Die catalansche Konstante ublicherweise mit G displaystyle G bezeichnet ist eine mathematische Konstante Sie ist der Wert der Reihe n 0 1 n 2 n 1 2 1 1 3 2 1 5 2 1 7 2 displaystyle sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 2 1 frac 1 3 2 frac 1 5 2 frac 1 7 2 cdots also der Wert b 2 displaystyle beta 2 der dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2 Die Konstante ist nach Eugene Catalan benannt Ihre Irrationalitat wird vermutet ist aber bis heute unbewiesen Bekannt ist dass unendlich viele der Zahlen b 2 k k 1 2 3 displaystyle beta 2k k 1 2 3 ldots irrational sein mussen dabei mindestens eine von b 2 b 4 b 6 b 8 b 10 b 12 displaystyle beta 2 beta 4 beta 6 beta 8 beta 10 beta 12 und b 14 displaystyle beta 14 1 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte und Bezeichnung 2 Wert 3 Weitere Darstellungen 3 1 Integraldarstellungen 3 2 Reihendarstellungen 3 3 BBP artige Reihen 4 Literatur 5 Einzelnachweise 6 WeblinksGeschichte und Bezeichnung BearbeitenCatalan bezeichnete diese Konstante in einer Arbeit von 1867 mit G displaystyle G nbsp und gab zahlreiche Integral und Reihendarstellungen dafur an Wert BearbeitenEin Naherungswert ist G 0 91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411 07741 49374 28167 displaystyle G 0 91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411 07741 49374 28167 dots nbsp Folge A006752 in OEIS Derzeit 5 Juli 2022 sind nach einer Berechnung von Seungmin Kim vom 9 Marz 2022 1 200 000 000 100 Nachkommastellen bekannt Diese Berechnung dauerte auf einem Cluster mit 24 Prozessoren und ca 440 GB Arbeitsspeicher knapp 49 Tage 2 Weitere Darstellungen BearbeitenEs gibt eine reichhaltige Fulle anderer Darstellungen ein Bruchteil davon wird im Folgenden wiedergegeben Integraldarstellungen Bearbeiten Integrale von Logarithmen und Arkusfunktionen G 0 1 ln x x 2 1 d x displaystyle G int 0 1 frac ln x x 2 1 rm d x nbsp G 0 1 arctan x x d x displaystyle G int 0 1 frac arctan x x rm d x nbsp G 0 1 0 1 1 1 x 2 y 2 d x d y displaystyle G int 0 1 int 0 1 frac 1 1 x 2 y 2 rm d x rm d y nbsp G 1 2 0 arctan x x x 2 1 d x displaystyle G frac 1 2 int 0 infty frac arctan x x sqrt x 2 1 mathrm d x nbsp G 1 2 0 1 arcsin x x 1 x 2 d x displaystyle G frac 1 2 int 0 1 frac arcsin x x sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp G 0 1 1 2 x 4 arcsin 1 2 2 x arcsin x d x displaystyle G int 0 1 frac 1 2x bigl 4 arcsin bigl frac 1 2 sqrt 2 x bigr arcsin x bigr mathrm d x nbsp G 0 3 ln x 2 x 1 4 x 2 1 d x p 4 arcosh 2 displaystyle G int 0 infty frac 3 ln x 2 x 1 4 x 2 1 mathrm d x frac pi 4 operatorname arcosh 2 nbsp Integrale mit Hyperbelfunktionen G 0 x 2 sech x d x displaystyle G int 0 infty frac x 2 operatorname sech x mathrm d x nbsp G 1 2 0 x x 2 1 2 csch p 2 x d x displaystyle G frac 1 2 int 0 infty frac x x 2 1 2 operatorname csch bigl frac pi 2 x bigr mathrm d x nbsp G 0 p 4 x tanh x sech x d x displaystyle G int 0 infty frac pi 4x tanh x operatorname sech x mathrm d x nbsp Integrale von Kehrwerten der Areafunktionen G 0 1 p x 2 x 2 1 2 artanh x d x displaystyle G int 0 1 frac pi x 2 x 2 1 2 operatorname artanh x mathrm d x nbsp G 0 1 p x 4 1 x 2 1 2 artanh x d x displaystyle G int 0 1 frac pi x 4 1 x 2 1 2 operatorname artanh x mathrm d x nbsp G 0 p x 4 x 2 1 3 2 arsinh x d x displaystyle G int 0 infty frac pi x 4 x 2 1 3 2 operatorname arsinh x mathrm d x nbsp Integrale von elliptischen Integralen G 1 2 0 1 K x d x displaystyle G frac 1 2 int 0 1 K x mathrm d x nbsp G 0 1 E x d x 1 2 displaystyle G int 0 1 E x mathrm d x frac 1 2 nbsp Dabei ist K das vollstandige elliptische Integral erster Art und E das vollstandige elliptische Integral zweiter Art Reihendarstellungen Bearbeiten Die Taylorsche Reihenentwicklung vom vollstandigen elliptischen Integral erster Art K ergibt diese Summe G p 4 n 0 C B C n 2 16 n 2 n 1 displaystyle G frac pi 4 sum n 0 infty frac mathrm CBC n 2 16 n 2n 1 nbsp Dabei wird mit dem Kurzel C B C n 2 n n 2 displaystyle mathrm CBC n 2n div n 2 nbsp der Zentralbinomialkoeffizient reprasentiert Nach S Ramanujan gilt G p 8 ln 2 3 3 8 n 0 1 2 n 1 2 C B C n displaystyle G frac pi 8 ln left 2 sqrt 3 right frac 3 8 sum n 0 infty frac 1 2n 1 2 mathrm CBC n nbsp Eine andere Reihe enthalt die Riemannsche Zetafunktion G 1 16 n 1 n 1 3 n 1 4 n z n 2 displaystyle G frac 1 16 sum n 1 infty n 1 frac 3 n 1 4 n zeta n 2 nbsp Sehr schnell konvergiert folgende Summe Alexandru Lupas 2000 3 4 G 1 64 n 1 1 n 1 2 8 n 40 n 2 24 n 3 2 n 3 n 2 n 3 2 n 1 4 n 2 1 64 n 1 1 n 1 2 8 n 40 n 2 24 n 3 n 3 2 n 1 C B C n C B C 2 n 2 displaystyle G frac 1 64 sum n 1 infty frac 1 n 1 cdot 2 8n cdot 40n 2 24n 3 cdot 2n 3 cdot n 2 n 3 cdot 2n 1 cdot 4n 2 frac 1 64 sum n 1 infty frac 1 n 1 cdot 2 8n cdot 40n 2 24n 3 n 3 cdot 2n 1 cdot mathrm CBC n cdot mathrm CBC 2n 2 nbsp Nach Jesus Guillera gelten folgende Reihen welche schneller konvergieren als die Reihe von Lupas 4 5 6 G 1 2 k 0 8 k 3 k 2 2 k 1 3 2 k k 3 displaystyle G frac 1 2 sum k 0 infty frac 8 k 3k 2 2k 1 3 binom 2k k 3 nbsp G 1 1024 k 1 4096 k 45136 k 4 57184 k 3 21240 k 2 3160 k 165 k 3 2 k 1 3 2 k 6 3 k 3 k 3 6 k 3 displaystyle G frac 1 1024 sum k 1 infty frac 4096 k left 45136k 4 57184k 3 21240k 2 3160k 165 right k 3 2k 1 3 left frac 2k 6 3k 3 k 3 6k 3 right nbsp Nach Pilehrood gelten folgende Reihen welche ebenfalls schneller konvergieren als die Reihe von Lupas 4 7 G 1 64 k 1 256 k 580 k 2 184 k 15 k 3 2 k 1 6 k 3 k 6 k 4 k 4 k 2 k displaystyle G frac 1 64 sum k 1 infty frac 256 k left 580k 2 184k 15 right k 3 2k 1 binom 6k 3k binom 6k 4k binom 4k 2k nbsp G 1 64 k 1 256 k 419840 k 6 915456 k 5 782848 k 4 332800 k 3 73256 k 2 7800 k 315 k 3 2 k 1 4 k 1 2 4 k 3 2 8 k 4 k 2 2 k k displaystyle G frac 1 64 sum k 1 infty frac 256 k left 419840k 6 915456k 5 782848k 4 332800k 3 73256k 2 7800k 315 right k 3 2k 1 4k 1 2 4k 3 2 binom 8k 4k 2 binom 2k k nbsp BBP artige Reihen Bearbeiten Man hat lange nach einer BBP Reihe gesucht Zunachst wurden nur sehr lange Exemplare gefunden Relativ kurz ist die 9 gliedrige von Victor Adamchik 2007 G 3 64 n 0 1 n 64 n 32 12 n 1 2 32 12 n 2 2 32 12 n 3 2 8 12 n 5 2 16 12 n 6 2 4 12 n 7 2 4 12 n 9 2 2 12 n 10 2 1 12 n 11 2 displaystyle textstyle G frac 3 64 sum limits n 0 infty frac 1 n 64 n left frac 32 12n 1 2 frac 32 12n 2 2 frac 32 12n 3 2 frac 8 12n 5 2 frac 16 12n 6 2 frac 4 12n 7 2 frac 4 12n 9 2 frac 2 12n 10 2 frac 1 12n 11 2 right nbsp Literatur BearbeitenE Catalan Memoire sur la transformation des series et sur quelques integrales definies 1 April 1865 Memoires couronnes et memoires des savants etrangers 33 1867 S 1 50 franzosisch G 0 915 965 594 177 21 auf S 30 im Internet Archiv 1 L A Ljusternik Mathematical Analysis Functions Limits Reihes Continued Fractions 1965 S 313 314 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Tanguy Rivoal Wadim Zudilin Diophantine properties of numbers related to Catalan s constant Memento vom 13 Januar 2011 imInternet Archive PDF Datei 207 kB Mathematische Annalen 326 August 2003 S 705 721 englisch Alexander Yee Records set by y cruncher 9 Juni 2022 abgerufen am 5 Juli 2022 englisch Alexandru Lupas Formulae for some classical constants Memento vom 16 April 2008 imInternet Archive PDF Datei 169 kB Preprint 2000 in Heiner Gonska et al Hrsg Proceedings of the 4th Romanian German seminar on approximation theory and its applications Brasov Romania July 3 5 2000 Schriftenreihe des Fachbereichs Mathematik der Gerhard Mercator Universitat Duisburg SM DU 485 2000 S 70 76 a b c Alexander J Yee Formulas and Algorithms Abgerufen am 15 Marz 2020 englisch Jesus Guillera a new formula for computing the Catalan constant Abgerufen am 15 Marz 2020 englisch Jesus Guillera Hypergeometric Identities for 10 extended Ramanujan type series arxiv 1104 0396v1 Khodabakhsh Hessami Pilehrood Tatiana Hessami Pilehrood Series acceleration formulas for beta values In Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Band 12 Nr 2 2010 S 223 236 inria fr Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Catalan s Constant In MathWorld englisch Catalan constant bei The Wolfram Functions Site englisch mit Berechnungsmoglichkeit Folge A014538 in OEIS Kettenbruchentwicklung von G Folge A054543 in OEIS Engel Entwicklung von G Folge A132201 in OEIS Pierce Entwicklung von G Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Catalansche Konstante amp oldid 239293379
