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Asymptotische Dichte Die asymptotische Dichte auch natürliche Dichte ist ein zahlentheoretischer Grenzwert der den Antei

Asymptotische Dichte

Die asymptotische Dichte (auch natürliche Dichte) ist ein zahlentheoretischer Grenzwert, der den Anteil einer Untermenge natürlicher Zahlen an der Menge natürlicher Zahlen angibt.

Asymptotische Dichte Bearbeiten

Sei und definiere die Zählfunktion

für ein , wobei die Kardinalität bezeichnet.

Falls der Grenzwert

existiert, so nennt man ihn die asymptotische Dichte von . Es gilt .

Erläuterungen Bearbeiten

Bei der asymptotischen Dichte handelt es sich um einen Spezialfall einer allgemeinen Dichte von der Form

Die asymptotische Dichte erhält man bei der Wahl für alle .

Eine weitere übliche Dichtefunktion ist die logarithmische Dichte , welche man durch die Wahl für alle erhält. Für den natürlichen Logarithmus gilt

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Somit definiert man die logarithmische Dichte als

falls sie existiert.

Obere und untere asymptotische Dichte Bearbeiten

Die obere asymptotische Dichte von ist durch

definiert, wobei lim sup der Limes superior ist. Ebenso ist die durch

definierte untere asymptotische Dichte von . hat nur dann eine asymptotische Dichte , wenn gilt. In diesem Fall existiert der Grenzwert

und daher kann durch ihn definiert werden.

Beispiele Bearbeiten

  • Wenn für die Menge existiert, dann gilt für die bezüglich komplementäre Menge :
  • Für eine beliebige endliche Menge natürlicher Zahlen gilt:
  • Für die Menge aller Quadratzahlen gilt:
  • Für die Menge aller geraden Zahlen gilt:
  • Allgemeiner gilt für jede arithmetische Folge mit positivem :
  • Für die Menge aller Primzahlen erhält man aufgrund des Primzahlsatzes:
  • Die Menge aller quadratfreien natürlichen Zahlen hat die Dichte mit der Riemannschen Zetafunktion .
  • Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0,2474 und 0,2480.
  • Die Menge aller Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat, ist ein Beispiel für eine Menge ohne asymptotische Dichte. Für die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall:

Quellen Bearbeiten

  • Melvyn B. Nathanson: Elementary methods in number theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 195). Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98912-9 (englisch, zbmath.org).
  • Hans-Heinrich Ostmann: Additive Zahlentheorie (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 7). Erster Teil: Allgemeine Untersuchungen. Springer-Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg 1956, ISBN 978-3-662-11030-0 (books.google.de – Leseprobe).
  • Jörn Steuding: Probabilistic number theory. (PDF) In: psu.edu. citeseerx.ist.psu.edu, abgerufen am 7. Februar 2016.
  • Gérald Tenenbaum: Introduction to analytic and probabilistic number theory (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 46). Cambridge university press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-41261-7 (französisch, zbmath.org).
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Die asymptotische Dichte auch naturliche Dichte ist ein zahlentheoretischer Grenzwert der den Anteil einer Untermenge naturlicher Zahlen an der Menge naturlicher Zahlen angibt Inhaltsverzeichnis 1 Asymptotische Dichte 1 1 Erlauterungen 1 2 Obere und untere asymptotische Dichte 2 Beispiele 3 QuellenAsymptotische Dichte BearbeitenSei A N displaystyle A subseteq mathbb N nbsp und definiere die Zahlfunktion a n a n a A displaystyle a n a leq n a in A nbsp fur ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp wobei displaystyle cdot nbsp die Kardinalitat bezeichnet Falls der Grenzwert d A lim n a n n displaystyle d A lim n rightarrow infty frac a n n nbsp existiert so nennt man ihn die asymptotische Dichte von A displaystyle A nbsp Es gilt 0 d A 1 displaystyle 0 leq d A leq 1 nbsp Erlauterungen Bearbeiten Bei der asymptotischen Dichte handelt es sich um einen Spezialfall einer allgemeinen Dichte von der Form D A lim n a n a A l a x n l x displaystyle D A lim limits n to infty sum limits a leq n a in A lambda a sum limits x leq n lambda x nbsp Die asymptotische Dichte erhalt man bei der Wahl l x 1 displaystyle lambda x 1 nbsp fur alle x 1 displaystyle x geq 1 nbsp Eine weitere ubliche Dichtefunktion ist die logarithmische Dichte d A displaystyle delta A nbsp welche man durch die Wahl l x 1 x displaystyle lambda x 1 x nbsp fur alle x 1 displaystyle x geq 1 nbsp erhalt Fur den naturlichen Logarithmus gilt k 1 n 1 k log n g displaystyle sum limits k 1 n frac 1 k approx log n gamma nbsp wobei g displaystyle gamma nbsp die Euler Mascheroni Konstante bezeichnet Somit definiert man die logarithmische Dichte als d A lim n 1 log n a n a A 1 a displaystyle delta A lim limits n to infty frac 1 log n sum limits a leq n a in A frac 1 a nbsp falls sie existiert Obere und untere asymptotische Dichte Bearbeiten Die obere asymptotische Dichte d A displaystyle overline d A nbsp von A displaystyle A nbsp ist durch d A lim sup n a n n displaystyle overline d A colon limsup n rightarrow infty frac a n n nbsp definiert wobei lim sup der Limes superior ist Ebenso ist d A displaystyle underline d A nbsp die durch d A lim inf n a n n displaystyle underline d A colon liminf n rightarrow infty frac a n n nbsp definierte untere asymptotische Dichte von A displaystyle A nbsp A displaystyle A nbsp hat nur dann eine asymptotische Dichte d A displaystyle d A nbsp wenn d A d A displaystyle underline d A overline d A nbsp gilt In diesem Fall existiert der Grenzwert lim n a n n d A d A d A displaystyle lim n rightarrow infty frac a n n underline d A overline d A colon d A nbsp und daher kann durch ihn d A displaystyle d A nbsp definiert werden Beispiele BearbeitenWenn d A displaystyle d A nbsp fur die Menge A displaystyle A nbsp existiert dann gilt fur die bezuglich N displaystyle mathbb N nbsp komplementare Menge A displaystyle overline A nbsp d A 1 d A displaystyle d overline A 1 d A nbsp d N 1 displaystyle d mathbb N 1 nbsp Fur eine beliebige endliche Menge E displaystyle E nbsp naturlicher Zahlen gilt d E 0 displaystyle d E 0 nbsp Fur die Menge A n 2 n N displaystyle A n 2 n in mathbb N nbsp aller Quadratzahlen gilt d A 0 displaystyle d A 0 nbsp Fur die Menge A 2 n n N displaystyle A 2n n in mathbb N nbsp aller geraden Zahlen gilt d A 1 2 displaystyle d A 1 2 nbsp Allgemeiner gilt fur jede arithmetische Folge A a n b n N displaystyle A an b n in mathbb N nbsp mit positivem a displaystyle a nbsp d A 1 a displaystyle d A 1 a nbsp Fur die Menge P displaystyle P nbsp aller Primzahlen erhalt man aufgrund des Primzahlsatzes d P 0 displaystyle d P 0 nbsp Die Menge aller quadratfreien naturlichen Zahlen hat die Dichte 6 p 2 1 z 2 displaystyle 6 pi 2 1 zeta 2 nbsp mit der Riemannschen Zetafunktion z displaystyle zeta nbsp Die Dichte abundanter Zahlen liegt zwischen 0 2474 und 0 2480 Die Menge A n 0 2 2 n 2 2 n 1 1 displaystyle A bigcup limits n 0 infty left 2 2n dotsc 2 2n 1 1 right nbsp aller Zahlen deren Binardarstellung eine ungerade Anzahl an Stellen hat ist ein Beispiel fur eine Menge ohne asymptotische Dichte Fur die untere und obere asymptotische Dichte gilt in diesem Fall d A lim m 1 2 2 2 2 m 2 2 m 2 1 lim m 2 2 m 2 1 3 2 2 m 2 1 1 3 displaystyle underline d A lim m rightarrow infty frac 1 2 2 dotsb 2 2m 2 2m 2 1 lim m rightarrow infty frac 2 2m 2 1 3 2 2m 2 1 frac 1 3 nbsp d A lim m 1 2 2 2 2 m 2 2 m 1 1 lim m 2 2 m 2 1 3 2 2 m 1 1 2 3 displaystyle overline d A lim m rightarrow infty frac 1 2 2 dotsb 2 2m 2 2m 1 1 lim m rightarrow infty frac 2 2m 2 1 3 2 2m 1 1 frac 2 3 nbsp dd Quellen BearbeitenMelvyn B Nathanson Elementary methods in number theory Graduate Texts in Mathematics Band 195 Springer New York 2000 ISBN 0 387 98912 9 englisch zbmath org Hans Heinrich Ostmann Additive Zahlentheorie Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 7 Erster Teil Allgemeine Untersuchungen Springer Verlag Berlin Gottingen Heidelberg 1956 ISBN 978 3 662 11030 0 books google de Leseprobe Jorn Steuding Probabilistic number theory PDF In psu edu citeseerx ist psu edu abgerufen am 7 Februar 2016 Gerald Tenenbaum Introduction to analytic and probabilistic number theory Cambridge studies in advanced mathematics Band 46 Cambridge university press Cambridge 1995 ISBN 0 521 41261 7 franzosisch zbmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Asymptotische Dichte amp oldid 229134629