In der Mathematik sind die Polygammafunktionen ps n z displaystyle psi n z eine Reihe spezieller Funktionen die als die Ableitungen der Funktion ln G z displaystyle ln Gamma z definiert sind Dabei bezeichnet G z displaystyle Gamma z die Gammafunktion und ln displaystyle ln den naturlichen Logarithmus Die ersten Polygammafunktionen im Reellen m 0 m 1 m 2 m 3 m 4Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt Darstellung der ersten funf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene ln G z displaystyle ln Gamma z ps 0 z displaystyle psi 0 z ps 1 z displaystyle psi 1 z ps 2 z displaystyle psi 2 z ps 3 z displaystyle psi 3 z ps 4 z displaystyle psi 4 z Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Definition und weitere Darstellungen 3 Eigenschaften 3 1 Differenzengleichungen 3 2 Reflexionsformel 3 3 Multiplikationsformel 3 4 Reihendarstellungen 3 5 Spezielle Werte 4 Verallgemeinerte Polygammafunktion 5 q Polygammafunktion 6 Literatur 7 EinzelnachweiseNotation BearbeitenDie Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi ps displaystyle psi nbsp gekennzeichnet Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt sie wird als Digammafunktion ps z displaystyle psi z nbsp bezeichnet Die zweite Polygammafunktion also die Trigammafunktion hat das Symbol ps 1 displaystyle psi 1 nbsp oder seltener ps 1 displaystyle psi 1 nbsp und ist die zweite Ableitung von ln G z displaystyle ln Gamma z nbsp Allgemein wird die n displaystyle n nbsp te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung n displaystyle n nbsp mit ps n displaystyle psi n nbsp oder ps n displaystyle psi n nbsp bezeichnet und als die n 1 displaystyle n 1 nbsp te Ableitung von ln G x displaystyle ln Gamma x nbsp definiert Definition und weitere Darstellungen BearbeitenEs ist ps m z d m 1 d z m 1 ln G z d m d z m ps z displaystyle psi m z frac mathrm d m 1 mathrm d z m 1 ln Gamma z frac mathrm d m mathrm d z m psi z nbsp mit der Digammafunktion ps z displaystyle psi z nbsp Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von G displaystyle Gamma cdot nbsp bezeichnet Eine Integraldarstellung ist ps m z 1 m 1 0 t m e z t 1 e t d t displaystyle psi m z 1 m 1 int limits 0 infty frac t m mathrm e zt 1 mathrm e t mathrm d t nbsp fur R e z gt 0 displaystyle rm Re z gt 0 nbsp und m gt 0 displaystyle m gt 0 nbsp Eigenschaften BearbeitenDifferenzengleichungen Bearbeiten Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen ps m z 1 ps m z 1 m m z m 1 displaystyle psi m z 1 psi m z 1 m m z m 1 nbsp Reflexionsformel Bearbeiten Eine weitere wichtige Beziehung lautet 1 m ps m 1 z ps m z p d m d z m cot p z displaystyle 1 m psi m 1 z psi m z pi frac mathrm d m mathrm d z m cot pi z nbsp Multiplikationsformel Bearbeiten Die Multiplikationsformel ist fur m gt 0 displaystyle m gt 0 nbsp gegeben durch k 0 n 1 ps m z k n n m 1 ps m z displaystyle sum k 0 n 1 psi m left frac z k n right n m 1 psi m z nbsp Zum Fall m 0 displaystyle m 0 nbsp also der Digammafunktion siehe dort Reihendarstellungen Bearbeiten Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet ps m z 1 m 1 m k 0 1 z k m 1 displaystyle psi m z 1 m 1 m sum k 0 infty frac 1 z k m 1 nbsp wobei m gt 0 displaystyle m gt 0 nbsp und z 1 2 3 displaystyle z not 1 2 3 ldots nbsp eine beliebige komplexe Zahl ausser den negativen ganzen Zahlen ist Die Formel lasst sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion z x y displaystyle zeta x y nbsp schreiben als ps m z 1 m 1 m z m 1 z displaystyle psi m z 1 m 1 m zeta m 1 z nbsp Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige nicht ganze Ordnungen m displaystyle m nbsp ist weiter unten angegeben Eine weitere Reihendarstellung ist ps m z g d m 0 1 m m z m 1 k 1 1 k d m 0 1 m m z k m 1 displaystyle psi m z gamma delta m 0 frac 1 m m z m 1 sum k 1 infty left frac 1 k delta m 0 frac 1 m m z k m 1 right nbsp wobei d n 0 displaystyle delta n 0 nbsp das Kronecker Delta bezeichnet die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstrassschen Produktsatz folgt Die Taylor Reihe um z 1 displaystyle z 1 nbsp ist gegeben durch ps m z 1 k 0 1 m k 1 m k z m k 1 z k k displaystyle psi m z 1 sum k 0 infty 1 m k 1 m k zeta m k 1 frac z k k nbsp die fur z lt 1 displaystyle z lt 1 nbsp konvergiert z displaystyle zeta nbsp bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion Spezielle Werte Bearbeiten Die Werte der Polygammafunktionen fur rationale Argumente lassen sich meist ausdrucken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie p displaystyle pi nbsp Quadratwurzel Clausen Funktion C l x displaystyle mathrm Cl x nbsp riemannsche z Funktion catalansche Konstante G displaystyle G nbsp sowie dirichletsche b Funktion z B ps m 1 2 1 m 1 m 2 m 1 1 z m 1 m N displaystyle psi m tfrac 1 2 1 m 1 m 2 m 1 1 zeta m 1 qquad m in mathbb N nbsp Allgemein gilt ferner ps m 1 1 m 1 m z m 1 m N displaystyle psi m 1 1 m 1 m zeta m 1 qquad m in mathbb N nbsp Die m te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedruckt werden d m d x m tan x ps m 1 2 x p 1 m ps m 1 2 x p p m 1 displaystyle frac mathrm d m mathrm d x m tan x frac psi m tfrac 1 2 tfrac x pi 1 m psi m tfrac 1 2 tfrac x pi pi m 1 nbsp Daruber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nutzlich erwiesen zum Beispiel gilt n 0 1 n 2 n 1 4 1 768 ps 3 1 4 8 p 2 displaystyle sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 4 frac 1 768 left psi 3 left tfrac 1 4 right 8 pi 2 right nbsp Verallgemeinerte Polygammafunktion BearbeitenEspinosa und Moll haben 2003 eine verallgemeinerte Polygammafunktion ps s z displaystyle psi s z nbsp eingefuhrt die nun sogar fur alle komplexen Werte s displaystyle s nbsp definiert ist 1 Diese hat fur s 0 1 2 displaystyle s neq 0 1 2 dotsc nbsp die allgemeine Taylor Entwicklung ps s 1 z n 0 1 G s n z s n 1 k 1 1 k 1 k s n 1 z s n 1 z n n displaystyle psi s 1 z sum n 0 infty frac 1 Gamma s n left zeta s n 1 left sum k 1 infty frac 1 k frac 1 k s n 1 right zeta s n 1 right frac z n n nbsp gultig im Bereich z lt 1 displaystyle z lt 1 nbsp 2 Diese Verallgemeinerung nutzt jedoch nicht fraktionale Infinitesimalrechnung Ein solcher Ansatz wurde von Grossman gewahlt 3 Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfullt fur s C displaystyle s in mathbb C nbsp und z C N 0 displaystyle z in mathbb C setminus mathbb N 0 nbsp die Funktionalgleichung ps s z 1 ps s z ln z ps s g G s z s 1 displaystyle psi s z 1 psi s z frac ln z psi s gamma Gamma s z s 1 nbsp wobei g displaystyle gamma nbsp die Euler Mascheroni Konstante bezeichnet Wegen ps m G n 1 n 1 n displaystyle frac psi m Gamma n 1 n 1 n nbsp fur ganzzahlige m n 0 displaystyle m n geq 0 nbsp ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung fur naturliche n displaystyle n nbsp eingeschlossen Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen z displaystyle zeta nbsp Funktion erhalt man dann die Beziehung ps s z 1 G s s ps s g z s 1 z e g s s e g s z s 1 z G s displaystyle psi s z frac 1 Gamma s left frac partial partial s psi s gamma right zeta s 1 z mathrm e gamma s frac partial partial s left mathrm e gamma s frac zeta s 1 z Gamma s right nbsp welche die Funktionalgleichung erfullt 4 Als Konsequenz daraus lasst sich die Verdopplungsformel ps s z 2 ps s z 1 2 2 s 1 ps s z 2 s 1 ln 2 G s z s 1 z displaystyle psi s left frac z 2 right psi s left frac z 1 2 right 2 s 1 psi s z frac 2 s 1 ln 2 Gamma s zeta s 1 z nbsp herleiten Eine Verallgemeinerung davon lautet ps s z n s 1 k 0 n 1 ps s z k n ln n G s z s 1 z displaystyle psi s z n s 1 sum limits k 0 n 1 psi s left frac z k n right frac ln n Gamma s zeta s 1 z nbsp die ein Aquivalent zur Gaussschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall fur s N displaystyle s in mathbb N nbsp enthalt q Polygammafunktion BearbeitenDie q displaystyle q nbsp Polygammafunktion ist definiert durch 5 ps n q z n ps q z z n displaystyle psi n q z frac partial n psi q z partial z n nbsp Literatur BearbeitenMilton Abramowitz und Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions 1964 Dover Publications New York ISBN 978 0 486 61272 0 Siehe 6 4 Eric W Weisstein Polygamma Function auf MathWorld in functions wolfram com in references worlfram com Einzelnachweise Bearbeiten O Espinosa V H Moll A generalized polygamma function arXiv O Espinosa V H Moll A generalized polygamma function arXiv S 6 7 N Grossman Polygamma functions of arbitrary order SIAM J Math Anal 7 1976 366 372 Oliver Espinosa and Victor H Moll A Generalized Polygamma Function auf arXiv org e Print archive 2003 Eric W Weisstein q Polygamma Function In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polygammafunktion amp oldid 230153467
