Mathematische Konstante

Dieser Artikel beschreibt spezielle Zahlen mit besonderer Bedeutung in der Mathematik. Siehe Konstante (Logik) und Konstante Funktion für andere Bedeutungen von „Konstante“ in der Mathematik.

Eine mathematische Konstante ist eine wohldefinierte, reelle, nicht-ganzzahlige Zahl, die in der Mathematik von besonderem Interesse ist. Anders als physikalische Konstanten werden mathematische Konstanten unabhängig von jedem physikalischen Maß definiert und sind demnach einheitenlos. Viele spezielle Zahlen haben eine besondere Bedeutung in der Mathematik und treten in vielen unterschiedlichen Kontexten auf. Beispielsweise gibt es auf den reellen oder komplexen Zahlen genau eine differenzierbare Funktion mit und . Daraus abgeleitet wird die mathematische Konstante definiert. Auf den komplexen Zahlen ist eine periodische Funktion, und ihre Periodenlänge ist eine weitere mathematische Konstante: . Mathematische Konstanten lassen sich in vielen Fällen numerisch beliebig genau berechnen. Jedoch gibt es auch einige mathematische Konstanten, für die nur sehr grobe Näherungen bekannt sind, wie zum Beispiel die Brunsche Konstante

Mathematische Konstanten werden in unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik untersucht. Von den meisten mathematischen Konstanten ist trotz großer Anstrengungen ungeklärt, ob sie rational, irrational-algebraisch oder transzendent sind. Eine besonders einfache Klasse bilden die polylogarithmischen Konstanten, zu denen die Logarithmen und die Werte der Riemannschen Zetafunktion an den positiven ganzzahligen Argumentstellen gehören. Für einen Teil dieser Klasse sind BBP-Reihen bekannt.

Einige wichtige mathematische Konstanten

Symbol	Dezimaldarstellung (OEIS-Link)	Name und Formel	Zahlentyp	Erstmals beschrieben	Zahl bekannter Dezimalstellen	Beschreibung
	= 3,14159 26535 89793 23846 … (A000796)	Kreiszahl, Pi, Archimedes-Konstante, ludolphsche Zahl	transzendent berechenbar	2000 v. Chr.	50·10^12	Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises.
	= 1,41421 35623 73095 04880 … (A002193)	Quadratwurzel von 2, Konstante von Pythagoras	irrational algebraisch	800 v. Chr.	10^13	Verhältnis der Diagonalen zur Kantenlänge eines Quadrates; positive Lösung von
	= 1,73205 08075 68877 29352 … (A002194)	Quadratwurzel von 3, Konstante von Theodorus	irrational algebraisch	800 v. Chr.	2·10^12	Verhältnis der räumlichen Diagonalen zur Kantenlänge eines Würfels; positive Lösung von
	= 1,61803 39887 49894 84820 … (A001622)	Goldener Schnitt:	irrational algebraisch	250 v. Chr.	10·10^12	Größenverhältnis, das vielfach näherungsweise in der belebten und unbelebten Natur auftritt – in einem mathematisch präzisierbaren Sinne besonders irrational; positive Lösung von
	= 2,71828 18284 59045 23536 … (A001113)	Eulersche Zahl:	transzendent berechenbar	1618 1683	12·10^12	Basis des natürlichen Logarithmus
	= 0,57721 56649 01532 86060 … (A001620)	Euler-Mascheroni-Konstante:	berechenbar	1734	6·10^11	Fläche zwischen der Hyperbel und der Treppe für
	= 1,20205 69031 59594 28539 … (A002117)	Apéry-Konstante:	irrational berechenbar	1735	12·10^11	Wert der riemannschen Zetafunktion an der Stelle 3; Kehrwert der asymptotischen Wahrscheinlichkeit, dass 3 zufällig gewählte natürliche Zahlen teilerfremd sind
	= 1,60669 51524 15291 76378 … (A065442)	Erdős-Borwein-Konstante:	irrational	1749	2000 (OEIS)	Summe der Kehrwerte aller Mersenne-Zahlen
	= 1,45136 92348 83381 05028 … (A070769)	Ramanujan-Soldner-Konstante	1792 1809	75.500	Nullstelle des Integrallogarithmus
	= 2,62205 75542 92119 81046 … (A062539)	Lemniskatische Konstante:	transzendent berechenbar	1798	6·10^11	Analogon zu π für die Lemniskate
	= 1,08366.	Legendre-Konstante	rational	1808	(5)	aus Legendres Abschätzung x / (ln x − 1,08366) der Anzahl der Primzahlen ≤ x; asymptotisch ist 1 korrekt
= 0,66274 34193 49181 58097 … (A033259)	Grenzwert von Laplace	1827	500	maximale Exzentrizität, für die die Laplace-Reihe zur Lösung der Kepler-Gleichung konvergiert
	= 0,91596 55941 77219 01505 … (A006752)	Catalansche Konstante:	berechenbar	1832 1864	6·10^11	Wert β(2) der Dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2
M1	= 0,26149 72128 47642 78375 … (A077761)	Meissel-Mertens-Konstante:	1866 1873	8010	Primzahl-Analogon zur Euler-Mascheroni-Konstante
A	= 1,28242 71291 00622 63687 … (A074962)	Glaisher-Kinkelin-Konstante:	1856 1878	20.000	tritt bei der Auswertung von Integralen und Reihensummen auf
C	= 0,64341 05462 88338 02618 … (A118227)	Cahen-Konstante: mit ,	transzendent berechenbar	1891	4000	transzendente Zahl mit einfachem Bildungsgesetz für die Teilnenner der Kettenbruchentwicklung
K	= 2,58498 17595 79253 21706 … (A062089)	Sierpiński-Konstante:	1907	5000 (OEIS)	tritt bei der Abschätzung von Summen über τ(n) ƒ(n) auf, wobei τ(n) die Anzahl der Paare (a,b) ganzer Zahlen mit a^2+b^2 = n ist
K	= 0,76422 36535 89220 66299 … (A064533)	Landau-Ramanujan-Konstante:	1908	125.079 (OEIS)	die Anzahl der Zahlen ≤ x, die Summe von zwei Quadratzahlen sind, ist ~ K x/√ln(x)
G	= 1,01494 16064 09653 62502 … (A143298)	Gieseking-Konstante:	1912	105 (OEIS)	maximales Volumen eines hyperbolischen Tetraeders
β	= 0,28016 94990 23869 13303 … (A073001)	Bernstein-Konstante	1913	50 (OEIS)	der Fehler der besten gleichförmigen Approximation von |x| auf [−1,1] durch Polynome von geradem Grad n ist ~ β/n
B2	= 1,90216 058… (A065421)	Brunsche Konstante:	1919	9 unter Hardy-Littlewood-Vermutung u. a.	Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge
Π2, C2	= 0,66016 18158 46869 57392 … (A005597)	Primzahlzwillingskonstante:	1922	5020	die Anzahl der Primzahlzwillinge ≤ x ist laut Hardy-Littlewood-Vermutung
𝔏	> 0,5 + 10^−335 ≤ 0,54325 89653 42976 70695 … (A081760)	Landau-Konstante	1929	1	Maximum, so dass für jede holomorphe Funktion ƒ mit ƒ ′(0) = 1 im Bild der Einheitskreisscheibe eine Kreisscheibe mit Radius 𝔏 liegt
λ, μ	= 0,62432 99885 43550 87099 … (A084945)	Golomb-Dickman-Konstante:	1930 1964	1659	asymptotische mittlere relative Länge des längsten Zykels einer Permutation
K0	= 2,68545 20010 65306 44530 … (A002210)	Chintschin-Konstante:	1934	110.000	fast überall das geometrische Mittel der Teilnenner der Kettenbruchentwicklung
m	= 1,18656 91104 15625 45282 … (A100199)	Chintschin-Lévy-Konstante:	1935	3,1026·10^10	fast überall der Grenzwert für n → ∞ von (ln qn)/n, wobei qn der Nenner des n-ten Näherungsbruchs ist
A, θ	= 1,30637 78838 63080 69046 … (A051021)	Mills-Konstante	1946	6850 unter Riemann-Hypothese	kleinste Zahl A > 0, so dass ⌊A^3ⁿ⌋ für jedes n = 1, 2, 3, … eine Primzahl ist
Λ	< 0,5	De-Bruijn-Newman-Konstante	1948 1976	0	Minimum, so dass eine bestimmte komplexe Funktion HΛ nur reelle Nullstellen hat; „Λ ≤ 0“ ist äquivalent zur Riemann-Hypothese
W	= 1,53960 07178 39002 03869 … (A118273)	Liebs Eiswürfelkonstante:	irrational algebraisch	1967	1,6·10^8	Restentropie von Eis ist N k ln W in einem exakt lösbaren 2D-Modell in der statistischen Physik
= 1,70521 11401 05367 76428 … (A033150)	Niven-Konstante:	1968	256	mittlerer maximaler Exponent der Primfaktorzerlegungen der Zahlen 1, 2, 3, …
λ	= 0,30366 30028 98732 65859 … (A038517)	Gauß-Kusmin-Wirsing-Konstante	1973	468	tritt bei der Beschreibung der Konvergenz der Zahlenverteilung in Kettenbruchentwicklungen auf
C	= 1,46707 80794 33975 47289 … (A086237)	Porter-Konstante:	1974	256	tritt in Formeln der asymptotischen mittleren Divisionsanzahl im Euklidischen Algorithmus auf
Ω	≈ 0,00787 49969 97812 3844 (A100264)	Chaitinsche Konstante	nicht-berechenbar	1975	(64 bit)	Wahrscheinlichkeit, mit der eine universelle Turingmaschine bei beliebiger Eingabe anhält
α	= 0,80939 40205 40639 13071 … (A085291)	Alladi-Grinstead-Konstante:	1977	102 (OEIS)	in n! als Produkt von n Primzahlpotenzen wächst der größtmögliche kleinste Faktor logarithmisch ~ α ln n
δ	= 4,66920 16091 02990 67185 … (A006890)	1. Feigenbaum-Konstante	1979	1019	Übergang ins Chaos: Bifurkationsgeschwindigkeit
α	= 2,50290 78750 95892 82228 … (A006891)	2. Feigenbaum-Konstante	1979	1019	Übergang ins Chaos: Reduktionsparameter
F	= 2,80777 02420 28519 36522 … (A058655)	Fransén-Robinson-Konstante:	1978	1025	Fläche zwischen der x-Achse und der Kurve 1/Γ(x) für x > 0
Λ	= 1,09868 58055 25187 01… (A086053)	Lengyel-Konstante	1984	18 (OEIS)	tritt bei der asymptotischen Analyse der Anzahl der Ketten vom kleinsten zum größten Element im Verband der Partitionen auf
σ	= 0,35323 63718 54995 98454 … (A085849)	Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante:	1993	40 (OEIS)	asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass die Determinanten von zwei Ganzzahl-Matrizen teilerfremd sind
B	= 1,45607 49485 82689 67139 … (A072508)	Backhouse-Konstante	1995	1300	−1/B ist die Nullstelle der Potenzreihe mit 1 und den Primzahlen als Koeffizienten
K	= 1,13198 82487 943… (A078416)	Viswanath-Konstante	1997	13 (OEIS)	Basis des asymptotisch exponentiellen Wachstums zufälliger Fibonacci-Folgen
β*	= 0,70258 … (A118288)	Embree-Trefethen-Konstante	1999	5 (OEIS)	Grenzkoeffizient verallgemeinerter zufälliger Fibonacci-Folgen

Siehe auch

• Liste besonderer Zahlen
• Smarandache-Konstanten
• Liste mathematischer Symbole

Literatur

• Steven R. Finch: Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Constants. In: MathWorld (englisch).
• Simon Plouffe: Plouffe’s inverter. (englisch) Eingabe eines Zahlenwerts und Suche nach der Konstanten
• Anne Veling: (Memento vom 14. Oktober 2007 im Internet Archive) (Herkunft der Symbole) 22. August 1997 (englisch)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Numbers, constants and computation. (englisch)
• Alexander J. Yee: numberworld.org (englisch)
• Shigeru Kondo: (Memento vom 18. August 2011 im Internet Archive) (englisch)

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Constant. In: MathWorld (englisch).
2. Ferdinand von Lindemann: Ueber die Zahl π. (April und Juni 1882). In: Mathematische Annalen, 20, 1882, S. 213–225, Textarchiv – Internet Archive
3. Timothy Mullican: Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record. 26. Juni 2019, abgerufen am 14. März 2020 (amerikanisches Englisch). 
4. Alexander J. Yee: Records Set by y-cruncher. numberworld.org, 9. August 2019 (englisch)
5. Square Root of 2. Bei: numberworld.org. 9. Januar 2017, abgerufen am 24. April 2018.
6. Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. In: Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences, 77, 1873, S. 18–24 74–79 226–233 285–293 (französisch)
7. Jakob I Bernoulli, 1683, laut John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: The number e. September 2001 (englisch)
8. Leonhard Euler: De progressionibus harmonicis observationes. (11. März 1734) In: Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, 7, 1740, S. 150–161 (lateinisch; „C=0,577218“ auf S. 157)
9. Roger Apéry: Irrationalité de ζ(2) et ζ(3). In: Astérisque, 61, 1979, S. 11–13 (französisch)
10. Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. (13. Oktober 1735). In: Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21)
11. Paul Erdős: On arithmetical properties of Lambert series (8. Juli 1948). In: The Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 63–66 (englisch)
12. Leonhard Euler: Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae. (19. Juni 1749 / 26. Januar 1750) In: Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 3, 1753, S. 86–108 (lateinisch; „s=1,606695152415291“ auf S. 108)
13. Lorenzo Mascheroni: Adnotationes ad calculum integralem Euleri / In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur / Pars altera. Petrus Galeatius, Ticini 1792 (lateinisch; „z=1,45137“ auf S. 17) Textarchiv – Internet Archive
14. Johann Georg Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante. Lindauer, München 1809, S. 42 (französisch) Textarchiv – Internet Archive
15. Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Constants and Records of Computation. 12. August 2010 (englisch)
16. Theodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale. (11. März 1936). In: Mathematische Annalen, 113, 1937, S. 1–13
17. Carl Friedrich Gauß, 1798
18. Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres. Duprat, Paris 1798,S. 19, Textarchiv – Internet Archive. 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394 (französisch)
19. Pierre-Simon Laplace: Traité de mécanique céleste (Band 5, Anhang). Bachelier, Paris 1827, S. 479 (französisch) Textarchiv – Internet Archive
    Félix Tisserand: Traité de mécanique céleste (Band 1). Gauthier-Villars, Paris 1889, S. 262 (französisch) Textarchiv – Internet Archive
20. (Memento vom 17. März 2011 im Internet Archive) bei Plouffe’s Inverter (englisch)
21. Th. Clausen: Über die Function (3. März 1832). In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 8, 1832, S. 298–300 („0,91596 55941 772190“ auf S. 300) Textarchiv – Internet Archive
22. E. Catalan: Mémoire sur la transformation des séries, et sur quelques intégrales définies. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences, 59, 1864, S. 618–620 (französisch; „0,915 965 594 177 21“ auf S. 620) Textarchiv – Internet Archive
23. Ernst Meissel, Notiz, Nachr. Provinzial-Gewerbeschule Iserlohn, 1866 (im Nachlass)
24. Franz Mertens: Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. (20. Juli 1873). In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 78, 1874, S. 46–62
25. Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856). In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 57, 1860, S. 122–138
26. J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics, 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A=1·28242 7130“ auf S. 43) Textarchiv – Internet Archive
27. (Memento vom 13. März 2011 im Internet Archive) beim Projekt mpmath (englisch)
28. J. Les Davison, Jeffrey Shallit: Continued fractions for some alternating series (17. Oktober 1990). In: Monatshefte für Mathematik, 111, 1991, S. 119–126 (englisch)
29. Eugène Cahen: Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues. In: Nouvelles Annales de Mathématiques, 10, 1891, S. 508–514 (französisch) Textarchiv – Internet Archive
30. (Memento vom 17. März 2011 im Internet Archive) bei Plouffe’s Inverter (englisch)
31. Wacław Sierpiński: O sumowaniu szeregu , gdzie τ(n) oznacza liczbę rozkładów liczby n na sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych (Über die Summierung der Reihe , wo τ(n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten bezeichnet). In: Prace matematyczno-fizyczne, 18, 1907, S. 1–59 (polnisch; „K=2,5849817596“ auf S. 27) Textarchiv – Internet Archive
32. Edmund Landau: Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate. (21. Juni 1908). In: Archiv der Mathematik und Physik, 13, 1908, S. 305–312, Textarchiv – Internet Archive
33. Hugo Gieseking: Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen. L. Wiegand, Hilchenbach 1912 (Inaugural-Dissertation an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster)
34. John W. Milnor: Hyperbolic geometry: The first 150 years. Bulletin of the AMS 6, 1982, S. 9–24 (englisch)
35. Serge Bernstein: (Memento vom 30. Januar 2012 im Internet Archive) (PDF; 2,2 MB; April 1913), Acta Mathematica 37, 1914, S. 1–57 (französisch)
36. Viggo Brun: La série ou les dénominateurs sont «nombres premiers jumeaux» est convergente ou finie. In: Bulletin des Sciences Mathématiques, 43, 1919, S. 100–104 124–128 (französisch)
37. G. H. Hardy, J. E. Littlewood: (Memento vom 30. Januar 2012 im Internet Archive) (PDF; 2,5 MB; Februar 1922). In: Acta Mathematica, 44, 1923, S. 1–70 (englisch)
38. Edmund Landau: Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten. (22. März 1929). In: Mathematische Zeitschrift, 30, Dezember 1929, S. 608–634 („“ auf S. 611, „“ auf S. 614)
39. Lars Ahlfors: An extension of Schwarz’s lemma. (1. April 1937). In: Transactions of the AMS, 43, Mai 1938, S. 359–364 (englisch; „L≥1/2“ auf S. 364)
40. Karl Dickman: On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude. In: Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, 22A, 1930, S. 1–14 (englisch)
41. Solomon W. Golomb: Random permutations. (8. Juni 1964). In: Bulletin of the AMS, 70, 1964, S. 747 (englisch; „λ=.62432965“)
42. David John Broadhurst: Titanic Golomb-Dickman prime. 2. April 2010 (englisch)
43. A. Khintchine: Metrische Kettenbruchprobleme. (29. März 1934). In: Compositio Mathematica, 1, 1935, S. 361–382 („2,6…“ auf S. 376)
44. Paul Lévy: Sur le développement en fraction continue d’un nombre choisi au hasard. (Juli 1935). In: Compositio Mathematica, 3, 1936, S. 286–303 (französisch)
45. Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Constants and Records of Computation. 23. März 2010 (englisch; berechnet wurden π und ln 2)
46. William H. Mills: A prime-representing function. (23. Dezember 1946). In: Bulletin of the AMS, 53, 1947, S. 604 (englisch)
47. Chris K. Caldwell, Yuanyou Cheng: Determining Mills’ Constant and a Note on Honaker’s Problem. (15. August 2005). In: Journal of Integer Sequences, 8, 2005, Nr. 05.4.1 (englisch)
48. Brad Rodgers, Terence Tao: The De Bruijn-Newman constant is non-negative. Preprint auf arxiv.
49. N. G. de Bruijn: The roots of trigonometric integrals. (PDF; 1,4 MB; 16. Juli 1948). In: Duke Mathematical Journal, 17, September 1950, S. 197–226 (englisch)
50. Charles M. Newman: Fourier transforms with only real zeros. (Januar/Mai 1976). In: Proceedings of the AMS, 61, Dezember 1976, S. 245–251 (englisch)
51. Elliott H. Lieb: The residual entropy of square ice (22. Mai 1967). In: Physical Review, 162, Oktober 1967, S. 162–172 (englisch)
52. Alexander J. Yee: Mathematical Constants - Millions of Digits. numberworld.org (englisch; berechnet wurde √3 = ⁹⁄₈ W)
53. Ivan Niven: Averages of exponents in factoring integers. (18. Juni 1968). In: Proceedings of the AMS, 22, 1969, S. 356–360 (englisch)
54. (Memento vom 17. März 2011 im Internet Archive) bei Plouffe’s Inverter (englisch)
55. Eduard Wirsing: On the theorem of Gauss-Kusmin-Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces. (PDF; 796 kB; 31. Januar 1973). In: Acta Arithmetica, 24, 1974, S. 507–528 (englisch; „λ = 0.3036630029 …“ auf S. 509)
56. J. W. Porter: On a theorem of Heilbronn (20. Dezember 1974). In: Mathematika, 22, Juni 1975, S. 20–28 (englisch)
57. (Memento vom 17. März 2011 im Internet Archive) bei Plouffe’s Inverter (englisch)
58. Gregory Chaitin: A theory of program size formally identical to information theory. (PDF; 249 kB; April/Dezember 1974). In: Journal of the ACM, 22, Juli 1975, S. 329–340 (englisch)
59. Krishnaswami Alladi, Charles Grinstead: On the decomposition of n! into prime powers. In: Journal of Number Theory, 9, November 1977, S. 452–458 (englisch)
60. Mitchell J. Feigenbaum: The universal metric properties of nonlinear transformations. (PDF; 1,39 MB; 29. Mai 1979). In: Journal of Statistical Physics, 21, Dezember 1979, S. 669–706 (englisch; „α = 2.502907876“ auf S. 703, „δ = 4.6692“ auf S. 704)
61. (Memento vom 17. März 2011 im Internet Archive) bei Plouffe’s Inverter, 22. März 1999 (englisch)
62. Arne Fransén: Accurate determination of the inverse gamma integral (25. Oktober 1978). In: BIT Numerical Mathematics, 19, März 1979, S. 137–138 (englisch)
63. Tamás Lengyel: On a recurrence involving Stirling numbers. In: European Journal of Combinatorics, 5, 1984, S. 313–321 (englisch)
64. James Lee Hafner, Peter Sarnak, Kevin McCurley: Relatively prime values of polynomials. (PDF; 174 kB) In: Marvin Knopp, Mark Sheingorn (Hrsg.): A tribute to Emil Grosswald: number theory and related analysis. In: AMS, Providence 1993, S. 437–443 (englisch)
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