Die harmonische Reihe ist in der Mathematik die Reihe die durch Summation der Glieder 1 1 2 1 3 1 4 1 5 displaystyle 1 tfrac 1 2 tfrac 1 3 tfrac 1 4 tfrac 1 5 dotsc der harmonischen Folge entsteht Ihre Partialsummen werden auch harmonische Zahlen genannt Diese finden beispielsweise Anwendung in Fragestellungen der Kombinatorik und stehen in enger Beziehung zur Euler Mascheroni Konstante g displaystyle gamma Obwohl die harmonische Folge eine Nullfolge ist ist die harmonische Reihe divergent Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Werte der ersten Partialsummen 2 2 Divergenz 2 3 Asymptotische Entwicklung 3 Harmonische Reihe als kontinuierliche Funktion 3 1 Integraldarstellung 3 2 Beziehung zur Digamma Funktion 4 Ableitung und Integral der harmonischen Reihenfunktion 4 1 Ableitung 4 2 Integration von Null bis Eins 4 3 Exponentieller Stammfunktionsausdruck 5 Werteliste 6 Summenreihen mit der harmonischen Reihe 6 1 Erzeugende Funktion 6 2 Reihen uber harmonische Zahlen 7 Anwendungsbeispiele 7 1 Kraftvektoren 7 2 Summenreihen 8 Verwandte Reihen 8 1 Alternierende harmonische Reihe 8 2 Allgemeine harmonische Reihe 8 3 Subharmonische Reihen 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie n displaystyle n nbsp te Partialsumme H n displaystyle H n nbsp der harmonischen Reihe heisst die n displaystyle n nbsp te harmonische Zahl H n k 1 n 1 k 1 1 2 1 3 1 4 1 n displaystyle H n sum k 1 n frac 1 k 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots frac 1 n nbsp Die harmonische Reihe ist ein Spezialfall der allgemeinen harmonischen Reihe mit den Summanden 1 k a displaystyle 1 k alpha nbsp wobei hier a 1 displaystyle alpha 1 nbsp siehe unten Der Name harmonische Reihe wurde gewahlt da jedes Glied a k 1 k displaystyle a k tfrac 1 k nbsp das harmonische Mittel M H displaystyle M H nbsp der beiden benachbarten Glieder ist M H a k 1 a k 1 2 1 a k 1 1 a k 1 2 k 1 k 1 1 k a k displaystyle M text H a k 1 a k 1 frac 2 frac 1 a k 1 frac 1 a k 1 frac 2 k 1 k 1 frac 1 k a k nbsp Eigenschaften BearbeitenWerte der ersten Partialsummen Bearbeiten H 1 1 H 2 3 2 1 5 H 3 11 6 1 8 3 H 4 25 12 2 08 3 H 5 137 60 2 28 3 H 6 49 20 2 45 H 7 363 140 2 59 285714 H 8 761 280 2 717 857142 H 9 7129 2520 2 828 968253 H 10 7381 2520 2 928 968253 displaystyle begin matrix H 1 amp amp 1 H 2 amp amp frac 3 2 amp amp 1 5 H 3 amp amp frac 11 6 amp amp 1 8 overline 3 H 4 amp amp frac 25 12 amp amp 2 08 overline 3 H 5 amp amp frac 137 60 amp amp 2 28 overline 3 end matrix qquad qquad begin matrix H 6 amp amp frac 49 20 amp amp 2 45 H 7 amp amp frac 363 140 amp amp 2 59 overline 285714 H 8 amp amp frac 761 280 amp amp 2 717 overline 857142 H 9 amp amp frac 7129 2520 amp amp 2 828 overline 968253 H 10 amp amp frac 7381 2520 amp amp 2 928 overline 968253 end matrix nbsp Der Nenner von H n displaystyle H n nbsp ist durch jede Primzahlpotenz p k displaystyle p k nbsp mit n 2 lt p k n displaystyle n 2 lt p k leq n nbsp teilbar also auch durch 2 k displaystyle 2 k nbsp mit 2 k n displaystyle 2 k leq n nbsp und fur n gt 2 displaystyle n gt 2 nbsp nach dem Bertrandschen Postulat durch mindestens eine ungerade Primzahl Insbesondere ist H n displaystyle H n nbsp fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp keine ganze Zahl Theisinger 1915 1 Allgemeiner gilt dass keine Differenz H m H n displaystyle H m H n nbsp fur m n displaystyle m neq n nbsp eine ganze Zahl ist Kurschak 1918 2 dies ist wiederum ein Spezialfall eines Satzes von Nagell 1923 3 Ist p 5 displaystyle p geq 5 nbsp eine Primzahl so ist der Zahler von H p 1 displaystyle H p 1 nbsp nach dem Satz von Wolstenholme durch p 2 displaystyle p 2 nbsp teilbar ist p displaystyle p nbsp eine Wolstenholme Primzahl dann sogar durch p 3 displaystyle p 3 nbsp nbsp Nikolaus von OresmeDivergenz Bearbeiten Die harmonische Reihe divergiert gegen unendlich wie zuerst Nikolaus von Oresme 14 Jh bewies Man sieht dies durch Vergleich mit einer Reihe die in jedem Glied kleiner oder gleich ist Minorantenkriterium H n 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 n 1 1 2 1 4 1 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 n 1 1 2 1 2 1 2 1 n displaystyle begin matrix H n amp 1 1 2 amp amp 1 3 1 4 amp amp 1 5 1 6 1 7 1 8 amp cdots 1 n amp geq 1 1 2 amp amp 1 4 1 4 amp amp 1 8 1 8 1 8 1 8 amp cdots 1 n amp 1 1 2 amp amp 1 2 amp amp 1 2 amp cdots 1 n end matrix nbsp Die Summe der letzten Zeile ubersteigt jeden Wert wenn n displaystyle n nbsp genugend gross ist Genauer erhalt man die Abschatzung H 2 ℓ 1 ℓ 2 displaystyle H 2 ell geq 1 ell 2 nbsp fur ℓ 0 1 2 displaystyle ell 0 1 2 dots nbsp Asymptotische Entwicklung Bearbeiten Es gilt die asymptotische Entwicklung H n k 1 n 1 k ln n g 1 2 n 1 12 n 2 1 120 n 4 1 252 n 6 1 240 n 8 1 132 n 10 O 1 n 12 ln n g O 1 n n displaystyle begin aligned H n sum k 1 n frac 1 k amp ln n gamma frac 1 2n frac 1 12n 2 frac 1 120n 4 frac 1 252n 6 frac 1 240n 8 frac 1 132n 10 mathcal O left frac 1 n 12 right amp ln n gamma mathcal O left frac 1 n right quad n to infty end aligned nbsp Hierbei bezeichnet ln n displaystyle ln n nbsp den naturlichen Logarithmus und das Landau Symbol O displaystyle mathcal O nbsp beschreibt das Verhalten des Restterms der Entwicklung fur n displaystyle n to infty nbsp Die mathematische Konstante g displaystyle gamma nbsp gamma heisst Euler Mascheroni Konstante und ihr numerischer Wert betragt 0 5772156649 nbsp Partialsummen der harmonischen Reihe mit Naherung ln n g und Abschatzung ln n 1Des Weiteren gilt H n lt ln n 1 displaystyle H n lt ln n 1 nbsp falls n 2 displaystyle n geq 2 nbsp Vergleich einiger Partialsummen mit Werten der Naherungsformel Hn ln n g n Hn gerundet Naherung gerundet Genauigkeit gerundet 5 2 28 2 19 95 77 10 2 93 2 88 98 32 20 3 60 3 57 99 31 50 4 50 4 49 99 78 100 5 19 5 18 99 90 500 6 79 6 79 1 1 10 41000 7 49 7 48 1 7 10 510000 9 79 9 79 1 5 10 6 dd Harmonische Reihe als kontinuierliche Funktion BearbeitenIntegraldarstellung Bearbeiten Fur alle naturlichen Zahlen n gilt diese Formel 0 1 1 y n 1 y d y 0 1 1 y y n 1 d y 1 1 2 1 n H n displaystyle int 0 1 frac 1 y n 1 y mathrm d y int 0 1 1 y cdots y n 1 mathrm d y 1 frac 1 2 cdots frac 1 n H n nbsp Diese Darstellung verallgemeinert die n displaystyle n nbsp te harmonische Zahl auf komplexe Werte fur n displaystyle n nbsp mit Re n gt 1 displaystyle operatorname Re n gt 1 nbsp und bildet somit die harmonische Reihenfunktion H x H x displaystyle mathrm H x H x nbsp Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen harmonischen Funktion mit Laplace Operator Null Fur alle reellen Zahlen x gt 1 konvergiert diese Integralformel H x x R gt 1 0 1 1 y x 1 y d y displaystyle mathrm H x x in mathbb R gt 1 int 0 1 frac 1 y x 1 y mathrm d y nbsp Eine Definition der harmonischen Reihenfunktion fur alle reellen Zahlen x ist uber folgende Summe moglich H x n 1 1 n 1 n x displaystyle mathrm H x sum n 1 infty bigl frac 1 n frac 1 n x bigr nbsp Identisch mit dieser Formel sind folgende Definitionsformeln P x G x 1 displaystyle Pi x Gamma x 1 nbsp P x exp g x n 1 1 x n 1 exp x n displaystyle Pi x exp gamma x prod n 1 infty left 1 frac x n right 1 exp x n nbsp H x g 1 P x d d x P x displaystyle mathrm H x gamma frac 1 Pi x frac mathrm d mathrm d x Pi x nbsp Beziehung zur Digamma Funktion Bearbeiten Die n displaystyle n nbsp te harmonische Zahl lasst sich durch die Digamma Funktion ps displaystyle psi nbsp ausdrucken und auf komplexe Werte fur n displaystyle n nbsp fortsetzen falls n displaystyle n nbsp keine negative ganze Zahl ist H n ps n 1 ps 1 G n G n 1 n g displaystyle H n psi n 1 psi 1 frac Gamma n Gamma n frac 1 n gamma nbsp Dabei bezeichnet G displaystyle Gamma nbsp die Gammafunktion G displaystyle Gamma nbsp ihre Ableitung und g displaystyle gamma nbsp die Euler Mascheroni Konstante Ableitung und Integral der harmonischen Reihenfunktion BearbeitenAbleitung Bearbeiten Die Ableitung der Harmonischen Reihenfunktion kann mit der Trigammafunktion dargestellt werden d d x H x ps 1 x 1 n 1 1 x n 2 displaystyle frac mathrm d mathrm d x mathrm H x psi 1 x 1 sum n 1 infty frac 1 x n 2 nbsp Die erste Ableitung der harmonischen Reihenfunktion hat an der Stelle x 0 und somit am Koordinatenursprung den Zetafunktionswert z 2 d d x H x x 0 d d x 0 1 1 y x 1 y d y x 0 0 1 d d x 1 y x 1 y d y x 0 0 1 ln y y x 1 y d y x 0 displaystyle frac mathrm d mathrm d x mathrm H x x 0 frac mathrm d mathrm d x int 0 1 frac 1 y x 1 y mathrm d y x 0 int 0 1 frac mathrm d mathrm d x frac 1 y x 1 y mathrm d y x 0 int 0 1 ln y frac y x 1 y mathrm d y x 0 nbsp 0 1 ln y 1 1 y d y L i 2 1 y y 0 y 1 L i 2 1 z 2 p 2 6 displaystyle int 0 1 ln y frac 1 1 y mathrm d y biggl mathrm Li 2 1 y biggr y 0 y 1 mathrm Li 2 1 zeta 2 frac pi 2 6 nbsp Integration von Null bis Eins Bearbeiten Die Harmonische Reihenfunktion kann mit den genannten Definitionen integriert werden H x n 1 1 n 1 n x displaystyle mathrm H x sum n 1 infty bigl frac 1 n frac 1 n x bigr nbsp 0 1 H x d x 0 1 n 1 1 n 1 n x d x n 1 0 1 1 n 1 n x d x displaystyle int 0 1 mathrm H x mathrm d x int 0 1 sum n 1 infty bigl frac 1 n frac 1 n x bigr mathrm d x sum n 1 infty int 0 1 bigl frac 1 n frac 1 n x bigr mathrm d x nbsp n 1 x n ln n x x 0 x 1 d x n 1 1 n ln n 1 n g displaystyle sum n 1 infty biggl frac x n ln n x biggr x 0 x 1 mathrm d x sum n 1 infty biggl frac 1 n ln bigl frac n 1 n bigr biggr gamma nbsp H x g 1 P x d d x P x displaystyle mathrm H x gamma frac 1 Pi x frac mathrm d mathrm d x Pi x nbsp 0 1 H x d x g x ln P x x 0 x 1 g displaystyle int 0 1 mathrm H x mathrm d x biggl gamma x ln bigl Pi x bigr biggr x 0 x 1 gamma nbsp Vergleichsrechnung uber die zuvor genannte Integraldefinition 0 1 H x d x 0 1 0 1 1 y x 1 y d y d x 0 1 0 1 1 y x 1 y d x d y displaystyle int 0 1 mathrm H x mathrm d x int 0 1 int 0 1 frac 1 y x 1 y mathrm d y mathrm d x int 0 1 int 0 1 frac 1 y x 1 y mathrm d x mathrm d y nbsp 0 1 1 1 y 1 ln y d y g displaystyle int 0 1 frac 1 1 y frac 1 ln y mathrm d y gamma nbsp Exponentieller Stammfunktionsausdruck Bearbeiten Folgender Exponentialfunktionsausdruck kann fur die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion aufgestellt werden Gegeben ist diese Gleichung H x 0 1 exp x y exp y 1 d y displaystyle operatorname H x int 0 infty frac 1 exp x y exp y 1 mathrm d y nbsp Folgende Gleichung kommt durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezuglich x bei der soeben genannten Formel hervor g x ln G x 1 0 exp x y x y 1 y exp y 1 d y displaystyle gamma x ln bigl Gamma x 1 bigr int 0 infty frac exp x y x y 1 y bigl exp y 1 bigr mathrm d y nbsp Werteliste BearbeitenBesondere Werte der verallgemeinerten harmonischen Zahlen sind beispielsweise H 1 2 H 1 2 2 2 ln 2 displaystyle mathrm H tfrac 1 2 H 1 2 2 2 ln 2 nbsp H 1 3 H 1 3 3 p 2 3 3 2 ln 3 displaystyle mathrm H tfrac 1 3 H 1 3 3 frac pi 2 sqrt 3 frac 3 2 ln 3 nbsp H 1 4 H 1 4 4 p 2 3 ln 2 displaystyle mathrm H tfrac 1 4 H 1 4 4 frac pi 2 3 ln 2 nbsp H 1 6 H 1 6 6 p 3 2 3 2 ln 3 2 ln 2 displaystyle mathrm H tfrac 1 6 H 1 6 6 frac pi sqrt 3 2 frac 3 2 ln 3 2 ln 2 nbsp Summenreihen mit der harmonischen Reihe BearbeitenErzeugende Funktion Bearbeiten Entwickelt man die Funktion 1 1 x ln 1 1 x displaystyle tfrac 1 1 x ln tfrac 1 1 x nbsp um den Entwicklungspunkt 0 in eine Taylorreihe so erhalt man die harmonischen Zahlen als Koeffizienten 1 1 x ln 1 1 x n 1 H n x n x lt 1 displaystyle frac 1 1 x ln frac 1 1 x sum n 1 infty H n x n quad x lt 1 nbsp Dies sieht man leicht ein indem man das Cauchy Produkt der fur x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp absolut konvergenten Reihen von folgenden beiden Funktionen bildet 1 1 x 1 x x 2 x 3 displaystyle frac 1 1 x 1 x x 2 x 3 dotsb nbsp ln 1 1 x x x 2 2 x 3 3 displaystyle ln frac 1 1 x x frac x 2 2 frac x 3 3 dotsb nbsp Wenn bei der Summe der genannten erzeugenden Funktion die Summanden noch durch die betroffenen Indices geteilt werden dann wird die Reihe fur die Summe aus Dilogarithmus und Halfte vom Quadrat des Monologarithmus hervorgebracht n 1 H n n x n L i 2 x 1 2 ln 1 1 x 2 L i 2 x 1 2 L i 1 x 2 x lt 1 displaystyle sum n 1 infty frac H n n x n mathrm Li 2 x frac 1 2 ln bigl frac 1 1 x bigr 2 mathrm Li 2 x frac 1 2 mathrm Li 1 x 2 quad x lt 1 nbsp Das nun genannte Resultat entsteht dadurch dass die genannte erzeugende Funktion durch x geteilt wird und daraus dann die Ursprungsstammfunktion aufgestellt wird Diese Integrationskette kann mit dem zuvor gezeigten Muster noch weitergefuhrt werden Dann entsteht eine Summe die den Trilogarithmus enthalt n 1 H n n 2 x n 2 Li 3 x Li 3 x x 1 ln 1 x Li 2 x 1 6 ln 1 x 3 displaystyle sum n 1 infty frac H n n 2 x n 2 operatorname Li 3 x operatorname Li 3 bigl frac x x 1 bigr ln 1 x operatorname Li 2 x frac 1 6 ln 1 x 3 nbsp 2 Li 3 x Li 3 x x 1 Li 1 x Li 2 x 1 6 Li 1 x 3 x lt 1 displaystyle 2 operatorname Li 3 x operatorname Li 3 bigl frac x x 1 bigr operatorname Li 1 x operatorname Li 2 x frac 1 6 operatorname Li 1 x 3 quad x lt 1 nbsp Reihen uber harmonische Zahlen Bearbeiten Es gilt fur die harmonischen Zahlen 4 n 1 H n n 2 2 z 3 displaystyle sum n 1 infty frac H n n 2 2 zeta 3 nbsp n 1 H n n 3 p 4 72 displaystyle sum n 1 infty frac H n n 3 frac pi 4 72 nbsp n 1 H n n 4 3 z 5 p 2 6 z 3 displaystyle sum n 1 infty frac H n n 4 3 zeta 5 frac pi 2 6 zeta 3 nbsp n 1 H n n 5 p 6 540 1 2 z 3 2 displaystyle sum n 1 infty frac H n n 5 frac pi 6 540 frac 1 2 zeta 3 2 nbsp n 1 H n n 6 4 z 7 p 2 6 z 5 p 4 90 z 3 displaystyle sum n 1 infty frac H n n 6 4 zeta 7 frac pi 2 6 zeta 5 frac pi 4 90 zeta 3 nbsp Hierbei bezeichnet z s displaystyle zeta s nbsp die Riemannsche Zetafunktion Anwendungsbeispiele Bearbeiten nbsp Oben freitragender Ausleger unten SchemazeichnungKraftvektoren Bearbeiten Gleichartige Klotze sollen so gestapelt werden dass der oberste Klotz moglichst weit uber den untersten ragt Das Bild zeigt eine Anwendung der harmonischen Reihe Werden die horizontalen Abstande der Klotze von oben nach unten vorgehend gemass der harmonischen Reihe gewahlt so ist der Stapel gerade noch stabil Auf diese Weise bekommt der Abstand zwischen dem obersten und untersten Klotz den grosstmoglichen Wert Die Klotze haben eine Lange l 0 displaystyle l 0 nbsp Der oberste Baustein liegt mit seinem Schwerpunkt auf dem zweiten Stein an der Position 1 2 l 0 1 2 1 l 0 displaystyle 1 2 cdot l 0 1 2 cdot 1 cdot l 0 nbsp Der gemeinsame Schwerpunkt von Stein 1 und Stein 2 liegt bei 1 2 1 2 l 0 displaystyle 1 2 cdot 1 2 cdot l 0 nbsp der von Stein 1 Stein 2 und Stein 3 bei 1 2 1 3 l 0 displaystyle 1 2 cdot 1 3 cdot l 0 nbsp der des n displaystyle n nbsp ten Steins bei 1 2 1 n l 0 displaystyle 1 2 cdot 1 n cdot l 0 nbsp Die Gesamtlange L displaystyle L nbsp des Auslegers betragt somit L l 0 2 k 1 n 1 k displaystyle L frac l 0 2 sum k 1 n frac 1 k nbsp Jeder zusatzliche Stein entspricht einem weiteren Summanden in der harmonischen Reihe Da die harmonische Reihe beliebig grosse Werte annehmen kann wenn man sie nur weit genug fortfuhrt gibt es keine prinzipielle Grenze wie weit der oberste Stein uberhangen kann Die Zahl der notigen Steine steigt allerdings sehr rasch mit dem angestrebten Uberhang Fur einen Uberhang in 2 5 facher Steinlange werden etwa 100 Steine benotigt werden Bei einem realen Aufbau wurde dies bereits hohe Anforderungen an die Masshaltigkeit der Steine stellen Weitere Beispiele fur die Anwendung der harmonischen Reihe sind das Sammler Problem und das Problem der 100 Gefangenen Summenreihen Bearbeiten Im nun folgenden werden zwei Beispiele genannt bei denen die betroffenen Summenformeln anschliessend mit der harmonischen Reihenfunktion ausgedruckt werden sollen Danach wird ein Allgemeinfall fur diese beiden Beispiele prasentiert m 1 1 m 2 3 m 1 1 5 5 H 3 2 1 2 5 H 3 2 1 2 5 displaystyle sum m 1 infty frac 1 m 2 3m 1 frac 1 5 sqrt 5 bigl mathrm H bigl frac 3 2 frac 1 2 sqrt 5 bigr mathrm H bigl frac 3 2 frac 1 2 sqrt 5 bigr bigr nbsp m 1 1 m 2 4 m 2 1 4 2 H 2 2 H 2 2 displaystyle sum m 1 infty frac 1 m 2 4m 2 frac 1 4 sqrt 2 bigl mathrm H bigl 2 sqrt 2 bigr mathrm H bigl 2 sqrt 2 bigr bigr nbsp Und so lautet der Allgemeinfall m 1 1 a m 2 b m c 1 b 2 4 a c H b b 2 4 a c 2 a H b b 2 4 a c 2 a displaystyle sum m 1 infty frac 1 a m 2 b m c frac 1 sqrt b 2 4ac biggl mathrm H biggl frac b sqrt b 2 4ac 2a biggr mathrm H biggl frac b sqrt b 2 4ac 2a biggr biggr nbsp Verwandte Reihen BearbeitenAlternierende harmonische Reihe Bearbeiten nbsp Die Partialsummen der alternierenden harmonischen ReiheDie alternierende harmonische Reihe konvergiert k 1 1 k 1 k 1 1 2 1 3 1 4 ln 2 0 693 14 71805 59945 30941 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 1 k 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 pm cdots ln 2 0 69314 text 71805 text 59945 text 30941 ldots nbsp Die Konvergenz folgt aus dem Leibnizkriterium der Grenzwert lasst sich mit der Taylor Entwicklung des naturlichen Logarithmus und dem abelschen Grenzwertsatz berechnen Es ist namlich ln 1 x k 1 1 k 1 x k k displaystyle textstyle ln 1 x sum k 1 infty 1 k 1 frac x k k nbsp und wenn man x 1 displaystyle x 1 nbsp setzt erhalt man in der Reihenentwicklung die alternierende harmonische Reihe Die Konvergenz der Reihe ist nicht absolut also damit lediglich bedingt Allgemeine harmonische Reihe Bearbeiten Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man S k 1 1 k a displaystyle S sum k 1 infty frac 1 k alpha nbsp sie divergiert fur a 1 displaystyle alpha leq 1 nbsp und konvergiert fur a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp siehe Cauchysches Verdichtungskriterium Deren n te Partialsummen werden auch als H n a displaystyle H n alpha nbsp oder H a n displaystyle H alpha n nbsp bezeichnet Beispiel fur a 2 displaystyle alpha 2 nbsp siehe Basler Problem S k 1 1 k 2 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 p 2 6 1 644 93 40668 48226 43647 displaystyle S sum k 1 infty frac 1 k 2 1 frac 1 2 2 frac 1 3 2 frac 1 4 2 cdots frac pi 2 6 1 64493 text 40668 text 48226 text 43647 ldots nbsp Beispiel fur a 4 displaystyle alpha 4 nbsp S k 1 1 k 4 1 1 2 4 1 3 4 1 4 4 p 4 90 1 082 32 32337 11138 19151 displaystyle S sum k 1 infty frac 1 k 4 1 frac 1 2 4 frac 1 3 4 frac 1 4 4 cdots frac pi 4 90 1 08232 text 32337 text 11138 text 19151 text ldots nbsp Beispiel fur a 2 n displaystyle alpha 2n nbsp S k 1 1 k 2 n 1 1 2 2 n 1 3 2 n 1 4 2 n 1 n 1 2 p 2 n 2 2 n B 2 n z 2 n displaystyle S sum k 1 infty frac 1 k 2n 1 frac 1 2 2n frac 1 3 2n frac 1 4 2n cdots 1 n 1 frac 2 pi 2n 2 2n mathrm B 2n zeta 2n nbsp wobei B 2 n displaystyle mathrm B 2n nbsp die 2 n displaystyle 2n nbsp te Bernoulli Zahl bezeichnet Lasst man fur a displaystyle alpha nbsp auch komplexe Zahlen zu gelangt man zur riemannschen Zetafunktion Subharmonische Reihen Bearbeiten Subharmonische Reihen entstehen dadurch dass man bestimmte Summanden bei der Reihenbildung der harmonischen Reihe weglasst etwa nur die Kehrwerte aller Primzahlen summiert S k prim 1 k displaystyle S sum k text prim infty frac 1 k nbsp Diese Summe divergiert ebenfalls Satz von Euler Eine konvergente Reihe entsteht wenn man nur noch uber die Primzahlzwillinge oder gar Primzahldrillinge oder Primzahlvierlinge usw summiert allerdings ist nicht bekannt ob es sich dabei um unendliche Reihen handelt Die Grenzwerte werden Brunsche Konstanten genannt Weitere subharmonische Reihen sind die ebenfalls konvergenten Kempner Reihen Literatur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 5 Auflage Teubner Verlag 1988 ISBN 3 519 42221 2 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Harmonische Reihe Lern und Lehrmaterialien Eric W Weisstein Harmonic Series In MathWorld englisch Eric W Weisstein Harmonic Number In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Leopold Theisinger Bemerkung uber die harmonische Reihe Monatshefte fur Mathematik und Physik 26 1915 S 132 134 Jozsef Kurschak A harmonikus sorrol Uber die harmonische Reihe Mathematikai es physikai lapok 27 1918 S 299 300 ungarisch Trygve Nagell Eine Eigenschaft gewisser Summen Videnskapsselskapet Skrifter I Matematisk Naturvidenskabelig Klasse 13 1923 S 10 15 D Borwein J M Borwein On an Intriguing Integral and Some Series Related to zeta 4 Proc Amer Math Soc 123 1191 1198 1995 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Harmonische Reihe amp oldid 229767241
