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Quotientenkriterium Das ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen Es basiert auf dem Majorantenkriterium das

Quotientenkriterium

Das Quotientenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es basiert auf dem Majorantenkriterium, das heißt, eine komplizierte Reihe wird durch eine einfache, hier die geometrische Reihe, nach oben abgeschätzt. Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn der Betrag der Folgenglieder abnimmt, also der (konstante) Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder kleiner als 1 ist. Nimmt eine andere Reihe ab einem bestimmten Element mindestens genauso schnell ab, ist also der Quotient kleiner oder gleich , so ist auch diese konvergent. Mit dem Quotientenkriterium kann auch Divergenz nachgewiesen werden. Bleibt der Quotient immer größer oder gleich 1, wird der Betrag der Folgenglieder nicht kleiner. Da diese dann keine Nullfolge bilden, ist die Reihe divergent.

Entwickelt wurde das Quotientenkriterium von dem Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, zu dessen Ehren diese mathematische Aussage auch d’Alembertsches Konvergenzkriterium genannt wird.

Aussage Bearbeiten

Entscheidungsbaum für das Quotientenkriterium

Gegeben sei eine Reihe mit reellen oder komplexen Summanden, für fast alle . Gibt es ein , so dass für fast alle gilt

so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt dagegen für fast alle

so ist die Reihe divergent.

Dabei darf nicht von unten gegen 1 streben. Gilt dagegen lediglich , kann also der Quotient beliebig nahe an 1 herankommen, so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz oder die Divergenz.

Im Fall der Konvergenz muss von unabhängig sein.

Beispiele Bearbeiten

  • Wir betrachten die Reihe und prüfen diese auf Konvergenz. Über das Quotientenkriterium erhalten wir
Folglich ist die Reihe absolut konvergent.
  • Wir betrachten die Reihe und prüfen diese auf Konvergenz. Wir erhalten
Somit ist diese Reihe divergent.
Der Konvergenzradius ist also die eulersche Zahl .
Für ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für konvergent; das Quotientenkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.

Beweisidee Bearbeiten

Der Fall der Konvergenz folgt mit dem Majorantenkriterium aus der Konvergenz von , einer geometrischen Reihe. Das Kriterium für Divergenz folgt daraus, dass die Glieder dann wegen keine Nullfolge bilden können.

Spezialfälle Bearbeiten

Existiert , so liefert das Quotientenkriterium

  1. für absolute Konvergenz,
  2. für Divergenz,
  3. für keine Konvergenzaussage.

Unter Verwendung von Limes superior und Limes inferior lässt sich das Quotientenkriterium folgendermaßen formulieren:

  1. Ist , so ist die Reihe absolut konvergent,
  2. ist , so ist die Reihe divergent,
  3. ist , so lässt sich keine Konvergenzaussage machen.

Im Gegensatz zum Wurzelkriterium muss für das Divergenzkriterium nicht der Limes superior, sondern der Limes inferior verwendet werden.

Abgewandeltes Quotientenkriterium Bearbeiten

Neben dem „gewöhnlichen“ Quotientenkriterium gibt es noch folgende Versionen (siehe auch Kriterium von Raabe): Sei eine Folge mit echt positiven Gliedern. Wenn nun

so gilt, dass konvergent ist.

Ist andererseits

so folgt:

Anwendungen Bearbeiten

Mit dem Quotientenkriterium lässt sich beispielsweise die Konvergenz der Taylorreihen für die Exponentialfunktion und für die Sinus- und Kosinusfunktionen zeigen.

Literatur Bearbeiten

  • Otto Forster: Analysis I Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Rowohlt, Hamburg 1976.
  • Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 6. Auflage. Springer, 1996, ISBN 3-540-59111-7 (online, Ausgabe von 1964).
  • Peter Hartmann: Mathematik für Informatiker. 4. Auflage. Vieweg, 2006, ISBN 3-8348-0096-1, S. 254.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wilhelm Merz: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer Spektrum, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-29979-7, S. 170.
  2. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 11. Auflage. Teil 1. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-42231-X, S. 205 f.
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Das Quotientenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium fur Reihen Es basiert auf dem Majorantenkriterium das heisst eine komplizierte Reihe wird durch eine einfache hier die geometrische Reihe nach oben abgeschatzt Die geometrische Reihe konvergiert genau dann wenn der Betrag der Folgenglieder abnimmt also der konstante Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder q displaystyle q kleiner als 1 ist Nimmt eine andere Reihe ab einem bestimmten Element mindestens genauso schnell ab ist also der Quotient kleiner oder gleich q displaystyle q so ist auch diese konvergent Mit dem Quotientenkriterium kann auch Divergenz nachgewiesen werden Bleibt der Quotient immer grosser oder gleich 1 wird der Betrag der Folgenglieder nicht kleiner Da diese dann keine Nullfolge bilden ist die Reihe divergent Entwickelt wurde das Quotientenkriterium von dem Mathematiker und Physiker Jean Baptiste le Rond d Alembert zu dessen Ehren diese mathematische Aussage auch d Alembertsches Konvergenzkriterium genannt wird 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beispiele 3 Beweisidee 4 Spezialfalle 5 Abgewandeltes Quotientenkriterium 6 Anwendungen 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseAussage Bearbeiten nbsp Entscheidungsbaum fur das QuotientenkriteriumGegeben sei eine Reihe S n 0 a n displaystyle S sum n 0 infty a n nbsp mit reellen oder komplexen Summanden a n 0 displaystyle a n neq 0 nbsp fur fast alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp Gibt es ein q lt 1 displaystyle q lt 1 nbsp so dass fur fast alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp gilt a n 1 a n q lt 1 displaystyle left frac a n 1 a n right leq q lt 1 nbsp so ist die Reihe absolut konvergent Gilt dagegen fur fast alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp a n 1 a n 1 displaystyle left frac a n 1 a n right geq 1 nbsp so ist die Reihe divergent 2 Dabei darf a n 1 a n displaystyle left frac a n 1 a n right nbsp nicht von unten gegen 1 streben Gilt dagegen lediglich a n 1 a n lt 1 displaystyle left frac a n 1 a n right lt 1 nbsp kann also der Quotient beliebig nahe an 1 herankommen so liefert das Quotientenkriterium keine Aussage uber die Konvergenz oder die Divergenz Im Fall der Konvergenz muss q displaystyle q nbsp von n displaystyle n nbsp unabhangig sein Beispiele BearbeitenWir betrachten die Reihe n 0 5 n 10 n displaystyle sum n 0 infty frac 5 n 10 n nbsp und prufen diese auf Konvergenz Uber das Quotientenkriterium erhalten wir a n 1 a n 5 n 1 10 n 1 10 n 5 n 1 10 6 n 5 n 3 25 lt 1 displaystyle left frac a n 1 a n right frac 5 n 1 10 n 1 cdot frac 10 n 5 n frac 1 10 cdot frac 6 n 5 n leq frac 3 25 lt 1 nbsp dd Folglich ist die Reihe absolut konvergent Wir betrachten die Reihe n 1 n 2 n displaystyle sum n 1 infty frac n 2 n nbsp und prufen diese auf Konvergenz Wir erhalten a n 1 a n n 1 2 n 1 2 n n n 1 2 1 displaystyle left frac a n 1 a n right frac n 1 2 n 1 cdot frac 2 n n frac n 1 2 geq 1 nbsp dd Somit ist diese Reihe divergent Wir wollen den Konvergenzradius der Potenzreihe n 1 n n n z n displaystyle sum n 1 infty frac n n n z n nbsp fur komplexe Zahlen z C displaystyle z in mathbb C nbsp bestimmen Fur z 0 displaystyle z 0 nbsp ist die Reihe offensichtlich gegen 0 konvergent sei also z 0 displaystyle z not 0 nbsp und wir erhalten a n 1 a n n 1 n n n n 1 n 1 z n 1 z n 1 1 1 n n z n z e displaystyle left frac a n 1 a n right left frac n 1 n n n n 1 n 1 frac z n 1 z n right left frac 1 1 frac 1 n right n z overset n to infty longrightarrow frac z e nbsp dd Der Konvergenzradius ist also die eulersche Zahl e displaystyle e nbsp Ein Beispiel fur die Nichtanwendbarkeit des Quotientenkriteriums ist die allgemeine harmonische Reihe n 1 1 n a displaystyle sum n 1 infty frac 1 n alpha nbsp Es gilt a n 1 a n n n 1 a lt 1 displaystyle left frac a n 1 a n right left frac n n 1 right alpha lt 1 nbsp dd Fur a 1 displaystyle alpha 1 nbsp ist die allgemeine harmonische Reihe divergent fur a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp konvergent das Quotientenkriterium kann aber die beiden Falle nicht unterscheiden Beweisidee BearbeitenDer Fall der Konvergenz folgt mit dem Majorantenkriterium aus der Konvergenz von n 0 q n displaystyle sum n 0 infty q n nbsp einer geometrischen Reihe Das Kriterium fur Divergenz folgt daraus dass die Glieder dann wegen 0 lt a n a n 1 displaystyle 0 lt left a n right leq left a n 1 right nbsp keine Nullfolge bilden konnen Spezialfalle BearbeitenExistiert L lim n a n 1 a n displaystyle L lim n to infty left frac a n 1 a n right nbsp so liefert das Quotientenkriterium fur L lt 1 displaystyle L lt 1 nbsp absolute Konvergenz fur L gt 1 displaystyle L gt 1 nbsp Divergenz fur L 1 displaystyle L 1 nbsp keine Konvergenzaussage Unter Verwendung von Limes superior und Limes inferior lasst sich das Quotientenkriterium folgendermassen formulieren Ist lim sup n a n 1 a n lt 1 displaystyle limsup n to infty left frac a n 1 a n right lt 1 nbsp so ist die Reihe absolut konvergent ist lim inf n a n 1 a n gt 1 displaystyle liminf n to infty left frac a n 1 a n right gt 1 nbsp so ist die Reihe divergent ist lim inf n a n 1 a n 1 lim sup n a n 1 a n displaystyle liminf n to infty left frac a n 1 a n right leq 1 leq limsup n to infty left frac a n 1 a n right nbsp so lasst sich keine Konvergenzaussage machen Im Gegensatz zum Wurzelkriterium muss fur das Divergenzkriterium nicht der Limes superior sondern der Limes inferior verwendet werden Abgewandeltes Quotientenkriterium BearbeitenNeben dem gewohnlichen Quotientenkriterium gibt es noch folgende Versionen siehe auch Kriterium von Raabe Sei a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp eine Folge mit echt positiven Gliedern Wenn nun d gt 1 n 0 N n n 0 a n 1 a n 1 d n displaystyle exists d gt 1 n 0 in mathbb N forall n geq n 0 frac a n 1 a n leq 1 frac d n nbsp so gilt dass n 1 a n displaystyle sum n 1 infty a n nbsp konvergent ist Ist andererseits n 0 n n 0 a n 1 a n 1 1 n displaystyle exists n 0 forall n geq n 0 frac a n 1 a n geq 1 frac 1 n nbsp so folgt n 1 a n displaystyle sum n 1 infty a n nbsp divergiert gegen displaystyle infty nbsp Anwendungen BearbeitenMit dem Quotientenkriterium lasst sich beispielsweise die Konvergenz der Taylorreihen fur die Exponentialfunktion und fur die Sinus und Kosinusfunktionen zeigen Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis I Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen Rowohlt Hamburg 1976 Konrad Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen 6 Auflage Springer 1996 ISBN 3 540 59111 7 online Ausgabe von 1964 Peter Hartmann Mathematik fur Informatiker 4 Auflage Vieweg 2006 ISBN 3 8348 0096 1 S 254 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Quotientenkriterium Lern und Lehrmaterialien Mathematik Online Lexikon Definition und Beweis Einzelnachweise Bearbeiten Wilhelm Merz Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Springer Spektrum Berlin 2013 ISBN 978 3 642 29979 7 S 170 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis 11 Auflage Teil 1 B G Teubner Stuttgart 1994 ISBN 3 519 42231 X S 205 f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quotientenkriterium amp oldid 237713778