine nach dem Physiker Osborne Reynolds benannte dimensionslose Kennzahl. Sie wird in der Strömungslehre verwendet und kann als das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften verstanden werden (bzw. das Verhältnis von spezifischer Impulskonvektion zu Impulsdiffusion im System). Das Strömungsverhalten geometrisch ähnlicher Körper ist bei gleicher Reynolds-Zahl ähnlich. Diese Eigenschaft ermöglicht es realitätsnahe Versuche mit einem verkleinerten Modell im Wind- oder Wasserkanal durchzuführen.

Definition Bearbeiten

Die Reynolds-Zahl ist definiert als

Dabei ist die Dichte des Fluids, die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids gegenüber dem Körper und eine charakteristische Länge des Körpers. Die kinematische Viskosität des Fluids ist deren durch die Dichte dividierte dynamische Viskosität : .

Die charakteristische Länge, auch Bezugslänge genannt, wird für die jeweilige Problemstellung definiert. Bei Strömungskörpern wird üblicherweise die Länge des Körpers in Strömungsrichtung gewählt. Bei Widerstandskörpern wird meist die Breite oder Höhe quer zur Strömungsrichtung, bei Rohrströmungen der Radius oder Durchmesser des Rohres und bei Gerinnen die Tiefe oder die Breite an der Gerinne-Oberfläche als charakteristische Länge genommen.

Herleitung Bearbeiten

In der inkompressiblen Navier-Stokes Gleichung wird die Geschwindigkeit mit dimensionslos gemacht, die räumlichen Ableitungen mit und folglich die zeitliche Ableitung mit und der Druck mit . Damit wird aus der dimensionsbehafteten Gleichung

die dimensionslose Form:

Alternativ – im allgemeinen Fall – können dimensionslose Kennzahlen über das Buckinghamsche Π-Theorem gebildet werden.

Anwendungen Bearbeiten

Rohrströmung Bearbeiten

Überschreitet die Reynolds-Zahl einen problemabhängigen kritischen Wert , wird eine bis dahin laminare Strömung anfällig gegen kleine Störungen. Entsprechend ist für mit einem Umschlag von laminarer in turbulente Strömung zu rechnen. Für die Rohrströmung wurde dies erstmals von Osborne Reynolds beschrieben.

Bei Rohrströmungen werden als charakteristische Größen üblicherweise der Innendurchmesser , der Betrag der über den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit und die Viskosität des Fluids verwendet.

In der Literatur wird häufig ein Wert von zitiert. Er geht auf Messungen von Julius Rotta zurück.

Die kritische Reynolds-Zahl charakterisiert nicht exakt den Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung. Vielmehr zerfallen Turbulenzen unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl, und zwar umso schneller, je kleiner die Reynolds-Zahl ist. Es ist in Experimenten gelungen, laminare Rohrströmungen mit Reynolds-Zahlen um 50.000 zu erzeugen, ohne dass die Strömung turbulent geworden ist. Der Rekord liegt derzeit bei Re = 100.000. Wenn Störungen den Umschlag in eine turbulente Strömung erzeugen, bleibt die Strömung bei überkritischer Reynolds-Zahl turbulent.

Die kritische Reynolds-Zahl , die den Übergang zwischen turbulenter und laminarer Strömung markiert, ist nicht nur abhängig von der Geometrie des Anwendungsfalles, sondern auch von der Wahl der charakteristischen Länge. Wird zum Beispiel der Rohrradius statt des Durchmessers der Strömung als charakteristisches Längenmaß einer Rohrströmung gewählt, halbiert sich der Zahlenwert , der dasselbe aussagt. Da die kritische Reynolds-Zahl ein Wert ist, der keine scharfe Grenze, sondern einen breiten Übergangsbereich der Strömungsverhältnisse markiert, ist der üblicherweise verwendete Zahlenwert nicht , sondern wird auf gerundet.

Flugobjekte Bearbeiten

Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige Größe innerhalb der Ähnlichkeitstheorie. Will man zum Beispiel ein verkleinertes Modell eines Flugzeuges in einem Windkanal untersuchen, so muss der Wert der Reynolds-Zahl von Original und Modell gleich sein, um ein ähnliches Strömungsfeld zu erhalten. Entsprechend muss bei einem um einen Faktor verkleinerten Modell das Verhältnis um den Faktor erhöht werden.

Geschwindigkeiten und Reynolds-Zahlen einiger Flugobjekte

Das Diagramm rechts vergleicht Geschwindigkeiten und zugehörige Reynolds-Zahlen der Strömungen um einige Flugobjekte. Beispielsweise sind die Reynolds-Zahlen von Luftschiffen höher als die von Flugzeugen. Sie bewegen sich zwar mit geringerer Geschwindigkeit, sind aber deutlich größer.

Damit in einem skalierten Modellversuch die gleichen Ergebnisse erhalten werden, müssen ggf. auch weitere dimensionslose Kennzahlen, die in den entdimensionalisierten Strömungsgleichungen auftreten, gleich bleiben. Wenn beispielsweise bei hohen Fluggeschwindigkeiten Änderungen in der Dichte relevant werden, ändert sich die auch Machzahl. Wenn im Versuch diese Änderung nicht berücksichtigt wird, kann es zu abweichenden Ergebnissen kommen.

Bei der Auslegung von Windkraftanlagen spielt die Reynolds-Zahl ebenfalls eine Rolle. Durch sie lässt sich der Strömungsabriss an deren Flügeln bestimmen und somit die Anlage für gewünschte Windgeschwindigkeiten auslegen.

Gerinneströmung Bearbeiten

Bei Gerinneströmungen werden als charakteristische Größen der hydraulische Durchmesser , der Betrag der mittleren Fließgeschwindigkeit über den durchflossenen Querschnitt und die Viskosität des Fluids verwendet.

Rührerströmung Bearbeiten

Bei einem Rührer wird die Reynolds-Zahl durch den Durchmesser des Rührers, dessen Drehzahl in 1/s, sowie die Dichte und die dynamische Viskosität der Flüssigkeit bestimmt:

Bei gilt die Strömung am Rührer als turbulent.

Hinweise Bearbeiten

In idealen Flüssigkeiten gibt es keine Viskosität und die Reynolds-Zahl ist unendlich.

In der Magnetohydrodynamik wird die magnetische Reynolds-Zahl definiert.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Reynolds number – Sammlung von Bildern und Videos

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. O. Reynolds Philosophical Transactions of the Royal society of London, 1883
  2. Julius Rotta: Experimenteller Beitrag zur Entstehung turbulenter Strömung im Rohr, In: Ingenieur-Archiv, Band 24, 1956, S. 258–281, Springer-Verlag, Link (PDF; 2086 kB)
  3. Heinz Schade, Ewald Kunz: Strömungslehre. 2. Aufl., Berlin; New York: de Gruyter, 1989, ISBN 3-11-011873-4, S. 100.
  4. Bergmann-Schaefer, Bd. 1 Mechanik, Akustik, Wärme, De Gruyter, Berlin, New York, 2008
  5. Robert Freimann: Hydraulik für Bauingenieure. Grundlagen und Anwendungen. Carl-Hanser-Verlag, München 2009, ISBN 978-3-446-41054-1, S. 41.
  6. Marko Zlokarnik: Scale-up: Modellübertragung in der Verfahrenstechnik. 2. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2005, ISBN 3-527-31422-9, S. 20.
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Physikalische KennzahlName Reynolds ZahlFormelzeichen R e displaystyle mathit Re Dimension 1 displaystyle mathsf 1 Definition R e r v d h displaystyle mathit Re frac rho cdot v cdot d eta r displaystyle rho Dichtev displaystyle v Stromungsgeschwindigkeitd displaystyle d charakteristische Langeh displaystyle eta dynamische ViskositatBenannt nach Osborne ReynoldsAnwendungsbereich viskose StromungenDie Reynolds Zahl Formelzeichen R e displaystyle Re ist eine nach dem Physiker Osborne Reynolds benannte dimensionslose Kennzahl Sie wird in der Stromungslehre verwendet und kann als das Verhaltnis von Tragheits zu Zahigkeitskraften verstanden werden bzw das Verhaltnis von spezifischer Impulskonvektion zu Impulsdiffusion im System Das Stromungsverhalten geometrisch ahnlicher Korper ist bei gleicher Reynolds Zahl ahnlich Diese Eigenschaft ermoglicht es realitatsnahe Versuche mit einem verkleinerten Modell im Wind oder Wasserkanal durchzufuhren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Herleitung 2 Anwendungen 2 1 Rohrstromung 2 2 Flugobjekte 2 3 Gerinnestromung 2 4 Ruhrerstromung 3 Hinweise 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Reynolds Zahl ist definiert als R e r 0 V L h V L n displaystyle mathit Re frac rho 0 V L eta frac V L nu nbsp Dabei ist r 0 displaystyle rho 0 nbsp die Dichte des Fluids V displaystyle V nbsp die Stromungsgeschwindigkeit des Fluids gegenuber dem Korper und L displaystyle L nbsp eine charakteristische Lange des Korpers Die kinematische Viskositat n displaystyle nu nbsp des Fluids ist deren durch die Dichte r 0 displaystyle rho 0 nbsp dividierte dynamische Viskositat h displaystyle eta nbsp n h r 0 displaystyle nu eta rho 0 nbsp Die charakteristische Lange auch Bezugslange genannt wird fur die jeweilige Problemstellung definiert Bei Stromungskorpern wird ublicherweise die Lange des Korpers in Stromungsrichtung gewahlt Bei Widerstandskorpern wird meist die Breite oder Hohe quer zur Stromungsrichtung bei Rohrstromungen der Radius oder Durchmesser des Rohres und bei Gerinnen die Tiefe oder die Breite an der Gerinne Oberflache als charakteristische Lange genommen Herleitung Bearbeiten In der inkompressiblen Navier Stokes Gleichung wird die Geschwindigkeit u displaystyle mathbf u nbsp mit V displaystyle V nbsp dimensionslos gemacht die raumlichen Ableitungen displaystyle nabla nbsp mit L displaystyle L nbsp und folglich die zeitliche Ableitung mit V L displaystyle V L nbsp und der Druck mit V 2 r 0 displaystyle V 2 rho 0 nbsp Damit wird aus der dimensionsbehafteten Gleichung u t u u n 2 u p r 0 displaystyle frac partial mathbf u partial t mathbf u cdot nabla mathbf u nu nabla 2 mathbf u nabla frac p rho 0 nbsp die dimensionslose Form u t u u 1 R e 2 u p displaystyle frac partial mathbf u partial t mathbf u cdot nabla mathbf u frac 1 mathit Re nabla 2 mathbf u nabla p nbsp Alternativ im allgemeinen Fall konnen dimensionslose Kennzahlen uber das Buckinghamsche P Theorem gebildet werden Anwendungen BearbeitenRohrstromung Bearbeiten Uberschreitet die Reynolds Zahl einen problemabhangigen kritischen Wert R e k r i t displaystyle mathit Re mathrm krit nbsp wird eine bis dahin laminare Stromung anfallig gegen kleine Storungen Entsprechend ist fur R e gt R e k r i t displaystyle mathit Re gt mathit Re mathrm krit nbsp mit einem Umschlag von laminarer in turbulente Stromung zu rechnen Fur die Rohrstromung wurde dies erstmals von Osborne Reynolds beschrieben 1 Bei Rohrstromungen werden als charakteristische Grossen ublicherweise der Innendurchmesser L d displaystyle L d nbsp der Betrag der uber den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit v v m displaystyle v v mathrm m nbsp und die Viskositat des Fluids n displaystyle nu nbsp verwendet R e v m d n displaystyle mathit Re frac v mathrm m cdot d nu nbsp In der Literatur wird haufig ein Wert von R e k r i t 2300 displaystyle mathit Re mathrm krit 2300 nbsp zitiert Er geht auf Messungen von Julius Rotta zuruck 2 Die kritische Reynolds Zahl R e k r i t displaystyle mathit Re mathrm krit nbsp charakterisiert nicht exakt den Ubergang von einer laminaren zu einer turbulenten Stromung Vielmehr zerfallen Turbulenzen unterhalb der kritischen Reynolds Zahl und zwar umso schneller je kleiner die Reynolds Zahl ist Es ist in Experimenten gelungen laminare Rohrstromungen mit Reynolds Zahlen um 50 000 zu erzeugen ohne dass die Stromung turbulent geworden ist 3 Der Rekord liegt derzeit bei Re 100 000 4 Wenn Storungen den Umschlag in eine turbulente Stromung erzeugen bleibt die Stromung bei uberkritischer Reynolds Zahl turbulent Die kritische Reynolds Zahl R e k r i t displaystyle mathit Re mathrm krit nbsp die den Ubergang zwischen turbulenter und laminarer Stromung markiert ist nicht nur abhangig von der Geometrie des Anwendungsfalles sondern auch von der Wahl der charakteristischen Lange Wird zum Beispiel der Rohrradius statt des Durchmessers der Stromung als charakteristisches Langenmass einer Rohrstromung gewahlt halbiert sich der Zahlenwert R e k r i t displaystyle mathit Re mathrm krit nbsp der dasselbe aussagt Da die kritische Reynolds Zahl ein Wert ist der keine scharfe Grenze sondern einen breiten Ubergangsbereich der Stromungsverhaltnisse markiert ist der ublicherweise verwendete Zahlenwert nicht 2300 2 1150 displaystyle frac 2300 2 1150 nbsp sondern wird auf R e k r i t 1200 displaystyle mathit Re mathrm krit approx 1200 nbsp gerundet Flugobjekte Bearbeiten Die Reynolds Zahl ist eine wichtige Grosse innerhalb der Ahnlichkeitstheorie Will man zum Beispiel ein verkleinertes Modell eines Flugzeuges in einem Windkanal untersuchen so muss der Wert der Reynolds Zahl von Original und Modell gleich sein um ein ahnliches Stromungsfeld zu erhalten Entsprechend muss bei einem um einen Faktor f displaystyle f nbsp verkleinerten Modell das Verhaltnis v n displaystyle tfrac v nu nbsp um den Faktor f displaystyle f nbsp erhoht werden nbsp Geschwindigkeiten und Reynolds Zahlen einiger FlugobjekteDas Diagramm rechts vergleicht Geschwindigkeiten und zugehorige Reynolds Zahlen der Stromungen um einige Flugobjekte Beispielsweise sind die Reynolds Zahlen von Luftschiffen hoher als die von Flugzeugen Sie bewegen sich zwar mit geringerer Geschwindigkeit sind aber deutlich grosser Damit in einem skalierten Modellversuch die gleichen Ergebnisse erhalten werden mussen ggf auch weitere dimensionslose Kennzahlen die in den entdimensionalisierten Stromungsgleichungen auftreten gleich bleiben Wenn beispielsweise bei hohen Fluggeschwindigkeiten Anderungen in der Dichte relevant werden andert sich die auch Machzahl Wenn im Versuch diese Anderung nicht berucksichtigt wird kann es zu abweichenden Ergebnissen kommen Bei der Auslegung von Windkraftanlagen spielt die Reynolds Zahl ebenfalls eine Rolle Durch sie lasst sich der Stromungsabriss an deren Flugeln bestimmen und somit die Anlage fur gewunschte Windgeschwindigkeiten auslegen Gerinnestromung Bearbeiten Bei Gerinnestromungen werden als charakteristische Grossen der hydraulische Durchmesser d h displaystyle d mathrm h nbsp der Betrag der mittleren Fliessgeschwindigkeit uber den durchflossenen Querschnitt v m displaystyle v mathrm m nbsp und die Viskositat des Fluids n displaystyle nu nbsp verwendet 5 R e v m d h n displaystyle Re frac v mathrm m d mathrm h nu nbsp Ruhrerstromung Bearbeiten Bei einem Ruhrer wird die Reynolds Zahl durch den Durchmesser D displaystyle D nbsp des Ruhrers dessen Drehzahl N displaystyle N nbsp in 1 s sowie die Dichte r displaystyle rho nbsp und die dynamische Viskositat h displaystyle eta nbsp der Flussigkeit bestimmt 6 R e r N D 2 h displaystyle mathit Re frac rho N D 2 eta nbsp Bei R e gt 10 000 displaystyle mathit Re gt 10 000 nbsp gilt die Stromung am Ruhrer als turbulent Hinweise BearbeitenIn idealen Flussigkeiten gibt es keine Viskositat und die Reynolds Zahl ist unendlich In der Magnetohydrodynamik wird die magnetische Reynolds Zahl definiert Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Reynolds number Sammlung von Bildern und Videos Rechner zur naherungsweisen Berechnung der Reynolds ZahlEinzelnachweise Bearbeiten O Reynolds Philosophical Transactions of the Royal society of London 1883 Julius Rotta Experimenteller Beitrag zur Entstehung turbulenter Stromung im Rohr In Ingenieur Archiv Band 24 1956 S 258 281 Springer Verlag Link PDF 2086 kB Heinz Schade Ewald Kunz Stromungslehre 2 Aufl Berlin New York de Gruyter 1989 ISBN 3 11 011873 4 S 100 Bergmann Schaefer Bd 1 Mechanik Akustik Warme De Gruyter Berlin New York 2008 Robert Freimann Hydraulik fur Bauingenieure Grundlagen und Anwendungen Carl Hanser Verlag Munchen 2009 ISBN 978 3 446 41054 1 S 41 Marko Zlokarnik Scale up Modellubertragung in der Verfahrenstechnik 2 Auflage WILEY VCH Weinheim 2005 ISBN 3 527 31422 9 S 20 Normdaten Sachbegriff GND 4177959 9 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Reynolds Zahl amp oldid 239031073