Eine absolute konvergente Reihe ist ein Begriff aus der Analysis. Es handelt sich um eine Verschärfung des Begriffs der konvergenten Reihe. Für die absolut konvergenten Reihen bleiben manche Eigenschaften endlicher Summen gültig, die für die größere Menge der konvergenten Reihen im Allgemeinen falsch sind.
Definition Bearbeiten
Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge
konvergiert, wenn also die Folge der Partialsummen konvergiert.
Diese Definition wird auch auf normierte Räume verallgemeinert: Eine Reihe in einem normierten Raum heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Normen konvergiert.
Beispiele Bearbeiten
- Konvergente Reihen, deren Summanden fast alle nicht negativ sind, sind absolut konvergent.
- Die Reihe
- Die Potenzreihe der Exponentialfunktion
- Generell gilt, dass eine reelle oder komplexe Potenzreihe im Inneren ihres Konvergenzkreises absolut konvergent ist.
- Die alternierende harmonische Reihe
Eigenschaften Bearbeiten
Jede absolut konvergente Reihe ist (unbedingt) konvergent. Das gilt sowohl für reellwertige wie für komplexwertige Reihen. Allgemeiner: In endlich-dimensionalen Räumen ist unbedingt konvergent gleichbedeutend mit absolut konvergent.
Es gibt aber Reihen, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind, sie gelten als bedingt konvergent. In unendlich-dimensionalen Räumen gibt es sogar unbedingt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergieren.
Manche Konvergenzkriterien für Reihen, so das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, bedingen die absolute Konvergenz.
Umordnungen Bearbeiten
Eine wesentliche Eigenschaft absolut konvergenter Reihen ist, dass man wie bei endlichen Summen die Summanden beliebig vertauschen kann: Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe , d. h. jede Reihe, die durch Umordnung der Reihenglieder von entsteht, ist konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert wie . Dies ist genau umgekehrt zu konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihen : Dort existiert stets eine Umordnung von , die divergiert.
Ist die Reihe reellwertig, so gilt die folgende, noch schärfere Aussage (Riemannscher Umordnungssatz): Zu jeder vorgegebenen Zahl existiert eine Umordnung der Reihe , die gegen (uneigentlich) konvergiert. Die Begründung ist leicht anzugeben, wir beschränken uns auf den Fall . Man ordnet die Summanden in zwei Folgen
an (Summanden, die gleich null sind, werden weggelassen). Nun addiert man so lange Folgenglieder aus , bis überschritten wird, dann (negative) Folgenglieder aus , bis wieder unterschritten wird, dann wieder aus usw. Das Verfahren ist durchführbar, weil und divergieren (ansonsten wäre die ursprüngliche Reihe absolut konvergent), und die umgeordnete Reihe konvergiert gegen .
Verallgemeinerungen Bearbeiten
Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich auf normierte Räume verallgemeinern. Gegeben sei eine Folge von Elementen eines normierten Raumes . Die entsprechende Reihe wird durch
definiert. Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn konvergiert.
Ist ein Banachraum, also vollständig, so ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent. Tatsächlich gilt hiervon auch die Umkehrung: Ist ein normierter Vektorraum und jede absolut konvergente Reihe konvergent, so ist vollständig, also ein Banachraum.
In beliebigen vollständigen metrischen Räumen gilt ein verwandtes Resultat. Eine Folge ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe
konvergiert. Da in obigem Beispiel ja , ergibt sich die absolute Konvergenz daraus als Spezialfall.
Literatur Bearbeiten
- Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis. Dover, New York 1970. ISBN 0-486-64062-0.
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3.