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Erdős Borwein Konstante Die benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein ist eine mathematische Konstante Sie ist als die S

Erdős-Borwein-Konstante

Die Erdős-Borwein-Konstante, benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein, ist eine mathematische Konstante. Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen definiert:

Folgende Darstellungen sind dazu äquivalent:

wobei σ0(n) = d(n) die Teileranzahl ist (Anzahl der positiven Teiler von n). Um die Äquivalenz zu beweisen, beachte man, dass alle Summen als Lambert-Reihen ausgedrückt und dann umsummiert werden können.

Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet. Erdős zeigte 1948, dass E eine irrationale Zahl ist. Borwein zeigte 1992, dass allgemein

für jede ganze Zahl q ≠ 0, ±1 und jede rationale Zahl r ≠ 0, qn irrational, aber nicht liouvillesch sind.

Literatur Bearbeiten

  • Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 355 und 357 (englisch)

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Leonhard Euler: Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae. (19. Juni 1749/26. Januar 1750), Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 3, 1753, S. 86–108 (lateinisch; „s=1,606695152415291“ auf S. 108)
  2. Paul Erdős: On arithmetical properties of Lambert series (8. Juli 1948). In: The Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 63–66 (englisch)
  3. Peter B. Borwein: On the irrationality of certain series. (PDF; 3,3 MB) 11. Dezember 1991. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 112, 1992, S. 141–146 (englisch)
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Veröffentlichungsdatum:
Die Erdos Borwein Konstante benannt nach Paul Erdos und Peter Borwein ist eine mathematische Konstante Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne Zahlen definiert E n 1 1 2 n 1 1 606 69 51524 15291 76378 displaystyle E sum n 1 infty frac 1 2 n 1 1 60669 text 51524 text 15291 text 76378 text Folge A065442 in OEIS Folgende Darstellungen sind dazu aquivalent E n 1 1 2 n 2 2 n 1 2 n 1 displaystyle E sum n 1 infty frac 1 2 n 2 frac 2 n 1 2 n 1 E m 1 n 1 1 2 m n displaystyle E sum m 1 infty sum n 1 infty frac 1 2 mn E 1 n 1 1 2 n 2 n 1 displaystyle E 1 sum n 1 infty frac 1 2 n 2 n 1 E n 1 s 0 n 2 n displaystyle E sum n 1 infty frac sigma 0 n 2 n wobei s0 n d n die Teileranzahl ist Anzahl der positiven Teiler von n Um die Aquivalenz zu beweisen beachte man dass alle Summen als Lambert Reihen ausgedruckt und dann umsummiert werden konnen Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet 1 Erdos zeigte 1948 dass E eine irrationale Zahl ist 2 Borwein zeigte 1992 dass allgemein n 1 1 q n r displaystyle sum n 1 infty frac 1 q n r und n 1 1 n q n r displaystyle sum n 1 infty frac 1 n q n r fur jede ganze Zahl q 0 1 und jede rationale Zahl r 0 qn irrational aber nicht liouvillesch sind 3 Literatur BearbeitenSteven R Finch Mathematical constants Cambridge University Press Cambridge 2003 ISBN 0 521 81805 2 S 355 und 357 englisch Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Erdos Borwein Constant In MathWorld englisch Folge A038631 in OEIS Kettenbruchentwicklung von E Einzelnachweise Bearbeiten Leonhard Euler Consideratio quarumdam serierum quae singularibus proprietatibus sunt praeditae 19 Juni 1749 26 Januar 1750 Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 3 1753 S 86 108 lateinisch s 1 606695152415291 auf S 108 Paul Erdos On arithmetical properties of Lambert series 8 Juli 1948 In The Journal of the Indian Mathematical Society 12 1948 S 63 66 englisch Peter B Borwein On the irrationality of certain series PDF 3 3 MB 11 Dezember 1991 In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 112 1992 S 141 146 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erdos Borwein Konstante amp oldid 204727485