www.wikidata.de-de.nina.az

Kempner Reihe In der Mathematik bezeichnen die zehn n benannt nach Aubrey J Kempner diejenigen Reihen die dadurch entste

Kempner-Reihe

In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner-Reihen, benannt nach Aubrey J. Kempner, diejenigen Reihen, die dadurch entstehen, dass man aus der harmonischen Reihe alle Summanden entfernt, die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten. Die Kempner-Reihen gehören daher zu den subharmonischen Reihen.

Lässt man etwa alle Summanden weg, deren Nenner die Ziffer in seiner Dezimalschreibweise enthält, ergibt sich die Kempner-Reihe als

Oder durch Auslassen der Summanden mit einer im Nenner:

Sie wurden erstmals von Aubrey J. Kempner 1914 beschrieben.

Das Interessante an diesen zehn Reihen ist, dass sie alle konvergieren, obwohl die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert. Dies wurde von Kempner bewiesen; daher werden die Reihen oft Kempner-Reihen genannt. Die Konvergenzeigenschaft wird auch dadurch deutlich, dass bereits ab 7-stelligen Zahlen diese mehrheitlich wegfallen und es bei großen Zahlen nur wenige gibt, die eine bestimmte Ziffer nicht enthalten und so einen Additionsbeitrag leisten können.

Beweis der Konvergenz Bearbeiten

Für die Kempner-Reihe sind

  • im einstelligen Nennerbereich 1 bis 9 genau Nenner (alle) zulässig;
  • im zweistelligen Nennerbereich 10 bis 99 genau Nenner (neun Ziffern an der ersten Stelle mal neun Ziffern an der zweiten Stelle möglich) zulässig;
  • im dreistelligen Nennerbereich 100 bis 999 genau Nenner zulässig; usw.,

allgemein sind

  • im -stelligen Nennerbereich bis genau Nenner zulässig.

Die zulässigen einstelligen Nennerwerte sind allesamt größergleich 1, daher sind die Brüche in der Reihe jeweils kleinergleich 1; die zulässigen zweistelligen Nenner sind alle größergleich 10, daher sind die entsprechenden Brüche alle kleinergleich ; die dreistelligen zulässigen Nenner sind jeweils größergleich 100, daher sind die entsprechenden Brüche allesamt kleinergleich ; usw.

Das ergibt die obere Schranke

(Bei der Reihe in der vorletzten Zeile handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe)

Damit konvergiert und es gilt die (ziemlich großzügige) Schranke

Der Beweis der Konvergenz der anderen Reihen verläuft analog, es ist aber zu beachten, dass im einstelligen Nennerbereich nur 8 Werte, im zweistelligen Nennerbereich aber Nennerwerte zulässig sind, da an der ersten Stelle sowohl die Null als auch die entsprechende Ziffer, an der zweiten Stelle aber nur die entsprechende Ziffer "verboten" sind usw.; insgesamt ergibt sich dadurch die Schranke .

Werte Bearbeiten

Die Reihen konvergieren extrem langsam.

Näherungswerte Bearbeiten

Ausgelassene Ziffer Näherungswert
0 23,10344
1 16,17696
2 19,25735
3 20,56987
4 21,32746
5 21,83460
6 22,20559
7 22,49347
8 22,72636
9 22,92067

Effiziente Berechnungsmöglichkeiten Bearbeiten

Aufgrund der ziemlich langsamen Konvergenz benötigt man schnelle und effiziente Berechnungsalgorithmen, vgl.

Erweiterungen Bearbeiten

n-faches Auftreten Bearbeiten

F. Irwin verallgemeinerte das Resultat der Konvergenz der zehn Kempner-Reihen, indem er bewies, dass alle Reihen, die über die Kehrwerte aller natürlicher Zahlen, in denen die Ziffer genau mal, die Ziffer genau usw. auftreten, ebenfalls konvergieren.

Die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen genau eine 9 vorkommt, beträgt etwa 23,044287080747848319. Dieser Wert ist größer als Kempners , obwohl diese mit größeren Summanden beginnt. Ein extremeres Beispiel dafür ist die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen einhundert Nullen vorkommen, sie beginnt mit dem Summanden und ist dennoch größer als etwa .

Zusammenhängende Ziffernfolgen Bearbeiten

Eine Möglichkeit, die harmonische Reihe weit weniger auszudünnen, ist, nur alle Summanden herauszunehmen, deren Nenner irgendwo eine bestimmte zusammenhängende Ziffernfolge – etwa 314 (die ersten drei Stellen der Kreiszahl ) – enthält. Auch derartige Reihen konvergieren; im genannten Beispiel ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2299,829782. Bei Herausnahme der ersten sechs Stellen 314159 ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2302582,333863782607892. Allgemein gilt: Wenn alle Summanden mit einer zusammenhängenden Ziffernfolge der Länge herausgenommen werden, konvergiert die Reihe mit einem Grenzwert in der Größenordnung von etwa .

In anderen Stellenwertsystemen Bearbeiten

Es gibt natürlich auch analoge Reihen in anderen Stellenwertsystemen. Die duale Kempner-Reihe etwa entsteht durch Streichen aller Summanden, die eine in ihrer Dualdarstellung enthalten. Alle Dualzahlen zu streichen, in denen eine vorkommt, geht nicht. Die einzige duale Kempner-Reihe ist also

welche gegen die Erdős-Borwein-Konstante konvergiert. Zum Beweis der Konvergenz betrachte man die unendliche konvergente geometrische Reihe als obere Schranke.

Literatur Bearbeiten

  • Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, S. 42ff. ISBN 978-3-540-48495-0
  • Folge A082839 in OEIS und Folge A082830 in OEIS

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Aubrey J. Kempner: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly, Band 21 Nr. 2, Mathematical Association of America, Washington 1914, S. 48–50, ISSN 0002-9890.
  2. Anmerkung: Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Ziffer in einer n-stelligen dezimalen Zifferngruppe: P(n) = 1 - (9/10)^n. Für n=7: P > 50 %.
  3. Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld (englisch).
  4. ↑ Robert Baillie: Summing the Curious Series of Kempner and Irwin, 27. Juni 2008, arxiv
  5. F. Irwin: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly. Band 23, 1916, Seiten 149–152.
  6. R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive
  7. R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive
  8. Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld (englisch).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner Reihen benannt nach Aubrey J Kempner diejenigen Reihen die dadurch entstehen dass man aus der harmonischen Reihe H n k 1 n 1 k displaystyle H n sum k 1 n frac 1 k alle Summanden entfernt die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten Die Kempner Reihen gehoren daher zu den subharmonischen Reihen Lasst man etwa alle Summanden weg deren Nenner die Ziffer 0 displaystyle 0 in seiner Dezimalschreibweise enthalt ergibt sich die Kempner Reihe K 0 displaystyle K 0 als K 0 1 1 2 1 3 1 4 1 9 1 11 1 19 1 21 usw 1 99 1 111 displaystyle K 0 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots frac 1 9 frac 1 11 cdots frac 1 19 frac 1 21 cdots text usw cdots frac 1 99 frac 1 111 ldots Oder durch Auslassen der Summanden mit einer 1 displaystyle 1 im Nenner K 1 1 2 1 3 1 9 1 20 1 22 1 30 1 32 usw 1 99 1 200 1 202 displaystyle K 1 frac 1 2 frac 1 3 cdots frac 1 9 frac 1 20 frac 1 22 cdots frac 1 30 frac 1 32 cdots text usw cdots frac 1 99 frac 1 200 frac 1 202 cdots Sie wurden erstmals von Aubrey J Kempner 1914 beschrieben 1 Das Interessante an diesen zehn Reihen ist dass sie alle konvergieren obwohl die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert Dies wurde von Kempner bewiesen daher werden die Reihen oft Kempner Reihen genannt Die Konvergenzeigenschaft wird auch dadurch deutlich dass bereits ab 7 stelligen Zahlen diese mehrheitlich wegfallen und es bei grossen Zahlen nur wenige gibt die eine bestimmte Ziffer nicht enthalten und so einen Additionsbeitrag leisten konnen 2 Inhaltsverzeichnis 1 Beweis der Konvergenz 2 Werte 2 1 Naherungswerte 2 2 Effiziente Berechnungsmoglichkeiten 3 Erweiterungen 3 1 n faches Auftreten 3 2 Zusammenhangende Ziffernfolgen 3 3 In anderen Stellenwertsystemen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseBeweis der Konvergenz BearbeitenFur die Kempner Reihe K 0 displaystyle K 0 nbsp sind im einstelligen Nennerbereich 1 bis 9 genau 9 displaystyle 9 nbsp Nenner alle zulassig im zweistelligen Nennerbereich 10 bis 99 genau 9 9 9 2 displaystyle 9 cdot 9 9 2 nbsp Nenner neun Ziffern an der ersten Stelle mal neun Ziffern an der zweiten Stelle moglich zulassig im dreistelligen Nennerbereich 100 bis 999 genau 9 9 9 9 3 displaystyle 9 cdot 9 cdot 9 9 3 nbsp Nenner zulassig usw allgemein sind im n displaystyle n nbsp stelligen Nennerbereich 10 n 1 displaystyle 10 n 1 nbsp bis 10 n 1 displaystyle 10 n 1 nbsp genau 9 n displaystyle 9 n nbsp Nenner zulassig Die 9 displaystyle 9 nbsp zulassigen einstelligen Nennerwerte sind allesamt grossergleich 1 daher sind die Bruche in der Reihe jeweils kleinergleich 1 die 9 2 displaystyle 9 2 nbsp zulassigen zweistelligen Nenner sind alle grossergleich 10 daher sind die entsprechenden Bruche alle kleinergleich 1 10 displaystyle tfrac 1 10 nbsp die 9 3 displaystyle 9 3 nbsp dreistelligen zulassigen Nenner sind jeweils grossergleich 100 daher sind die entsprechenden Bruche allesamt kleinergleich 1 100 displaystyle tfrac 1 100 nbsp usw Das ergibt die obere Schranke K 0 1 1 1 2 1 3 1 9 1 11 1 99 1 111 1 999 lt 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 10 1 100 1 100 9 1 1 9 2 1 10 9 3 1 100 displaystyle begin matrix K 0 amp amp frac 1 1 frac 1 2 frac 1 3 cdots frac 1 9 amp amp frac 1 11 cdots frac 1 99 amp amp frac 1 111 cdots frac 1 999 amp amp cdots amp lt amp frac 1 1 frac 1 1 frac 1 1 cdots frac 1 1 amp amp frac 1 10 cdots frac 1 10 amp amp frac 1 100 cdots frac 1 100 amp amp cdots amp amp 9 cdot frac 1 1 amp amp 9 2 cdot frac 1 10 amp amp 9 3 cdot frac 1 100 amp amp cdots end matrix nbsp 9 1 9 10 9 10 2 9 10 3 displaystyle 9 cdot left 1 left frac 9 10 right left frac 9 10 right 2 left frac 9 10 right 3 cdots right nbsp 9 1 9 10 90 displaystyle frac 9 1 frac 9 10 90 nbsp dd dd Bei der Reihe in der vorletzten Zeile handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe Damit konvergiert K 0 displaystyle K 0 nbsp und es gilt die ziemlich grosszugige Schranke K 0 lt 90 displaystyle K 0 lt 90 nbsp Der Beweis der Konvergenz der anderen Reihen verlauft analog es ist aber zu beachten dass im einstelligen Nennerbereich nur 8 Werte im zweistelligen Nennerbereich aber 8 9 displaystyle 8 cdot 9 nbsp Nennerwerte zulassig sind da an der ersten Stelle sowohl die Null als auch die entsprechende Ziffer an der zweiten Stelle aber nur die entsprechende Ziffer verboten sind usw insgesamt ergibt sich dadurch die Schranke 80 displaystyle 80 nbsp Werte BearbeitenDie Reihen konvergieren extrem langsam Naherungswerte Bearbeiten Ausgelassene Ziffer Naherungswert 3 0 23 103441 16 176962 19 257353 20 569874 21 327465 21 834606 22 205597 22 493478 22 726369 22 92067Effiziente Berechnungsmoglichkeiten Bearbeiten Aufgrund der ziemlich langsamen Konvergenz benotigt man schnelle und effiziente Berechnungsalgorithmen vgl 4 Erweiterungen Bearbeitenn faches Auftreten Bearbeiten F Irwin verallgemeinerte das Resultat der Konvergenz der zehn Kempner Reihen indem er bewies dass alle Reihen die uber die Kehrwerte aller naturlicher Zahlen in denen die Ziffer x 0 displaystyle x 0 nbsp genau n 0 displaystyle n 0 nbsp mal die Ziffer x 1 displaystyle x 1 nbsp genau n 1 displaystyle n 1 nbsp usw auftreten ebenfalls konvergieren 5 Die Summe der Kehrwerte der naturlichen Zahlen in denen genau eine 9 vorkommt betragt etwa 23 044287080747848319 Dieser Wert ist grosser als Kempners K 9 displaystyle K 9 nbsp obwohl diese mit grosseren Summanden beginnt Ein extremeres Beispiel dafur ist die Summe der Kehrwerte der naturlichen Zahlen in denen einhundert Nullen vorkommen sie beginnt mit dem Summanden 1 10 100 displaystyle 1 10 100 nbsp und ist dennoch grosser als etwa K 9 displaystyle K 9 nbsp 4 Zusammenhangende Ziffernfolgen Bearbeiten Eine Moglichkeit die harmonische Reihe weit weniger auszudunnen ist nur alle Summanden herauszunehmen deren Nenner irgendwo eine bestimmte zusammenhangende Ziffernfolge etwa 314 die ersten drei Stellen der Kreiszahl p displaystyle pi nbsp enthalt Auch derartige Reihen konvergieren im genannten Beispiel ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2299 829782 6 Bei Herausnahme der ersten sechs Stellen 314159 ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2302582 333863782607892 7 Allgemein gilt Wenn alle Summanden mit einer zusammenhangenden Ziffernfolge der Lange n displaystyle n nbsp herausgenommen werden konvergiert die Reihe mit einem Grenzwert in der Grossenordnung von etwa 10 n ln 10 displaystyle 10 n cdot ln 10 nbsp 8 In anderen Stellenwertsystemen Bearbeiten Es gibt naturlich auch analoge Reihen in anderen Stellenwertsystemen Die duale Kempner Reihe etwa entsteht durch Streichen aller Summanden die eine O displaystyle rm O nbsp in ihrer Dualdarstellung enthalten Alle Dualzahlen zu streichen in denen eine I displaystyle rm I nbsp vorkommt geht nicht Die einzige duale Kempner Reihe ist also K dual I I I I I I I I I I I I I I dual 1 1 3 1 7 1 15 1 31 dezimal k 1 1 2 k 1 1 606 69515241529 displaystyle begin alignedat 2 K text dual amp frac rm I rm I frac rm I rm II frac rm I rm III frac rm I rm IIII cdots amp text dual amp 1 frac 1 3 frac 1 7 frac 1 15 frac 1 31 cdots amp text dezimal amp sum k 1 infty frac 1 2 k 1 amp 1 60669515241529 ldots end alignedat nbsp welche gegen die Erdos Borwein Konstante konvergiert Zum Beweis der Konvergenz betrachte man die unendliche konvergente geometrische Reihe k 0 1 2 k k 0 1 2 k 1 1 1 2 2 displaystyle sum k 0 infty frac 1 2 k sum k 0 infty left frac 1 2 right k frac 1 1 frac 1 2 2 nbsp als obere Schranke Literatur BearbeitenJulian Havil Gamma Eulers Konstante Primzahlstrande und die Riemannsche Vermutung Springer Berlin 2007 S 42ff ISBN 978 3 540 48495 0 Folge A082839 in OEIS und Folge A082830 in OEISEinzelnachweise Bearbeiten Aubrey J Kempner A Curious Convergent Series In Amer Math Monthly Band 21 Nr 2 Mathematical Association of America Washington 1914 S 48 50 ISSN 0002 9890 Anmerkung Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Ziffer in einer n stelligen dezimalen Zifferngruppe P n 1 9 10 n Fur n 7 P gt 50 Eric W Weisstein Kempner Series In MathWorld englisch a b Robert Baillie Summing the Curious Series of Kempner and Irwin 27 Juni 2008 arxiv F Irwin A Curious Convergent Series In Amer Math Monthly Band 23 1916 Seiten 149 152 R Baillie T Schmelzer Summing Kempner s Curious Slowly Convergent Series 20 Mai 2008 vgl in Wolfram Library Archive R Baillie T Schmelzer Summing Kempner s Curious Slowly Convergent Series 20 Mai 2008 vgl in Wolfram Library Archive Eric W Weisstein Kempner Series In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kempner Reihe amp oldid 214191379