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Majorantenkriterium Das ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen Die Grundidee ist eine Reihe du

Majorantenkriterium

Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Die Grundidee ist, eine Reihe durch eine größere, so genannte Majorante, abzuschätzen, deren Konvergenz bekannt ist. Umgekehrt kann mit einer Minorante die Divergenz nachgewiesen werden.

Formulierung des Kriteriums Bearbeiten

Sei eine unendliche Reihe

mit reellen oder komplexen Summanden gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

mit nichtnegativen reellen Summanden und gilt für fast alle :

dann ist die Reihe absolut konvergent. Man sagt, die Reihe wird von majorisiert oder ist die Majorante von .

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind und Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden bzw. , und gilt

für fast alle , dann folgt: Ist divergent, dann ist auch divergent.

Beweis Bearbeiten

Konvergiert die Reihe , dann gibt es zu jedem ein , so dass für alle gilt (Cauchykriterium).

Aus der Dreiecksungleichung und folgt . Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von nach dem Cauchykriterium.

Beispiel Bearbeiten

Die geometrische Reihe

ist konvergent. Wegen konvergiert somit auch die Reihe

Anwendungen Bearbeiten

Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für . Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewählt wird.

Ebenfalls lässt sich aus dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium das Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten, mit dem sich beispielsweise zeigen lässt, dass die harmonische Reihe

konvergent für und divergent für ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorräume ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls für fast alle gilt, die Partialsummenfolge von eine Cauchy-Folge ist. Ist der Raum vollständig, d. h. ein Banachraum, so konvergiert , falls konvergiert. Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach, der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium – Lern- und Lehrmaterialien

Literatur Bearbeiten

  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. Aufl. Vieweg-Verlag, 2006. ISBN 3-8348-0088-0
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Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium fur unendliche Reihen Die Grundidee ist eine Reihe durch eine grossere so genannte Majorante abzuschatzen deren Konvergenz bekannt ist Umgekehrt kann mit einer Minorante die Divergenz nachgewiesen werden Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Kriteriums 2 Beweis 3 Beispiel 4 Anwendungen 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 LiteraturFormulierung des Kriteriums BearbeitenSei eine unendliche Reihe S n 0 a n displaystyle S sum n 0 infty a n nbsp mit reellen oder komplexen Summanden a n displaystyle a n nbsp gegeben Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe T n 0 b n displaystyle T sum n 0 infty b n nbsp mit nichtnegativen reellen Summanden b n displaystyle b n nbsp und gilt fur fast alle n displaystyle n nbsp a n b n displaystyle a n leq b n nbsp dann ist die Reihe S displaystyle S nbsp absolut konvergent Man sagt die Reihe S displaystyle S nbsp wird von T displaystyle T nbsp majorisiert oder T displaystyle T nbsp ist die Majorante von S displaystyle S nbsp Kehrt man diesen Schluss um erhalt man das Minorantenkriterium Sind S displaystyle S nbsp und T displaystyle T nbsp Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden a n displaystyle a n nbsp bzw b n displaystyle b n nbsp und gilt a n b n displaystyle a n geq b n nbsp fur fast alle n displaystyle n nbsp dann folgt Ist T displaystyle T nbsp divergent dann ist auch S displaystyle S nbsp divergent Beweis BearbeitenKonvergiert die Reihe T n 0 b n displaystyle T sum nu 0 infty b nu nbsp dann gibt es zu jedem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp ein N N displaystyle N in mathbb N nbsp so dass n n m b n lt e displaystyle sum nu n m b nu lt varepsilon nbsp fur alle m n gt N displaystyle m geq n gt N nbsp gilt Cauchykriterium Aus der Dreiecksungleichung und a n b n displaystyle a nu leq b nu nbsp folgt n n m a n n n m a n n n m b n lt e displaystyle Big sum nu n m a nu Big leq sum nu n m a nu leq sum nu n m b nu lt varepsilon nbsp Daraus folgt die absolute Konvergenz von S n 0 a n displaystyle S sum nu 0 infty a nu nbsp nach dem Cauchykriterium Beispiel BearbeitenDie geometrische Reihe T n 0 1 2 n 1 1 1 2 1 4 1 8 1 16 displaystyle T sum n 0 infty frac 1 2 n frac 1 1 frac 1 2 frac 1 4 frac 1 8 frac 1 16 dotsb nbsp ist konvergent Wegen 1 2 n 1 1 2 n displaystyle frac 1 2 n 1 leq frac 1 2 n nbsp konvergiert somit auch die Reihe S n 0 1 2 n 1 1 2 1 3 1 5 1 9 1 17 displaystyle S sum n 0 infty frac 1 2 n 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 9 frac 1 17 dotsb nbsp Anwendungen BearbeitenDas Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1 Art bezeichnet alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen fur T n 0 b n displaystyle T sum n 0 infty b n nbsp Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewahlt wird Ebenfalls lasst sich aus dem Majoranten bzw Minorantenkriterium das Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten mit dem sich beispielsweise zeigen lasst dass die harmonische Reihe S n k 1 n 1 k a displaystyle S n sum k 1 n frac 1 k alpha nbsp konvergent fur a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp und divergent fur 0 lt a 1 displaystyle 0 lt alpha leq 1 nbsp ist Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorraume ausgedehnt werden es besagt dann dass falls a n b n displaystyle a n leq b n nbsp fur fast alle n displaystyle n nbsp gilt die Partialsummenfolge von S n 0 a n displaystyle S sum n 0 infty a n nbsp eine Cauchy Folge ist Ist der Raum vollstandig d h ein Banachraum so konvergiert S displaystyle S nbsp falls T displaystyle T nbsp konvergiert Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach der in vielen konstruktiven Satzen der Analysis benutzt wird Siehe auch BearbeitenWeierstrasssches MajorantenkriteriumWeblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Majorantenkriterium und Minorantenkriterium Lern und LehrmaterialienLiteratur BearbeitenOtto Forster Analysis 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen 8 Aufl Vieweg Verlag 2006 ISBN 3 8348 0088 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Majorantenkriterium amp oldid 236177662