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Apéry Konstante Die ist eine mathematische Konstante die als Wert der Reihe n 1 1 n 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 displaysty

Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe

definiert ist. Das ist der Wert der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3.

Grundlegendes Bearbeiten

Ein Näherungswert ist

Derzeit (Stand August 2020) sind 1.200.000.000.100 dezimale Nachkommastellen bekannt, ihre Berechnung wurde von Seungmin Kim am 26. Juli 2020 vollendet.

Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet. Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist. Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal ist oder ob irrational ist (mit Kreiszahl ). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen irrational sein, dabei mindestens eine von und .

Für das Irrationalitätsmaß , wobei die Menge der positiven reellen Zahlen ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen und mit existieren, sind die Schranken bekannt, insbesondere ist nicht liouvillesch.

Der Kehrwert (Folge A088453 in OEIS) ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit keine -te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.

Reihendarstellungen Bearbeiten

Apéry verwendete die Formel

Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist

mit den harmonischen Zahlen . Zahlreiche verwandte Formeln wie

führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.

Unter Anwendung der dirichletschen λ-Funktion und der dirichletschen η-Funktion erhält man aus die Darstellung

Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):

mit .

Nach Matyáš Lerch (1900):

Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:

Bei Max Koecher findet man folgende Reihendarstellung, durch die man beim Abbrechen an der Stelle    neun korrekte Dezimalstellen erhält:

Weitere Darstellungen Bearbeiten

Produktreihendarstellungen Bearbeiten

Eine Verbindung zu den Primzahlen ist

als Spezialfall des Euler-Produkts (Euler 1737).

Integraldarstellungen Bearbeiten

Für die Apéry-Konstante gibt auch einige Integraldarstellungen.

Die Werte der folgenden Integrale gehen direkt aus den betroffenen trilogarithmischen Stammfunktionen hervor:

Diese drei Integrale kommen durch die sogenannten Abel-Plana-Summenformeln zustande:

Folgende weiteren Integrale weisen ebenso Stammfunktionen auf, welche nicht als elementare Kombination der Polylogarithmen dargestellt werden können:

Funktionalidentitäten Bearbeiten

Die Apéry-Konstante kann auch mit der Dirichletschen Lambdafunktion und Etafunktion dargestellt werden:

Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:

Literatur Bearbeiten

  • Frits Beukers: A note on the irrationality of and . Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch).
  • Steven R. Finch: Apéry’s constant. Kapitel 1.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch).
  • Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston 1987, ISBN 3-7643-1824-4 (Kapitel II!).
  • Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report. The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch: Alf’s reprints. Paper 45, PDF; 205 kB).

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Beweis der Irrationalität von Zeta(3) nach Frits Beukers – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Records set by y-cruncher. Abgerufen am 12. August 2019.
  2. Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. 13. Oktober 1735, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21).
  3. Roger Apéry: Irrationalité de et . Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch).
  4. David H. Bailey, Richard E. Crandall: (Memento vom 13. Oktober 2003 im Internet Archive). (PDF; 399 kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch).
  5. Finch: Apéry’s constant. 2003, S. 41 (englisch).
  6. Tanguy Rivoal: La Fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; arxiv:math/0008051v1).
  7. W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch).
  8. Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3). Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch).
  9. M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM. MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch), ITEM 53 (Salamin).
  10. Walther Janous: Around Apéry’s constant. Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch).
  11. Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: (Memento vom 30. April 2011 im Internet Archive). The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch). arxiv:math/9804121v1
  12. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Im Project Gutenberg (englisch).
  13. Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).
  14. Simon Plouffe: Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2). April 2006 (englisch).
  15. Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser-Verlag, Basel / Boston 1987, S. 52.
  16. Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 25. April 1737, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174 f.).
  17. Abramowitz-Stegun: Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers. S. 807, Formel 23.2.17.

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Koecher nennt diese Reihendarstellung eine kuriose Formel.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Apery Konstante ist eine mathematische Konstante die als Wert der Reihe n 1 1 n 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 3 frac 1 1 3 frac 1 2 3 frac 1 3 3 frac 1 4 3 dotsb definiert ist Das ist der Wert z 3 displaystyle zeta 3 der riemannschen z Funktion an der Stelle 3 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegendes 2 Reihendarstellungen 3 Weitere Darstellungen 3 1 Produktreihendarstellungen 3 2 Integraldarstellungen 3 3 Funktionalidentitaten 4 Literatur 5 Weblinks 6 Einzelnachweise 7 AnmerkungenGrundlegendes BearbeitenEin Naherungswert ist z 3 1 202 05 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 34049 displaystyle zeta 3 1 20205 text 69031 text 59594 text 28539 text 97381 text 61511 text 44999 text 07649 text 86292 text 34049 text dotso nbsp Folge A002117 in OEIS Derzeit Stand August 2020 sind 1 200 000 000 100 dezimale Nachkommastellen bekannt ihre Berechnung wurde von Seungmin Kim am 26 Juli 2020 vollendet 1 Die Konstante wurde schon 1735 von Euler betrachtet 2 Sie ist nach Roger Apery benannt der 1979 bewies dass sie irrational ist 3 Ob sie auch transzendent ist ist bisher nicht bekannt auch nicht ob sie normal ist 4 oder ob z 3 p 3 displaystyle zeta 3 pi 3 nbsp irrational ist 5 mit Kreiszahl p displaystyle pi nbsp Uber die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden naturlichen Zahlen weiss man im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen wenig Es mussen unendlich viele der Zahlen z 2 n 1 n 1 2 3 displaystyle zeta 2n 1 n 1 2 3 dotsc nbsp irrational sein 6 dabei mindestens eine von z 5 z 7 z 9 displaystyle zeta 5 zeta 7 zeta 9 nbsp und z 11 displaystyle zeta 11 nbsp 7 Fur das Irrationalitatsmass r z inf R displaystyle operatorname r zeta inf R nbsp wobei R displaystyle R nbsp die Menge der positiven reellen Zahlen r displaystyle rho nbsp ist fur die hochstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp mit 0 lt z p q lt 1 q r displaystyle textstyle 0 lt mathopen zeta frac p q mathclose lt frac 1 q rho nbsp existieren sind die Schranken 2 r z 3 lt 5 513 891 displaystyle 2 leq r zeta 3 lt 5 513891 nbsp bekannt 8 insbesondere ist z 3 displaystyle zeta 3 nbsp nicht liouvillesch Der Kehrwert 1 z 3 0 831 90 73725 80707 46868 displaystyle tfrac 1 zeta 3 0 83190 73725 80707 46868 dotso nbsp Folge A088453 in OEIS ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit dass eine ganze Zahl kubikfrei nicht durch eine Kubikzahl grosser 1 teilbar ist Dies sind Spezialfalle davon dass n displaystyle n nbsp ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit 1 z n k displaystyle tfrac 1 zeta nk nbsp keine k displaystyle k nbsp te Potenz grosser 1 als gemeinsamen Teiler haben 9 Reihendarstellungen BearbeitenApery verwendete die Formel z 3 5 2 n 1 1 n 1 n 3 2 n n displaystyle zeta 3 frac 5 2 sum n 1 infty frac 1 n 1 n 3 binom 2n n nbsp Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist z 3 1 2 n 1 H n n 2 displaystyle zeta 3 frac 1 2 sum n 1 infty frac H n n 2 nbsp mit den harmonischen Zahlen H n displaystyle H n nbsp Zahlreiche verwandte Formeln wie z 3 1 2 i 1 j 1 1 i j i j displaystyle zeta 3 frac 1 2 sum i 1 infty sum j 1 infty frac 1 ij i j nbsp fuhren ebenfalls zur Apery Konstante 10 Unter Anwendung der dirichletschen l Funktion und der dirichletschen h Funktion erhalt man aus z z 2 z l z 2 z 1 h z 2 z 2 displaystyle zeta z 2 z lambda z 2 z 1 eta z 2 z 2 nbsp die Darstellung z 3 8 7 n 0 1 2 n 1 3 4 3 n 1 1 n 1 n 3 displaystyle zeta 3 frac 8 7 sum n 0 infty frac 1 2n 1 3 frac 4 3 sum n 1 infty frac 1 n 1 n 3 nbsp Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger 1997 11 12 z 3 1 24 n 0 1 n A n 2 n 1 3 2 n 3 n 3 3 n 2 4 n 3 3 displaystyle zeta 3 frac 1 24 sum n 0 infty 1 n frac A n cdot 2n 1 3 cdot 2n 3 cdot n 3 3n 2 cdot 4n 3 3 nbsp mit A n 126392 n 5 412708 n 4 531578 n 3 336367 n 2 104000 n 12463 displaystyle A n 126392n 5 412708n 4 531578n 3 336367n 2 104000n 12463 nbsp Nach Matyas Lerch 1900 13 z 3 7 p 3 180 2 n 1 1 n 3 e 2 p n 1 displaystyle zeta 3 frac 7 pi 3 180 2 sum n 1 infty frac 1 n 3 e 2 pi n 1 nbsp Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter 14 z 3 p 3 28 16 7 n 1 1 n 3 e p n 1 2 7 n 1 1 n 3 e 2 p n 1 displaystyle zeta 3 frac pi 3 28 frac 16 7 sum n 1 infty frac 1 n 3 e pi n 1 frac 2 7 sum n 1 infty frac 1 n 3 e 2 pi n 1 nbsp z 3 28 n 1 1 n 3 e p n 1 37 n 1 1 n 3 e 2 p n 1 7 n 1 1 n 3 e 4 p n 1 displaystyle zeta 3 28 sum n 1 infty frac 1 n 3 e pi n 1 37 sum n 1 infty frac 1 n 3 e 2 pi n 1 7 sum n 1 infty frac 1 n 3 e 4 pi n 1 nbsp Bei Max Koecher findet man folgende Reihendarstellung durch die man beim Abbrechen an der Stelle n 7 displaystyle n 7 nbsp neun korrekte Dezimalstellen erhalt 15 A 1 z 3 9 8 n 1 4 n 3 9 n 8 18 n 6 21 n 4 4 displaystyle zeta 3 frac 9 8 sum n 1 infty frac 4 n 3 left 9n 8 18n 6 21n 4 4 right nbsp Weitere Darstellungen BearbeitenProduktreihendarstellungen Bearbeiten Eine Verbindung zu den Primzahlen ist z 3 p p r i m 1 1 p 3 displaystyle zeta 3 prod p mathrm prim frac 1 1 p 3 nbsp als Spezialfall des Euler Produkts Euler 1737 16 Integraldarstellungen Bearbeiten Fur die Apery Konstante gibt auch einige Integraldarstellungen Die Werte der folgenden Integrale gehen direkt aus den betroffenen trilogarithmischen Stammfunktionen hervor z 3 0 1 0 1 0 1 d x d y d z 1 x y z displaystyle zeta 3 int limits 0 1 int limits 0 1 int limits 0 1 frac mathrm d x mathrm d y mathrm d z 1 xyz nbsp z 3 1 2 0 x 2 e x 1 d x displaystyle zeta 3 frac 1 2 int limits 0 infty frac x 2 mathrm e x 1 mathrm d x nbsp z 3 8 7 0 1 1 x artanh x 2 d x displaystyle zeta 3 frac 8 7 int 0 1 frac 1 x operatorname artanh x 2 mathrm d x nbsp Diese drei Integrale kommen durch die sogenannten Abel Plana Summenformeln zustande z 3 0 p x 2 1 x 2 1 2 sech 1 2 p x 2 d x displaystyle zeta 3 int 0 infty frac pi x 2 1 x 2 1 2 operatorname sech bigl frac 1 2 pi x bigr 2 mathrm d x nbsp z 3 2 3 4 3 0 3 x x 3 x 2 1 3 csch p x d x displaystyle zeta 3 frac 2 3 frac 4 3 int 0 infty frac 3x x 3 x 2 1 3 operatorname csch pi x mathrm d x nbsp z 3 1 0 3 x x 3 x 2 1 3 exp p x csch p x d x displaystyle zeta 3 1 int 0 infty frac 3x x 3 x 2 1 3 exp pi x operatorname csch pi x mathrm d x nbsp Folgende weiteren Integrale weisen ebenso Stammfunktionen auf welche nicht als elementare Kombination der Polylogarithmen dargestellt werden konnen z 3 2 3 p 3 0 1 x x 1 2 x 1 cot p x d x displaystyle zeta 3 frac 2 3 pi 3 int limits 0 1 x left x frac 1 2 right x 1 cot pi x mathrm d x nbsp 17 z 3 0 p 2 14 x 2 tanh x 2 d x displaystyle zeta 3 int 0 infty frac pi 2 14 x 2 operatorname tanh x 2 mathrm d x nbsp z 3 0 p 2 7 x tanh x sech x 2 d x displaystyle zeta 3 int 0 infty frac pi 2 7x tanh x operatorname sech x 2 mathrm d x nbsp z 3 0 p 2 x 7 x 2 1 2 arsinh x d x displaystyle zeta 3 int 0 infty frac pi 2 x 7 x 2 1 2 operatorname arsinh x mathrm d x nbsp Funktionalidentitaten Bearbeiten Die Apery Konstante kann auch mit der Dirichletschen Lambdafunktion und Etafunktion dargestellt werden z 3 8 7 l 3 4 3 h 3 displaystyle zeta 3 frac 8 7 lambda 3 frac 4 3 eta 3 nbsp Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf es gilt namlich z 3 1 2 ps 2 1 displaystyle zeta 3 frac 1 2 psi 2 1 nbsp Literatur BearbeitenFrits Beukers A note on the irrationality of z 2 displaystyle zeta 2 nbsp and z 3 displaystyle zeta 3 nbsp Bulletin of the London Mathematical Society 11 Oktober 1979 S 268 272 englisch Steven R Finch Apery s constant Kapitel 1 6 in Mathematical constants Cambridge University Press Cambridge 2003 ISBN 0 521 81805 2 S 40 53 englisch Max Koecher Klassische elementare Analysis Birkhauser Verlag Basel Boston 1987 ISBN 3 7643 1824 4 Kapitel II Alfred van der Poorten A proof that Euler missed Apery s proof of the irrationality of z 3 An informal report The Mathematical Intelligencer 1 Dezember 1979 S 195 203 englisch Alf s reprints Paper 45 PDF 205 kB Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Beweis der Irrationalitat von Zeta 3 nach Frits Beukers Lern und Lehrmaterialien Eric W Weisstein Apery s Constant In MathWorld englisch Folge A013631 in OEIS Kettenbruchentwicklung von z 3 Folge A053980 in OEIS Engel Entwicklung von z 3 Einzelnachweise Bearbeiten Records set by y cruncher Abgerufen am 12 August 2019 Leonhard Euler Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali 13 Oktober 1735 Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8 1741 S 9 22 lateinisch 1 202056903159594 auf S 21 Roger Apery Irrationalite de z 2 displaystyle zeta 2 nbsp et z 3 displaystyle zeta 3 nbsp Asterisque 61 1979 S 11 13 franzosisch David H Bailey Richard E Crandall Random Generators and Normal Numbers Memento vom 13 Oktober 2003 im Internet Archive PDF 399 kB Experimental Mathematics 11 2002 S 527 546 englisch Finch Apery s constant 2003 S 41 englisch Tanguy Rivoal La Fonction zeta de Riemann prend une infinite de valeurs irrationnelles aux entiers impairs Comptes rendus de l Academie des sciences Serie I 331 2000 S 267 270 franzosisch arxiv math 0008051v1 W W Zudilin One of the numbers z 5 z 7 z 9 z 11 is irrational Russian Mathematical Surveys 56 2001 S 774 776 englisch Georges Rhin Carlo Viola The group structure for z 3 Acta Arithmetica 97 2001 S 269 293 englisch M Beeler R W Gosper R Schroeppel HAKMEM MIT AI Memo 239 29 Februar 1972 englisch ITEM 53 Salamin Walther Janous Around Apery s constant Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7 2006 Artikel 35 englisch Tewodros Amdeberhan Doron Zeilberger Hypergeometric series acceleration via the WZ method Memento vom 30 April 2011 im Internet Archive The Electronic Journal of Combinatorics 4 2 1997 englisch arxiv math 9804121v1 The Value of Zeta 3 to 1 000 000 places Im Project Gutenberg englisch Matyas Lerch Sur la fonction z s pour les valeurs impaires de l argument Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14 1900 S 65 69 franzosisch Jahrbuch Zusammenfassung Simon Plouffe Identities inspired by Ramanujan Notebooks part 2 April 2006 englisch Max Koecher Klassische elementare Analysis Birkhauser Verlag Basel Boston 1987 S 52 Leonhard Euler Variae observationes circa series infinitas 25 April 1737 Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9 1744 S 160 188 lateinisch Euler Produkt als Theorema 8 auf S 174 f Abramowitz Stegun Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers S 807 Formel 23 2 17 Anmerkungen Bearbeiten Koecher nennt diese Reihendarstellung eine kuriose Formel Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Apery Konstante amp oldid 238678673